對一道期末質量檢測題的探究

鄭劍偉

題目 （2022年1月廈門市高二期末質量檢測試題）已知橢圓Γ：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），焦點F（1，0），A，B是Γ上關于原點對稱的兩點，ΔABF周長的最小值為4+23.（1）求橢圓Γ的方程；（2）若直線FA與Γ交于點M（異于點A），直線FB與Γ交于點N（異于點B），證明：直線MN過定點.

本題的答案是：（1）橢圓Γ的方程為x2/4+y2/3=1；（2）直線MN過定點（8/5，0）. 本題（2）內涵豐富，具有探究價值，可以引導學生對其進行探究.

命題2.3 已知雙曲線Γ：x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），定點E（0，λb）（λ≠0，λ≠±1），A，B是Γ上關于原點對稱的兩點，若直線EA與Γ交于點M（異于點A），直線EB與Γ交于點N（異于點B），則直線MN過定點（0，2λb/1+λ2）.

以上是對上述試題第（2）小題的探究和推廣，引導學生對一些典型試題進行適當的探究，得到一般性結論，這對激發學生的探究欲望，提高學生的探究意識和探究能力，提升學生的數學學科核心素養無疑是有益的.