巧設數學變式　凸顯思維進階

吳湘蕓

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.精心設計例題及變式，由表及里、由淺入深、由易到難，循序漸進.例題與習題是教材的重要組成部分，要準確把握習題的容量、難度.提供具有不同層次要求的習題，關注知識的發生過程，展示學生的思維過程，溝通知識內在聯系，促進知識遷移，形成知識網絡，幫助學生掌握知識，提高課堂效率，鍛煉學生思維.

一、變換條件，培養思維靈活性

題目看似不同，實則本質相同.把握知識類型，分析水平層次.可以更改條件的不同表述，轉換問題呈現形式，也可變換條件與結論，尋求不同之處.啟發學生比較異同點，復習各類知識點，挖掘深層含義，抓住問題實質，掌握每種題型的相關解法.

例1 （1）若關于x的不等式4x2+ax+4>0的解集是R，求實數a的取值范圍；

（2）對任意的實數x，若不等式4x2+ax+4≥0恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）若函數y=4x2+ax+4的圖像都在x軸的上方，求實數a的取值范圍；

（4）若關于x的不等式ax2+4x+4>0的解集是，求實數a的取值范圍.

設計說明：二次函數有關的恒成立問題，也是二次函數對應的一元二次不等式恒成立的問題.如果二次項系數中含有參數，不要忘記對參數進行分類討論.解題中注意數形結合思想的合理運用.強化條件中字母的適用范圍，培養嚴謹思維.啟發引導學生分析異同點，能夠及時抓住問題的本質，培養思維的靈活性.

例2 （1）對x∈R，若關于x的不等式mx2－mx+m－6<0恒成立，求實數m的取值范圍.

（2）對m∈－2，2，不等式mx2－mx+m－6<0恒成立，求實數x的取值范圍.

設計說明：第一問根據m=0與m≠0兩種情況分類討論，結合兩次函數圖象及性質求解；第二問將y=mx2－mx+m－6看成以m為自變量的函數，研究新函數在給定區間的端點處的函數值符號即可.本題在解決不等式恒成立問題時滲透函數思想，根據變量合理構造函數.不等式中變換主元，函數發生改變，既呼應例1中的恒成立問題，又體現了轉化與化歸思想.

二、設置階梯，培養思維深刻性

變換問題的思考角度，由淺入深、由易到難，層層鋪墊，在條件的難度進階中總結題型方法以及分析思路，幫助學生，感悟數學思想，積累思維經驗，逐步提高解題能力.

例3 （1）求函數f（x）=x2+2x+2的最小值.

（2）求函數f（x）=x2+2x+2（x>－2）最小值.

（3）求函數f（x）=x2+2x+2（x≥a）的最值.

（4）若函數f（x）=x2－2ax+2在－1，1上的最小值為－1，求實數a的值.

設計說明：第一、二小問中將二次函數配方畫圖，屬于基礎題，學生求解并不困難.第三問由定量改為變量，需要分類討論，考查定軸動區間，難度進階.第四問已知最值，求參數范圍，考查動軸定區間.問題不斷轉換，從初中的二次函數求最值進階為高中角度的分類求參數，讓學生自己真正理解為何分類、如何分類.例題涵蓋高中二次函數求最值的各類解法，通過層層設計讓學生注意到解題方法上的差異.

三、由點及面，培養思維發散性

一題多變，由一道題目復習多個知識點，尋找解題規律，將知識融會貫通.引導學生思維由淺顯引向縱深，獲得更高層次的認識.在變式的層層轉化下發現知識的共同性，解決一類問題從而解決多種問題，激發學生的學習熱情.

例4如圖1所示，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上的點，Q是PA的中點，G為ΔAOC的重心，AB是圓O的直徑，且AB=2AC=2.

（1）求證：QG∥平面PBC；

（2）求點G到平面PAC的距離．

變式1 求點A到平面PAC的距離．

變式2 求點G到平面PBC的距離.

變式3 取AC中點M，求MQ到平面PAC的距離.

變式4 求平面MQO到平面PAC的距離.

設計說明：本題考查線面平行的判定、平面與平面平行的判定與性質、點到平面距離的計算.第一問由線線平行推出線面平行.變式1利用“G為ΔAOC的重心”這一條件，發現距離的關系轉變，是第二小問的深化，可以直接作出距離，也可用等積法進行轉換.變式2就可用等體積法求解距離.變式3利用MQ∥平面PAC，發現線面之間的距離其實就是點到面的距離.同樣，變式4中，若能發現平面MQO∥平面PAC，那么就能將面面之間的距離也轉化為點面之間的距離了.通過不斷分解，持續探究，逐步遞進就再追溯本源，最后引導思維從發散走向收斂，促進學生主動獲取知識，對復習的知識有全面而深刻的認識.

四、判別對錯，培養思維嚴謹性

古人云：“疑為思之始，學之端.”在教學中鼓勵學生提出質疑，引導啟發學生獨立思考，找出解法中的錯誤，并剖析原因，改錯后給出正解，通過判斷對錯找出缺失，糾正錯誤思維，養成科學思考習慣的同時，讓學生在辨析中加深對知識的理解，向數學思維的更深處漫溯.

