分類討論法在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中的運用

文/黃建武

分類討論法作為初中階段應(yīng)用較多的教學(xué)方法，是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)重點[1]。幫助學(xué)生在分類討論教學(xué)活動中學(xué)習(xí)教學(xué)知識，是教師可以采取的一種教學(xué)方法，也是教師在教學(xué)中的創(chuàng)新。二次函數(shù)是函數(shù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。筆者結(jié)合自身教學(xué)實踐經(jīng)驗，對分類討論法在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用展開探討，并結(jié)合實際教學(xué)案例加以分析，以供各位讀者閱讀參考。

一、分類討論思想在正向型函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

正向型函數(shù)是指已知二次函數(shù)的定義域及區(qū)間，求取二次函數(shù)的最值。為高效完成這一問題的講解，教師可以根據(jù)題目中函數(shù)對稱軸與定義域區(qū)間之間的位置關(guān)系組織學(xué)生展開分類討論活動。正向型函數(shù)教學(xué)的討論過程可以分為三個項目，即軸定區(qū)間定、軸定區(qū)間動和軸動區(qū)間定。

（一）軸定區(qū)間定

“軸定區(qū)間定”這一情況是指，在已知二次函數(shù)的情況下，根據(jù)所給出的固定定義域區(qū)間，計算二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值。

例1：函數(shù)y=-x2+4x-2 在區(qū)間[0，3]上的最大值和最小值分別是多少？

首先，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所給出的函數(shù)進行簡化，要求學(xué)生將題目中的函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一種常見形式。在學(xué)生將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=-x2+4x-2=-（x-2）2+2 后，教師便可以進一步要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)方程式的特征，對函數(shù)的圖像進行簡單的分析。學(xué)生在教師的提醒下可以得到相應(yīng)的信息，如函數(shù)對稱軸方程式為x=2，頂點坐標(biāo)為（2，2），且函數(shù)圖像開口向下。之后，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生將基本信息與題目要求相結(jié)合。學(xué)生根據(jù)題目所給出的區(qū)間判斷頂點橫坐標(biāo)與區(qū)間之間的位置，并得到題目中函數(shù)的頂點橫坐標(biāo)位于給定的區(qū)間范圍之內(nèi)。當(dāng)明確頂點橫坐標(biāo)與給定區(qū)間范圍之間的位置關(guān)系之后，教師便可以進一步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)之前所獲得的函數(shù)圖像信息，繪制出簡單的函數(shù)圖像，并結(jié)合題目要求得到題目答案。學(xué)生作圖如下：

如圖1 所示，函數(shù)的最大值為f（2）=2，最小值為f（0）=-2。

在講解完例題之后，教師便可延伸題目，應(yīng)用分類討論思想，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)更多不同題目的解題方法。仍以這道題為例，教師可以更換題目中的區(qū)間范圍，并延伸出頂點橫坐標(biāo)不位于區(qū)間范圍之內(nèi)的另一種情況。結(jié)合以上解題過程以及解題過程中所繪出的圖像，學(xué)生能夠在較快時間內(nèi)掌握相應(yīng)的解題方法，并得到答案。

（二）軸定區(qū)間動

“軸定區(qū)間動”是指在已知二次函數(shù)的情況下，根據(jù)所給出的定義域區(qū)間，計算二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，題目中所給出的定義域區(qū)間隨參數(shù)變化。

例2：求函數(shù)f（x）=x2-2x+3 在x∈[a，a+2]上的最大值和最小值。

與“軸定區(qū)間定”問題的解題思路相同，首先教師可引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)方程式進行格式上的轉(zhuǎn)化，并根據(jù)所轉(zhuǎn)化出的方程得到函數(shù)圖像的基本信息。學(xué)生在完成函數(shù)方程式的轉(zhuǎn)化之后，可知這一函數(shù)圖像開口向上，其對稱軸為x=1。之后教師便可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所給區(qū)間進行分類分析。教師可引導(dǎo)學(xué)生將定區(qū)間中的a值與對稱軸x=1 聯(lián)系，并延伸出不同的分類討論內(nèi)容。

