“反證法”的一點教學困惑與釋疑

劉蘭梅　王峰

一、問題提出

選修2-2介紹了“反證法”，此節內容在初中階段學生也學過，故師生對反證法的證題三步驟已耳熟能詳：（1）反設：即假設待證的結論不成立，也就肯定了原結論的反面；（2）歸謬：把反設作為條件加到題設中去，通過一系列邏輯推理最終得到矛盾；（3）結論：由所得矛盾說明原命題成立.“反證法”的結構程式是：欲證“若P則Q”，先假設非Q成立，然后由非Q及已知條件B1B2B3…Bn，與“公理、定理、定義、公式、法則及已知條件等”之一矛盾矛盾律“若P則Q”為假排中律“若P則Q”為真.

由此看出，反證法的證題依據是根據邏輯性中的排中律與矛盾律，通過“否定命題結論的反面，從而知原命題的結論正確”，其實質上是駁倒結論的反面，從而反襯出原命題的結論正確，故稱反證法屬于間接證法.

在多年的教學實踐中，筆者一直有個困惑，那就是在運用反證法處理問題中，從“反設（假設結論的否定正確）”出發進行推理論證，導出矛盾，此時我們就說“反設”錯誤，究竟為何呢？即由“矛盾”怎么就知道一定是由于“反設”造成的呢？其依據的原理是什么？有的教師認為反證法實質上是改正原問題的逆否問題，但反證法證題過程中時，從兩個不同角度進行論證，出現“自相矛盾”的現象顯然不是證原問題的逆否問題，故知反證法的本質是改證其逆否命題的說法不完全正確，那么由“矛盾斷定反設錯誤”這一理論依據是什么呢？

二、問題解決

眾所周知，在運用反證法處理問題時，出現的矛盾的情形概括起來無外乎三種情況：一是與數學知識或常識性知識矛盾；二是與題設條件矛盾；三是自相矛盾.事實上，由于出現矛盾的情形不同，則其由“矛盾”斷定“‘假設是錯誤的”的原理也有所不同，要因“法”而已，下面就根據“矛盾”這三種情形詮釋一下它們判斷“反設錯誤”的依據.

（1）當所證的命題是一個“簡單命題時”時，這樣的命題若用反證法論證時，出現的就是與“常識性知識或題設條件”的矛盾.這種情況的邏輯基礎是原命題與其逆否命題的等價性.

案例1 證明2，3，5不可能成等差數列.

證明：假設2，3，5成等差數列，則23=2+5，兩邊平方得，12=（2+5）2，即證5=25，只要證25=40，這與25≠40矛盾，故假設錯誤，所以2，3，5不可能成等差數列.由此看出，此題的完整表達應該是：“若25≠40，則2，3，5不可能成等差數列”，而反證法的證明過程體現的是命題“若2，3，5成等差數列，則25=40”的證明，由于“若2，3，5成等差數列，則25=40”是假命題，根據原命題與其能否命題同真假，故知“若25≠40，則2，3，5不可能成等差數列”是真命題.

值得一提的是，當論證的命題就是一個簡單命題時，其成立的前提可能是一個常識性結論，沒有寫出，需要我們仔細辨認，才能發現，本例中“25≠40”就是“2，3，5不可能成等差數列”成立的條件.

案例2 ΔABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，求證B<π/2.

證明：假設B<π/2不成立，即B≥π/2，則B是ΔABC的最大內角，因此b>a，b>c（在同一個三角形中，大角對大邊），從而1/a+1/c>1/b+1/b=2/b，所以1/a，1/b，1/c不成等差數列，這與“a，b，c的倒數成等差數列”矛盾，故假設錯誤，所以B<π/2. 顯然，此例反證法證的就是“ΔABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，求證B<π/2.”的逆否命題.

（2）當所證明的命題是“若‘p且q，則r”時，這種形式的命題若用反證法論證時，我們常常論證命題“r且pq”或“r且qp”成立，其推理模式是邏輯學中的反三段論，反三段論的前提“如果p且q，那么r”，可以看作一個三段論，反三段論的結論是“如果p并且非r，那么非q”可以看作是把該三段論的一個前提加以否定，結論也加以否定，并且也調換它們的位置而成.反三段論不但前提蘊含結論，而且結論也蘊含前提，也就是說，前提與結論是等值的.