例5有一道題“若函數f（x）=24ax2+4x－1在區間－1，1內恰有一個零點，求實數a的取值范圍”.某同學給出了如下解答：由f（－1）f（1）=（24a－5）·（24a+3）<0，解得－1/8

設計說明：例5中考查根據函數在區間內的零點個數求解參數的取值范圍.當零點不滿足所在區間左右端點值異號時，無法用零點存在性定理完成.方法一，首先要對字母a是否為0進行討論，當a不為0時，容易遺漏端點值同號的情況；方法二，將參量變量分離，x=0時單獨討論，x≠0時轉化為y=a與新函數在區間上只有一個交點.

例6 已知=（cosx，sinx），=（3，－3），∥，x∈0，π，求x.

解：因為=（cosx，sinx），=（3，－3），∥，所以－3cosx=3sinx.所以x=5π/6.上述解答是否正確，若不正確，請說明理由，并給出正確解答.

設計說明：利用向量共線的條件列式，在求角之前先要求出三角函數值.法一可求出tanx的值，注意正切公式的應用條件以及角的范圍，常有學生漏寫；法二利用配角公式得到sinx+π/6=0或cosx－π/3=0，同樣需要求出角的范圍.

五、自選條件，培養思維開闊性

特定設計的問題（非常規問題、開放性問題、結構不良問題），問題的條件或目標不確定，需要探究.要嘗試引導學生展示數學理解力，從不同角度思考條件之間的關系，體會各種方法的適用特點.對結論的有效性進行預估，滿足學生自主探索的欲望，拓展學生的數學視野.

例7 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，△ABC的面積為S.現有以下三個條件：①2c+bcosA+acosB=0；②sin2B+sin2C－sin2A+sinB.sinC=0；③a2－b2－c2=43/3S.請從以上三個條件中選擇一個填到下面問題中的橫線上，并求解.已知向量=4sinx，43，=cosx，sin2x，函數f（x）=·－23，在△ABC中，a=fπ/3，且，求2b+c的取值范圍.

設計說明：先用向量數量積公式得出f（x）=·－23=4sin2x－π/3.

條件①，選用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡得到角A的大小；也可利用射影定理bcosA+acosB=c，從而求出角A.

條件②，選用余弦定理得到角A的大小；

條件③，選用余弦定理及三角形面積公式化簡得到等式3sinA+cosA=0，可用配角公式或化為tanA=－3，得到角A的大小.此時可求得A=2/3π，則a=23.再利用正弦定理化簡2b+c，采用消元的方式，如，2b+c=43cosC或2b+c=43sinB+π/6，求出2b+c∈23，43.

本題的三個條件分別考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，穿插向量及三角函數求解取值范圍，但三個條件得到的結論相同，都是為了求出角A的大小.

六、自主編題，培養思維創造性

自主出題，打破常規，觸碰知識內核，建構知識的內在結構.在編題過程中凸顯邏輯思維，體現創造性、敏捷性、多項性.題目千變萬化，要讓學生真正理解知識，才能運用自如.平時可讓學生根據自己的能力水平自己設計不同類型、不同層次的練習，激活創新思維.

例8 設橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的右焦點為F，右頂點為A，|AF|=1，離心率為1/2.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，O為坐標原點，若BF⊥HF，且∠MOA≥∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍.

設計說明：本題第一問考察橢圓的標準方程，屬于容易題.由a－c=1，e=c/a=1/2，求得a=2，c=1，b=3.所以橢圓的方程為x2/4+y2/3=1.

第二問考察橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系.由題意設出直線l的斜率為k（k≠0），則直線l的方程為y=k（x－2）.聯立直線方程與橢圓方程，得（4k2+3）x2－16k2x+16k2－12=0，Δ=256k4－4（4k2+3）（16k2－12）=144>0.利用根與系數的關系列式，解得x=2，x=8k2－6/4k2+3，則B8k2－6/4k2+3，－12k/4k2+3.因為F（1，0），設H（0，y0），由BF⊥HF，得BF·HF=0，求得y0=9－4k2/12k.直線MH的方程為y=－1/kx+9－4k2/12k，與y=k（x－2）聯立，解得xM=20k2+9/12（k2+1）.由∠MOA≥∠MAO，得|MA|≥|MO|，得xM≤1，解得k∈［－6/4，6/4］.

本題涉及向量數量積的坐標運算以及三角形中大角對大邊的運用，體現了“整體運算、數形結合”的思想方法，考察運算能力.

選擇題目時要關注情境和問題的創設，關注數學內容主線之間的關聯以及六個數學核心素養之間的協調.設置題目時要對知識點進行深度分析，對學生可能想到的問題充分預設，利用題目的改變促進學生的深度參與，逐漸培育學生的高階思維，以促進學生可持續發展和終身學習為價值旨歸.

參考文獻

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［2］王家裕.“變式教學”在高中數學教學中的應用［J］.數理天地（高中版），2022（4）：56-58.

［3］李健.基于“導問”的高中數學變式教學［J］.江蘇教育，2022（67）：23-26.