首先，學(xué)生分析當(dāng)x=a時，a距離對稱軸x=1 最近，a+2 距離對稱軸x=1 最遠(yuǎn)。因此，當(dāng)x=a時，ymin=-a2+3，ymax=a2+2a+3。

其次，學(xué)生便可進行分類分析：①當(dāng)0＜a≤1 時，1距對稱軸x=1 最近，a+2 距離x=1 最遠(yuǎn)。因此，當(dāng)x=1時，ymin=2，x=a+2 時，ymax=a2+2a+3。②當(dāng)-1＜a≤0時，1 距對稱軸x=1 最近，a距x=1 最遠(yuǎn)。因此，當(dāng)x=1 時，ymin=2，ymax=a2-2a+3。 ③當(dāng)a≤-1 時，a+2距對稱軸x=1 最近，a距x=1 最遠(yuǎn)。因此，當(dāng)x=a+2時，ymin=a2+2a+3，x=a時，ymax=a2-2a+3。

最后，教師可以組織學(xué)生根據(jù)二次函數(shù)區(qū)間圖像進行總結(jié)：

當(dāng)a＞0 時，

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

當(dāng)a＜0 時，

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

（三）軸動區(qū)間定

“軸動區(qū)間定”這一情況是指，在已知二次函數(shù)的情況下，根據(jù)所給出的定義域區(qū)間，計算二次函數(shù)在區(qū)間上的最值。定義域區(qū)間為題目給定區(qū)間不變，但二次函數(shù)圖像隨參數(shù)變化而變化。

例3：求函數(shù)f（x）=x2-2ax+3 在x∈[0，4]上的最值。

首先，教師可引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)方程式進行格式上的轉(zhuǎn)化，并根據(jù)所轉(zhuǎn)化出的方程得到函數(shù)圖像的基本信息。其次，學(xué)生在完成函數(shù)方程式的轉(zhuǎn)化后，可知這一函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸為x=a。最后教師便可依據(jù)分類討論流程，組織學(xué)生根據(jù)題目要求和所給信息進行分類討論：①當(dāng)a＜0 時，0 距對稱軸x=a最近，4 距對稱軸x=a最遠(yuǎn)。因此，x=0 時，ymin=3，x=4時，ymax=19-8a。②當(dāng)0 ≤a＜2 時，a距對稱軸x=a最近，4 距對稱軸x=a最遠(yuǎn)。因此，x=a時，ymin=3-a2，x=4時，ymax=19-8a。③當(dāng)2 ≤a＜4 時，a距對稱軸x=a最近，0 距對稱軸x=a最遠(yuǎn)。因此，x=a時，ymin=3-a2，x=0時，ymax=3。④當(dāng)4 ≤a 時，4 距對稱軸x=a最近，0距對稱軸x=a最遠(yuǎn)。因此，x=4 時，ymin=19-8a，x=0時，ymax=3。

通過講解這三種正向型函數(shù)的題目，學(xué)生能夠簡單了解分類討論思想在數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用，有意識地將分類討論的方法應(yīng)用于自己的實際解題過程中。

二、“二次函數(shù)y=ax2（a ≠0）的圖像與性質(zhì)”案例研究

（一）課程分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

本課內(nèi)容要求學(xué)生能夠應(yīng)用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像，并能夠根據(jù)圖像認(rèn)識和理解二次函數(shù)的相關(guān)特征。在課堂教學(xué)過程之中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，引導(dǎo)學(xué)生探索二次函數(shù)y=ax2的圖像和圖像特征，并引導(dǎo)學(xué)生體會分類討論的思想和方法。