反三段論的形式是：如果p且q，那么r，所以如果（p并且非r），那么非q.（或如果（q并且非r），那么非p）.這個推理形式的有效性可以這樣來解釋：如果同時具備p，q兩個條件，那么就必然出現結果r；當條件p已經具備而結果r沒出現時.就可以推斷另一條件q沒有具備.如零點存在性定理：若函數f（x）在區間［a，b］上連續，且f（a）f（b）<0，則f（x）在區間（a，b）上至少有一個零點.這個定理的條件有兩個：（1）函數f（x）連續；（2）f（a）f（b）<0，結論是“f（x）在區間（a，b）上至少有一個零點”.“假設f（x）在區間（a，b）上沒有一個零點且函數f（x）在［a，b］上連續，則f（a）f（b）≥0.”或“假設f（x）在區間（a，b）上沒有一個零點且f（a）f（b）<0，則函數f（x）在［a，b］不連續.”

由此看出，反三段論的本質是在題設條件有兩個時，即“如果p且q，那么r，”將一個條件p保持不變的情況下，反證法論證的命題是“若非r，則q”，這就是原命題在條件p不變的情況下，命題“若q，則r”的逆否命題，故根據原命題與其逆否命題的等價性，由于反三段論命題：將一個條件p保持不變的情況下，“若非r，則q”是正確的，故知故知原命題在條件p不變的情況下，命題“若q，則r”是真的.反三段論在思維中上經常用到的，如果幾個條件聯合起來構成某一情況的充分條件，那么當該情況不出現時，就可推出幾個條件中至少有一個條件不具備，凡是作這樣的推理時，我們就是應用了反三段論的形式.

案例3 函數f（x）在R上是遞增的，且f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），則a+b≥0.

證明：假設a+b<0，則a<－b，b<－a，因為函數f（x）在R上是遞增的，所以f（a）>f（－b），f（b）>f（－b），兩式相加，得f（a）+f（b）

值得注意的是，利用“反三段論式”推理的反證法，也可理解為改證原命題的逆否命題，這與“反三段論式”的理解是如出一轍，本質一樣.因為當命題的條件和結論不止一個時，原命題的逆否命題不是唯一的，且逆否命題含有原命題的部分條件，這將有助于應用反證法時采用不同的推理方法.例如，“若a，b都是正數，則ab是正數”為原命題，則“若ab不是正數且a正，則b不是正數”、“若ab不是正數且b正，則a不是正數”，它們都是原命題的逆否命題，故與原命題都是等價的.如案例3中，“若函數f（x）在R上是遞增的，且a+b<0，則f（a）+f（b）

（3）當用反證法論證時，將結論的反面與題設所有條件都參與使用時，就會出現自相矛盾的現象，這種情形的推理模式是邏輯學中的歸謬式推理.歸謬式推理是根據某一判斷蘊含著兩個不可同真的結果，推出該判斷為假的推理.歸謬式推理的一般形式是： 如果P，那么Q

如果P，那么Q

所以非P

這個推理形式的意思是：如果從一個假定能夠合乎邏輯地導出互相矛盾的結果來，則原來的假定不成立.

在這個推理模式中，為什么由“如果P，那么Q與 如果P，那么Q”就可知命題P是錯誤的呢？其原理是什么呢？因為“如果P，那么Q”“若Q，則P”，又“如果P，那么Q”，故由“PQP”，顯然這樣的命題P不存在，即非P.

特別指出的是，在利用反證法論證命題是，命題P是指“題設條件+反設”.如不妨設欲論證的命題為“若p，則q”，若用反證法論證命題“若p，則q”時.假設q成立，即將q作為已知條件，如再聯手題設條件p，若從兩個角度進行推理，導出r與r得矛盾出現，就屬于歸謬式推理，因為運用反證法論證時，若將p與q作為推證的條件，此時記“p與q”為P，則若由P既可推出r，又可推出r，根據歸謬式推理知，命題P錯誤，即“p與q”錯誤，說明“p與q”至少有一個錯誤，而命題p是題設條件為真，故知q必錯，根據矛盾律與排中律，知q必正確.

案例4 a，b，c均為實數，且a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6，求證：a，b，c中至少有一個大于0.

證明：假設a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0；又a+b+c=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3≥0，這與a+b+c≤0矛盾，故假設錯誤，所以a，b，c中至少有一個大于0.

