一道解析幾何試題的溯源及推廣

陳偉流　蘇倩倩

高考命題堅持“以核心價值為引領”，“以學科素養為導向”，“以關鍵能力為重點”，“以必備知識為基礎”四大原則為理念，以“四翼”為考查要求解決了數學怎么考的問題，這就要求一線課堂中要充分發揮教師的主導性和學生的主動能動性，以培養學生良好的思維模式及解題習慣，促進有意義的學習；本文以2023屆T8聯考試題為例，淺談對學生解題，對課堂教學提質增效的些許思考與嘗試.

1 試題呈現

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準線與x軸的交點為H，直線過拋物線C的焦點F且與交于兩點A，B，ΔHAB的面積的最小值為4.（1）求拋物線C的方程；（2）若過點Q（17/4，1）的動直線l交C于兩點M，N，試問拋物線C上是否存在定點E，使得對任意的直線l，都有EM⊥EN，若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由.

2 試題分析

2.1 內容分析

本題以拋物線為情景，有機融合了解析幾何中常見的面積最值，直線過定點，斜率和（積）定值為等熱門題型，知識覆蓋面廣，難度系數較大，滲透了數形結合，函數與方程，轉化與化歸，分類討論等數學思想和數學運算，邏輯推理，數學建模，數學抽象等核心素養的考查，充分體現了高考評價體系中“以核心價值為統領”、“以學科素養為導向的”命題理念，體現三新背景下高考的新時代特點，有效呼應了高考試題的教育、評價和導向功能.

2.2 溯源分析

在試題背景的挖掘上，本題可追溯到2019人教A版選擇性必修第一冊習題3.3的第6題；人教B版選擇性必修第一冊習題2-8B第2題，03復習題第16題，第25題以及2020年山東高考第22題，歸屬于解析幾何中“弦張直角過定點”的類型，始終圍繞著曲線上的定點，弦過定點，兩垂直弦這三要素為條件或結論進行有序排列命題，可進一步深度推廣為更一般的手電筒模型［1］，具備極大的研究價值.

3 解法分析：通法通解引領，明確運算方向

評注：對于雙曲線的相關結論，只需將橢圓結論中的b2替換為－b2即可；同時對于定點E在圓錐曲線內或外，以及三種圓錐曲線進一步更統一的結論及其證明，詳細見文獻［3］，不再贅述.

參考文獻

［1］ 董榮森，李萍.構造“二次”是關鍵 尋找“關系”是根本——類似“手電筒”模型中有關直線恒過定點問題［J］.中學數學雜志，2021（09）：37-40.

［2］ 彭海燕，李維.突出圖形探究 強化代數推理——2022年高考“平面解析幾何”專題解題分析［J］.中國數學教育，2022（Z4）：78-85.

［3］ 李世臣，陸楷章.圓錐曲線對定點張直角弦問題再研究［J］.數學通報，2016，55（03）：60-62+66.

廣東省惠州市教育科學研究項目《數學核心素養下提升高中生問題解決能力的教學策略研究》（課題編號：2021hzkt192）