例析平移坐標系法求解函數問題

樓思遠

文［1］研究了平移坐標系法在圓錐曲線中的應用，實際上，平移坐標系法對處理部分函數問題也有立竿見影的效果.我們知道，在平面內對直角坐標系任意進行平移后，函數圖象的形狀、直線的斜率、線段的長度，多邊形的面積等均保持不變，特別的，只對直角坐標系左右平移時，函數的零點個數也保持不變，我們把這些不變的量統稱為“運動不變量”，基于這些不變量以及函數本身的性質，通過適當的平移坐標系來對解題思路作出調整，可起到化繁為簡的效果，并揭示出問題的本質.

一、實例分析

例1 若對任意的a，b∈R，不等式x2+ax+b≤1在區間［m，n］上恒成立，則n－m的最大值為.

分析：原函數含有兩個參數，比較復雜，現將直角坐標系平移使得原點O與二次函數y=x2+ax+b的頂點重合，則二次函數解析式變為y=x2，如圖1所示，注意到平移過程中函數的形狀保持不變，因此可以將原問題轉化為在圖1的基礎上求解.

二．幾點思考

對上述幾個問題而言，直接求解將十分繁瑣，作為對照，通過平移坐標系這一操作，可以直指問題的本質，以簡馭繁快速解答.這其中，結合題意進行觀察與嘗試，發現并抽象出“運動不變量”是解題思路（平移直角坐標系）的關鍵，因此，數學抽象能力是根本所在.文［2］指出：“數學抽象是數學核心素養的重要構成內容，在新的教學改革中，數學抽象位于核心素養首位，意在通過對學生抽象素養的培養引導學生利用推理、運算、建模等數學活動方式揭示世界中蘊含的數學規律”.在平時的教學過程中，教師應重視學生抽象思維能力的培養，及時調整教學手段和教學方法，從情境與問題、知識與技能、思維與表達等維度開展數學抽象能力培養的教學，另外，可以引導學生結合直觀想象與數據分析等思維方式，從相似問題中抽象出一般性的數學規律與解題技巧.

本文僅就平面直角坐標系的平移展開了討論.實際上，從橫向角度而言，對空間直角坐標系進行平移，可以簡化立體幾何問題的坐標運算；從縱向角度而言，除了平移外，對直角坐標系進行旋轉與伸縮等變換，可以解決其各種類型的問題，例如通過旋轉坐標系可以將等軸雙曲線轉化為反比例函數的圖象，從而簡化運算過程，等等，此類問題待讀者進一步研究.

參考文獻

［1］.吳佐慧.平移坐標系法在圓錐曲線問題中的應用［J］.中學數學（上），2018（8）.

［2］.劉 薇.數學核心，抽象為基——高中數學核心素養之數學抽象的培養［J］.中學數學（上），2021（12）.