變中抓不變

陳英

［摘 要］較復雜的分數應用題，常常會讓學生無從下手、望而生畏。但萬變不離其宗，引導學生認真審題，在變量中挖掘出不變的量，以“不變”應“萬變”，解決問題的突破口就能打開，問題也就迎刃而解。

［關鍵詞］分數應用題；變量；不變量

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0090-03

較復雜的分數應用題中往往有很多變化的量，教師可以變問題、變條件、變內容，通過舉一反三，引導學生主動聯結知識間的聯系，深入分析問題，在比較辨析中真正領悟“變中抓不變”的數學思想方法，切實提高學生分析問題、解決問題能力。

一、問題凝視

教材在六年級分數單元編排了思考題：學校田徑隊女生人數原來占田徑隊總人數的[13]，后來有6名女生加入，這樣女生人數就占田徑隊總人數的[49]。現在田徑隊有女生多少人？

初讀題目，學生以為很簡單，誤認為單位“1”總人數沒有發生變化，6人對應的分率是（[49-13]），導致錯誤。事實上，“又來了6名女生”使得數量關系發生了變化，[13]和[49]兩個分率對應單位“1”的實際數量也就不同。

二、成因透視

1.題目數量關系復雜

上題以思考題的形式出現，就說明它具有一定的綜合性，體現在“又有6名女生加入”這個動態變化的量，一下子提高了題目的難度系數。學生理不清數量關系，自然找不到正確的解題方法。此題從字面上看只描述了女生人數和總人數，其實還隱藏著男生人數這個量。由于有6名女生加入，引起女生人數發生了變化，總人數也隨之發生了變化。如果還是從總人數這個變量入手，會給解題帶來很大的困難。若仔細分析題中的條件，就會發現男生人數不變這個條件，也就是男生人數前后都沒有發生變化。因此，解題關鍵是緊抓男生人數這個不變量，巧妙計算現在女生人數。

2.學生思維水平不足

小學生的思維正處于直觀形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段。教材中只編排的單位“1”已知的兩步計算的分數應用題教學，而省略了單位“1”未知的兩步計算的分數應用題教學。學生對需要兩步計算的分數除法問題還處在通過畫線段圖來理解單位“1”的階段，而一下子躍到動態變化的量——單位“1”發生改變，需要跳躍性的思維，但大部分學生的思維還沒達到這水平。

三、出路審視

1.找準知識銜接點

學生覺得分數應用題很難，這很正常，因為學生在生活中很少遇到關于分數的問題。對此，教師不妨換個角度，從學生實際的認知水平入手，把分數知識轉化成學生擅長的整數知識。比如，利用分數和比的聯系將“學校田徑隊女生人數原來占田徑隊總人數的[13]”的“[13]”轉化成1∶3，也就是把學校田徑隊女生看作1份，總數看作3份；當然還能把男生看作2份，所以女生人數是男生人數的[12]。同理，當女生人數發生變化，占田徑隊總人數的[49]時，把學校田徑隊現在女生人數看作4份，總數看作9份，男生人數就可以看作5份，所以女生人數是男生人數的[45]。

2.緊扣知識關鍵點

對較復雜的分數應用題，用常規的分析思路解題往往比較困難，教師可引導學生在變化中抓不變，讓不變量化隱為顯。女生人數和總人數是思考題中動態變化的量，但變化中隱含著某個不變量，就是男生人數始終不變。找準男生這個不變量是解題的關鍵點，求出男生人數后，女生人數也就順利得到解決。

3.挖掘知識發散點

數學教學，不僅僅是讓學生學會解答某一個思考題，更要讓學生掌握解決這類問題的數學思想方法和舉一反三的能力。可把題目變“三變”，引申出題組練習，讓學生在變化中真正理解“變中抓不變”的數學思想方法。一變，變問題。把問題變成“原來田徑隊有女生多少人？”“現在田徑隊一共多少人？”；二變，變條件。本題是男生人數不變，也就是其中一個量是不變量，改變條件后，呈現另外兩種類型：和是不變量，差是不變量。三變，變內容。把問題拓展到濃度問題、百分率問題等，這些問題雖然情境不同，但本質相同，都是需要抓住不變量來解題。通過這些“變”，就能切實提高學生解決實際問題的能力。

