一道全國高中聯賽題的解法賞析及溯源

王東海

1 真題呈現

（2022年全國數學聯賽第10題） 給定正實數mm≥3.設正項等差數列an與正項等比數列bn滿足：an的首項等于bn的公比，bn的首項等于an的公差，且am=bm，求am的最小值，并確定當am取最小值時a1與b1的比值.

分析：觀察此題，應首先用盡量少的變量表示am，得到am的函數式，然后考慮使用導數法或均值不等式來求解am 最值.

2 解法探究

探求思路一 設出an和bn的公差和公比，用這兩個變量去表示am.

4 結語

本題題目新穎，將數列與導數、均值不等式相結合，在知識的交匯處命題.處理時切入點較多，本文呈現了幾種常見的解法，事實上還有其它解法，囿于篇幅，不一一介紹，希望能拋轉引玉，同廣大讀者共同探討解法.