一類絕對值雙重最值問題的追根溯源

賀旭

一、題引

（1）（2017浙江17）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x+4/x－a+a在區(qū)間［1，4］上的最大值是5，則a的取值范圍是.

（2）（2018年浙江競賽12）設(shè)a∈R，x∈［0，1］，且對任意實數(shù)b均有maxx2+ax+b≥1，求a的取值范圍.

（3）（2019浙江16）已知a∈R，函數(shù)f（x）=ax3－x，若存在t∈R，使得ft+2－f（t）≤2/3，則實數(shù)a的最大值是.

上述三個題都是絕對值函數(shù)問題.含絕對值的最值問題一直是高考考查的熱點和難點，這類問題常常靈活多變、撲朔迷離，那么它是否高不可攀、令人望而生畏呢？當(dāng)我們將這三個問題放在一起尋找它們的共性時，可以抽象得到它的基本形式是f（x）－ax－b，找到統(tǒng)一形式后，就方便我們深入研究.

二、追根溯源

從代數(shù)角度可以采用分類討論去絕對值x=x，x≥0，

－x，x<0， 幾何角度絕對值x表示實數(shù)x在數(shù)軸上對應(yīng)的點與原點之間的距離，進而x－b的幾何意義是數(shù)軸上實數(shù)x與b之間的距離.

三、理論基礎(chǔ)

f（x）－ax－b實際上應(yīng)用的是切比雪夫最佳逼近直線理論：記集合A={g（x）=ax+b|a∈R，b∈R}，若存在函數(shù)g0（x）∈A，使得對任意g（x）∈A，恒有maxm≤x≤nf（x）－g0（x）≤maxm≤x≤n|f（x）－g（x）|（*）成立，則稱g0（x）為函數(shù)f（x）在切比雪夫意義下的最佳逼近直線，簡稱最佳逼近直線.

顯然，（*）式也可改寫為等式maxm≤x≤n|f（x）－g0（x）|=mina，b∈Rmaxm≤x≤nf（x）－g（x）.

絕對值雙重最值的實質(zhì)是求最大值的最小值，將絕對值里的代數(shù)式看成兩個函數(shù)的差，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的縱向距離，通過移動其中一條直線，尋找縱向距離的最值.

本文提供的三個題引中，參數(shù)有一個也有二個，有正向提問，也有反向提問，但本質(zhì)都不變，考查的是minmaxf（x）－g（x）.主要目的是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，及理性思維能力.

本文從“絕對值”的幾何意義出發(fā)，設(shè)計了環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，從不含參的絕對值問題到含有一個參數(shù)的絕對值問題，再到含兩個參數(shù)的絕對值問題，從對稱曲線到不對稱曲線，最后提升到切比雪夫最佳逼近直線理論.整個過程自然、生動、明晰，挖掘問題的各個方面，一個完整的理論分析.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

本文系浙江省寧波市基礎(chǔ)教育規(guī)劃教研課題《基于學(xué)科核心素養(yǎng)水平的高考數(shù)學(xué)命題研究》（課題編號：LX2021117）階段性研究成果.