感受位值的數學智慧

陳勝欽 程汝瑩

［摘 要］10是學生認識兩位數的開始，它的寫法涉及位值制、計數單位、十進制等概念。教學“10的認識”，要從計數單位“十”產生的歷史背景出發，讓學生在數數活動中認識10，知道“十”是一個計數單位，十位、個位是數位，進而理解位值的含義。

［關鍵詞］10的認識；教學實踐；十進制；位值

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0076-04

一、課前慎思

10是學生認識的第一個兩位數，它的寫法和0～9不同：它不再是用一個新的符號來表示，而是由學過的“1”和“0”這兩個數字符號組合而來的，數位是關鍵概念。對此教材是如何編排的呢？筆者對比了人教版2012版教材及2021版《生本學材》。人教版教材從數的意義、讀寫、排序、組成等對 “10”進行介紹，側重于對數的認識；而《生本學材》則突出了“十”作為計數單位的里程碑式的意義，從用1根大樹枝表示10根小樹枝，到生活中按十計數的習慣，再到用1根小棒表示十，將人類幾百年的創造位值制的歷史濃縮在一段教材內，引導學生感受位值制的精妙。

作為入學不到三個月的一年級學生，他們又有怎樣的認知基礎呢？筆者從每個班隨機選出幾名學生進行訪談。對于問題“請你幫牧羊人計數，用一根樹枝代表1只羊，數到10只，再來1只羊，樹枝不夠了，怎么辦？”，不少學生的回答是可以找一塊石頭，或再折一根樹枝來計數，由此可見，學生的思維停留在用一個物體對應另一個物體這種一對一的計數方法，而沒有達到“一對多”“以一當十”的水平。

這也讓筆者想到，學生在數數時，遇到的難點之一就是數到幾十九后不知道接下來怎么數。實際上，學生產生學習障礙最根本的原因是沒有理解十進位值制計數法的本質：一個一個地數，每個數位上最大的數字是9，哪一位上滿十，則應該向前一位進1。例如，數到29，再數一個，個位滿十向十位進1，個位變為了0，十位進1變成了3，是30。掌握了這個抽象的位值思想方法，就可以此類推。因此，“10的認識”這一課的數學本質就是要讓學生體會位值的思想。

二、教學過程

1.創設情境，溫故知新

師：同學們，我們已經認識了好幾個數，這節課讓我們穿越時空，和古人一起來繼續學習認數吧！古代的牧羊人是怎么數羊的呢？羊圈里走出來1只羊，牧羊人就在地上擺1根樹枝。

師（課件依次出示小羊）：請一位小朋友當牧羊人來數一數羊。

生1：1只、2只、3只、4只、5只、6只、7只、8只。

師：又來了1只羊，8添上1是9，再來1只羊，9添上1是幾？

生2：9添上1是10。

【設計意圖】課件依次出示小羊，讓學生在數數的過程中，理解數的本質，初步感受“數是一個一個地數出來的，而且一個比一個大”“9添上1就是10”。同時請一位學生上臺模擬牧羊人數羊，屏幕上每出來1只羊，學生就擺1根小樹枝，增加數數的趣味性的同時，也讓學生體驗一一計數的方法。