四、教學重構

1.深入淺出，理解本質

（1）舊分率轉化成份數

師：根據分數和比的聯系，看到這句話“學校田徑隊女生人數原來占[13]”，你能想到什么？

生1：[13]可以轉化成1∶3，也就是把學校田徑隊女生看作1份，總數看作3份。

生2：除了女生人數和總數，還能想到男生人數占了2份。

師：看到“女生人數就占田徑隊總人數的[49]”這句話呢？

生3：可以把學校田徑隊女生人數看作4份，男生人數看作5份，總數看作9份。

師：根據分數和比之間的關系，可以把分數應用題轉化成整數應用題來解答。女生人數前后發生變化，總人數也隨之發生變化，什么沒變？

生4：男生人數沒變。

生5：雖然把原來的男生人數看作2份，把后來的男生人數看作5份，但是男生人數不變，為方便計算，把男生人數統一成10份。

師：把男生人數前后統一成10份，根據比的基本性質，女生人數前后的份數發生什么變化？

生6：原來的女生人數調整為5份，現在的女生人數調整為8份。

師：正因為有6名女生加入，所以女生人數由原來的5份增加到8份，你想到了什么？

生7：3份女生人數是6人，所以一份女生人數是2人。

生8：現在田徑隊女生人數占8份，一份2人，所以現在女生有16人。

師：我們可以把解題思路整理成表格。（見表1）

（2）舊分率轉化成新分率

師：剛才我們緊扣不變量，把舊分率轉化成份數來解決問題。其實也可以把舊分率轉化成新分率來解決問題。大家都試一試。

生9：男生人數是不變量，把男生人數看作單位“1”。

生10：學校田徑隊女生人數原來占[13]，轉化成原來女生人數占男生的[12]。

生11：“女生人數占田徑隊總人數的[49]”轉化成“現在女生人數占男生的[45]”。

生12：6人對應的分率是（[45-12]），男生人數等于6÷（[45-12]）=20（人）。

生13：現在女生人數為20×[45]=16（人）。

2.變式練習，舉一反三

（1）變問題

師：如果把問題改成現在田徑隊一共有多少人？你會解答嗎？

生1：解題思路不變。現在田徑隊人數一共有18份，所以總人數為2×18=36（人）。

師：你還能提什么問題？如何解答你提出的問題？

生2：原來田徑隊一共有多少人？原來田徑隊一共占15份，所以田徑隊一共有2×15=30（人）。

生3：原來田徑隊女生有多少人？原來田徑隊女生占5份，所以原來田徑隊女生有2×5=10（人）。

生4：田徑隊男生多少人？田徑隊男生占10份，所以田徑隊男生有2×10=20（人）。

師：大家真了不起，提出了這么多問題。這些問題有什么共同點？

生5：問題雖然有變化，但解題思路相同，都是先找準男生人數這個不變量，再求出一份有幾人，最后看有這樣的幾份。

（2）變條件

師：如果把條件改一改，你還能看出誰是不變量嗎？

出示題目：學校田徑隊訓練人員占休息人員的[15]，后來有1名休息人員加入訓練，這樣訓練人員人數就占休息人員的[14]。田徑隊一共有多少人？

生6：因為訓練人員發生了變化，休息人員也跟著變化，而田徑隊總人數沒有發生變化，也就是本題的不變量是總數。

師：把條件再改一下，看看不變量是什么？學校田徑隊女生人數是男生的[13]，各離隊6人，這時女生人數是男生的[14]。田徑隊原有男、女生各多少人？

生7：因為各離隊6人，男生人數發生了變化，女生人數也發生了變化，總人數也隨之變化，但男女人數的差沒有發生變化，也就是本題的不變量是男生和女生人數的相差數。

題目千變萬化，會做一道題，并不代表掌握了。通過“三變”條件，讓學生真正領悟“變中抓不變”思想：求變是為了更好地建構，在變化中迅速捕捉不變量，不變量可以是“和不變”“差不變”“部分量不變”等。

（3）變內容

出示題目：有一杯200克的鹽水，鹽的質量占鹽水的20%，加了一些水后，鹽的質量占鹽水的12.5%，求加了多少克的水。

生8：加了一些水后，水的質量變化了，隨之鹽水的質量也變化了，但鹽的質量是不變的。

師：剛才是加水使濃度降低，如果是通過蒸發使水減少呢？

出示題目：賓賓在科學課上配制了含鹽16%的鹽水200克。結果發現鹽水的濃度低了，需要用酒精加熱，使水蒸發。如果要使鹽水的含鹽率提高到20%，需要蒸發掉多少克水？

生9：蒸發了一些水后，水的質量變化了，隨之鹽水的質量也變化了，但鹽的質量是不變的。

生10：在鹽不變的情況下，不管是添加水還是蒸發水，都會引起濃度變化，要解決問題，還要在變化中緊扣不變量，抓不變量是解題關鍵。

師：同一種零件，張師傅做了20個，經檢驗，合格率為80%。為使合格率提高到95%，張師傅應連續生產多少個合格產品？這題的變量和不變量又是什么呢？

生11：合格率由80%提高至95%，合格的產品數量發生變化，零件總數也發生變化，但不合格的產品數量不變。抓住不合格產品數量是解題關鍵。

通過變問題、變條件、變內容，讓學生深入分析問題實質，精準把握解題關鍵。學生通過舉一反三，感悟更加深刻，解題思路更加清晰，認知結構也更加完善，在變化中抓不變量這一數學思想方法已在心中生根。

綜上所述，解決較復雜的分數應用題時，要讓學生根據題中的已知條件分析數量關系，以不變量作為突破口，以達到事半功倍的效果。“變中抓不變”的數學思想方法不僅可以拓寬學生的解題思路，還可以在解題過程中加深學生對基礎知識的理解、建立知識之間的聯系、提高解決實際問題的能力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 張明霞，林俊.在變化與關聯中整體建構：“周長變、變、變”拓展課教學片段與思考[J].小學數學教育，2022（20）：50-51，62.

[3] 柳軍民.巧抓不變量解分數應用題：稍復雜分數應用題解題方法初探[J].新課程（下），2017（11）：101.

（責編 梁桂廣）