2.學(xué)生需求分析

學(xué)生通過學(xué)習(xí)本課內(nèi)容能夠掌握二次函數(shù)y=ax2基本的圖像與性質(zhì)。除此之外，通過課堂學(xué)習(xí)過程中體會分類討論思想，學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面獲得更加多樣的學(xué)習(xí)方法，同時也能夠在合作和分工的過程中體會到合作的重要性，綜合發(fā)展自身的素質(zhì)和能力。

3.教學(xué)工具需求分析

在教學(xué)過程中，教師需要借助多媒體向?qū)W生展示二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像，同時也需要在黑板或多媒體顯示屏上向?qū)W生示范二次函數(shù)y=ax2圖像的繪畫過程，并借助圖像對二次函數(shù)的性質(zhì)展開講解。

（二）實際教學(xué)流程

1.環(huán)節(jié)一：描點繪圖

首先，教師可通過提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)之前的內(nèi)容，并引入本堂課教學(xué)知識：“我們在之前學(xué)習(xí)了二次函數(shù)這一概念，那么二次函數(shù)的定義是什么呢？今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容是二次函數(shù)的圖像，我們在之前學(xué)習(xí)過一次函數(shù)的圖像，那么一次函數(shù)的圖像是什么形狀呢？我們又是怎樣繪制出一次函數(shù)的圖像呢？教師”通過這樣的復(fù)習(xí)提問引入，能夠使學(xué)生在課堂上提出描點繪圖。

（1）列表：設(shè)定x取值并計算y值，列出函數(shù)的對應(yīng)值表（見表1）。

表1

（2）描點：根據(jù)所列出的函數(shù)取值與對應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點的位置。（點位如圖12 所示）

圖12

（3）連線：連接各點，并保證曲線光滑，得到函數(shù)y=x2的圖像。

在班級內(nèi)所有學(xué)生完成二次函數(shù)y=x2的圖像之后，教師便可以將學(xué)生分為若干個小組，并要求學(xué)生依據(jù)相同的方法繪制y=2x2、y=-2x2與y=-x2的函數(shù)圖像。

2.環(huán)節(jié)二：歸納共性

教師可提問學(xué)生：“剛剛大家依照描點繪圖的方法繪制出了二次函數(shù)的圖像，請大家以小組為單位，將這4 個函數(shù)圖像匯總在一起并討論歸納這些函數(shù)圖像的共性。”學(xué)生在討論過程中加以總結(jié)歸納：“這4 個函數(shù)圖像的對稱軸都是y軸，函數(shù)頂點位于原點，函數(shù)圖像的開口方向與x前的數(shù)字正負(fù)值有關(guān)。”

3.環(huán)節(jié)三：探究本質(zhì)

教師可以將這四個函數(shù)圖像展示在黑板或多媒體顯示設(shè)備上，并引導(dǎo)學(xué)生共同歸納y=ax2的圖像與性質(zhì)。

4.環(huán)節(jié)四：例題解析

（1）寫一個頂點在原點，開口向上的二次函數(shù)關(guān)系式。（2）畫出圖像并回答問題：拋物線y=2x2頂點坐標(biāo)是什么？對稱軸是什么？當(dāng)x=？時，函數(shù)值最小，函數(shù)最小值是多少？拋物線y=2x2（頂點除外）在x軸的上方還是下方？（3）請你在不畫出圖像的前提下寫出y=-3x2和y=3x2的頂點坐標(biāo)、對稱軸以及函數(shù)圖像的開口方向。

5.環(huán)節(jié)五：課堂總結(jié)

教師：“這堂課上，我們對二次函數(shù)y=ax2（a≠0）中的a的值進行分類，并展開了關(guān)于對應(yīng)圖像的討論。通過這一分類討論過程，我們總結(jié)出y=ax2的頂點是原點，坐標(biāo)軸是y軸，開口方向與a的值之間的關(guān)系。”

三、結(jié)束語

分類討論思想是現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)思想，能夠有效鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力。這一教學(xué)思想能夠進一步深化學(xué)生對分類討論思想的理解和應(yīng)用，并幫助學(xué)生在之后的學(xué)習(xí)過程中善于應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。