本案例中，命題P為“a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6，且a≤0，b≤0，c≤0”，由上述解答知，Pa+b+c≤0，又能有Pa+b+c>0，根據歸謬式推理知命題P錯誤，即“a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6，且a≤0，b≤0，c≤0”錯誤，而“a=x2－2y+π/2，b=y2－2z+π/3，c=z2－2x+π/6”是條件，其為真，故只有是“a≤0，b≤0，c≤0”錯誤，因此知a，b，c中至少有一個大于0.

案例5 （人教版2-2選修第90頁例題）：求證2是無理數.

證明：假設2不是無理數，那么它是有理數，于是，存在互質的正整數m，n，使得2=m/n，從而有m=2n，因此m2=2n2，所以m為偶數，于是設m=2k（k為正整數），從而有4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也是偶數，這與m，n互質矛盾！由上述矛盾可知假設錯誤，所以2是無理數.

由于本例沒有什么條件，故利用反證法論證的過程中，出現的是自相矛盾，屬于歸謬式推理，因為命題P：2是有理數2=m/n（正整數m，n）中m，n既互質又不互質，根據歸謬式推理的判斷知，命題P錯誤，既“2是有理數”錯誤，所以2是無理數.

當然，究竟推證的“矛盾”究竟使用三類中的哪一類，與論證過程的表達方式有關，如案例2，運用反證法也可這樣表達過程：

假設B<π/2不成立，即B≥π/2，則B是ΔABC的最大內角，因此b>a，b>c（在同一個三角形中，大角對大邊），從而1/a+1/c>1/b+1/b=2/b；又a，b，c的倒數成等差數列，所以1/a+1/c=2/b，這與“1/a+1/c>1/b+1/b=2/b”矛盾，故假設錯誤，所以B<π/2.

顯然，這個證明過程可看作歸謬式推理模式，此時命題P為“a，b，c的倒數成等差數列，且B≥π/2”，由推證過程，知命題P，既推出1/a+1/c=2/b，又能推出1/a+1/c>2/b，根據歸謬式推理知，命題P錯誤，即“a，b，c的倒數成等差數列，且B≥π/2”錯誤，又“a，b，c的倒數成等差數列”是已知條件為真，故只有B≥π/2錯誤導致P錯誤，因此B<π/2.

三、教學思考

對于反證法的學習，常常表現為學生問教師：“反證法這一內容高考考不考？”從這個問法就可看出學生對于“反證法”的學習容易產生誤解，認為學習反證法就是為了做題，實則時是對反證法的學習價值的認識不到位，的確，表面上，多年來高考試題沒有明顯呈現“反證法”的題目，但是運用反證法解題的思想無不是不知不覺中在使用.

例如在解答選擇題時，我們為了判斷某個選擇支是否正確，不妨設A選項，若直接不易判斷A是否正確，我們常常假設這個選擇支A正確，如果結合題設條件進行推理，不出現矛盾，就認為A正確；如果結合題設條件進行推理，出現了矛盾，就認為A錯誤，這一錯誤判斷的過程，其實就是使用了反證法的“反證思想”.

又如，舉反例也是我們駁倒某個命題的常用方法，其實質上就是反證法的運用.特別是，當提出一個命題之后，就面臨兩種選擇：一是推證命題成立；二是尋找一個滿足命題的條件使結論不成立，從而否定這個命題，這就是舉反例.

事實上，舉反例是一種重要的反證手段，故學會構造反例也是一種重要數學技能，應該成為數學教學的基本內容而滲透于教學過程之中，所以學習反證法的意義重大，但為什么經常使用“反證法”的思想解題，而沒有意識到在使用反證法呢？筆者認為根本原因是沒有理解透反證法的原理所致，將反證法的三個步驟只是死記硬背的結果，解題時機械操作過程罷了，之所以出現這種現象，筆者認為教師在教授“反證法”時，推理講的多，而對“反證法”的原理分析的少，結果導致學生知其然而不知所以然，很大程度上是我們教學中沒有講清楚根源，不清楚的講解，學生沒消化，不能做到融會貫通.本文給大家關于“反證法”的一個困惑解釋一下，相信對大家有一定的幫助.

本文是2022年安徽省教育科學研究項目：“雙新”背景下學生數學核心素養培育的高中課堂教學實踐研究（課題編號：JK22033）階段性研究成果.