2.實踐操作，探究新知

（1）在數數中發展數感

師：大家都來當一當牧羊人吧！如果用一個圓片表示一只羊，應該擺幾個呢？請你們從盒子里拿出圓片，快速地在桌子上擺一擺。

師：你擺了幾個圓片來表示小羊的只數？

生3：10個。

師：我們一起來數一數，看看有沒有擺對。

生（齊）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

師：很準確，剛剛我們是一個一個地數，還可以怎么數呢？

生4（邊擺圓片邊數）：可以兩個兩個地數，2、4、6、8、10。

生5：10里面有5個2。

生6：三個三個地數，3、6、9，另外多出1個，一起是10。

生7：我能五個五個地數，是5、10。

師：請大家像生7這樣五個五個地數圓片，看10里面有幾個5？

生8：10里面有2個5。

【設計意圖】用半抽象的圓片表示數，讓學生完整經歷從實物到抽象的過程。用不同方法數出10，豐富了學生數數的經驗，在數數中發展學生的數感。

（2）學習10的組成

師（出示圖1）：10只羊和10個圓片成了好朋友，圖上還有什么可以跟10個圓片做好朋友？你是怎么看出10個的？

生9：我看到了10個橙子，左邊3個右邊7個。

師：觀察得真仔細，左邊3個與右邊7個合成10。

生10：我還看到了10個蘋果，4和6合成10。

生11：我還看到了10朵花，8和2合成10。

生12：還有10個梨，5和5合成10。

師：蘋果、橙子、梨、花，它們的形狀相同嗎？大小、顏色呢？

生13：都不相同。

師：那為什么它們都可以和10個圓片做好朋友？

生14：因為它們都是10個。

師：正如同學們所說，因為它們的數量都是10，所以它們都是10的好朋友。

【設計意圖】圖1上的蘋果、梨、橙子、花的數量都指向10的組成。讓學生觀察圖片，找10個圓片的好朋友，學生能感受10是物體個數為10的集合標記，感受數是對數量的抽象。

（3）學習按群計數

師：我們在這兒數數，羊圈里的小羊們可著急了，它們也想和大家一起玩。這時，又出來1只羊，一共有11只羊了，可是現在沒有小樹枝了，牧羊人該怎么計數呢？

生15：用1個蘋果代替1只羊。

生16：用1塊石頭代替1只羊。

師：你們想到的方法都是找一個其他物品代替1只羊。古人跟你們一樣，也找了一個物品—— 一根大樹枝，不過是用大樹枝代替這里的10根小樹枝，再拿出一根小樹枝，就表示了11只羊。

師：你覺得誰的方法更好呢？

生17：我覺得古人的方法很好，用一根大樹枝表示10，我能很快知道有多少只羊。

師：誰再說一說，古人是怎么用這個大樹枝表示11只羊的呢？

生18：用1根大樹枝代替10根小樹枝，再加上1根小樹枝。

師：10根樹枝、10個圓片，還有這1根大樹枝，都可以用數字10來表示，這就是我們今天要認識的新朋友（把“10”貼在黑板上）。10跟以前我們學的數有什么不一樣的地方？

生19：10是由1和0兩個數字組成的，以前學的數是一個數字。

師：是的，10是我們學的第一個兩位數。10的左邊是1，右邊是0，合起來讀“十”，今天我們就一起來認識10。

【設計意圖】用1根大樹枝代替10根小樹枝，讓學生經歷從“一一計數”到“按群計數”的過程。

（4）感受計數單位“一”和“十”之間的十進關系

師：我們的學具——小棒也想和10做朋友，請從你的學具盒子里數出10根小棒。老師跟你們一起數，比比誰數得快！10根小棒數了幾次？

生（齊）：10次。

師：一根小棒是1個一，你們數了幾個一？

生（齊）：10個一。

師（貼1捆小棒）：10個一就是10，為了讓人一眼看出它是10，把它們捆在一起，這一捆就表示1個十。

師：現在把1捆小棒拆開，它是10個一，再把它捆起來，它是1個十，數量沒變，那我們就說10個一是1個十。

【設計意圖】學生經歷玩小棒活動，把10個一變成1個十，又把1個十變成10個一。在變的過程中，學生深刻理解10個一就是1個十，感知計數單位“一”和“十”的關系。

（5）初步感知位值

師：剛才我們把10根小棒捆成一捆，用一捆來表示十。聰明的古人也用1根小棒表示了10，你們能猜到他們是用什么方法表示10的嗎？

生20：在小棒上貼1個“十”字。

生21：把小棒切成10段。

生22：在后面加個0。

生23：把小棒擺在不同的位置。

師（出示圖3）：聰明的古人把1根小棒放在右邊的竹筒，表示1個一；把1根小棒放在左邊的竹筒，表示1個十。

師：后來，人們用珠子代替小棒，計數時把珠子擺在不同的位置表示不同的數，根據這個原理，后來人們就發明了的計數器。

師（邊撥計數器的算珠邊問學生）：老師這里有一個計數器，我們一起來數一數。我們在這一位上撥的算珠每顆都表示1個一，所以這一位就叫作“個位”。1個十怎么表示？

生24：在十位上撥1顆算珠。

師：個位上的10個一表示10，十位上撥1顆算珠是1個十，也表示10，哪種方法更簡便？

生25：1個十。

師：在十位上撥的算珠每顆都表示1個十，我們把它叫作“十位”。

師（在田字格里示范寫10）：10這樣寫。1后面為什么要加個0？

生26：因為個位上的10顆算珠變成了十位上的1顆算珠，所以個位上就變成了0。

師：0可以省略不寫嗎？

生27：不可以，不寫0的話，10就變成了1。

【設計意圖】從十進制到位值制經歷了漫長的過程，這部分的學習對學生來說也是一個難點。“怎樣用1根小棒來表示10”學生根據已有知識和經驗進行討論交流，想出可以把小棒放在不同的位置，進而教師引出計數器這個學具，并用其直觀地表示“十位”“個位”作為數位，且“十”“一”作為計數單位的含義。

3.對比關聯，感受位值的精妙與簡潔

師：我們跟著古人一起學習了計數的方法，還認識了一個新朋友——10，你能從圖4的每一組框里找到10嗎？

（課件出示圖4）

生28：大樹枝是10，小樹枝是1。

師：大樹枝是用幾根小樹枝換來的呢？

生29：10根。

師：在這里，我們是根據樹枝的大小來區分1和10。

生30：一捆小棒也是10。

生31：計數器十位上的1顆算珠也是10。

師：算珠的大小、數量一樣，為什么同樣的算珠表示的意思卻不同呢？

生32：因為這兩顆算珠所在的位置不同，右邊計數器中的算珠在個位，左邊計數器的算珠在十位。

師：你說得太好了！同樣的一顆算珠，放在個位就表示1個一，放在十位就表示1個十，算珠所在的位置不同，表示的數量不一樣。

【設計意圖】從用1根大樹枝表示十，到用1捆小棒表示十，再到計數器十位上的1顆算珠表示十，學生在對比與關聯中體會位值制的簡潔與精妙。

三、教學反思

學生在上小學之前已經會認讀10，但僅僅是從表面上認識。如何讓學生從本質上認識10呢？0～9各數是一位數，只有個位，而10是兩位數，有個位和十位兩個數位，學生認識10不僅要經歷數量到數的抽象過程，更重要的是理解數位、發展數感。

1.經歷數的抽象過程

數是對數量的抽象，本課遵循“具體—半抽象—抽象（符號）—具體”的學生認知規律設計教學活動，由小羊、蘋果、梨子、橘子、花的數量，抽象出10個圓片組成的點子圖，讓學生思考后發現它們的共同點是數量相同，進而明確“雖然數的事物不同，只要數量相同，都可以用同樣數量的點子圖表示”，滲透“10是物體個數為10的集合的標記”的含義，接著回到“具體”——數出10根小棒并捆成一捆，進一步加深學生對10的認識。本課的教學活動讓學生完整地經歷了數的抽象過程。

2.培養學生的數感

“10的認識”的學習，承載著培養數感的重任。這節課安排了大量的活動幫助學生建立數感。

“數”出數感。數羊，一個一個、兩個兩個、五個五個地數小圓片；數小棒、在計數器上數，不同材料、不同形式，數數的活動達到10次以上，充分地“數”能很好地讓學生感知10這個符號對應的數量是多少。

“看”出數感。牧場里的蘋果、梨、橙子、花數量都是10，學生在觀察圖片的過程中能形成10有多少的直覺。

“玩”出數感。玩小棒，把10個一變成1個十，又把1個十變成10個一，學生能在玩的過程中感知計數單位“一”和“十”的關系，建立進率的概念。

3.感受位值的數學智慧

為什么表示10時沒有再用新的數字，而是從0～9中選擇0和1這兩個數字呢？這里蘊含著我們祖先計數的數學智慧——位值。如何讓剛入學三個多月的一年級學生也能感受這一智慧，教學中設計了挑戰性任務。

任務1：怎么表示11只羊呢？當學生想不出辦法時，教師提示“古人用1根大樹枝表示十”，再引導“用1根大樹枝加1根小樹枝表示11，和你們不斷地找新物品來代替，兩種方法哪種更好？好在哪里？”。

任務2：怎么用1根小棒表示10？當學生想不出辦法時，教師提示“可以通過把小棒擺在不同位置來表示10”，再引導“用1根小棒表示10，用1捆小棒表示10，哪個更好？好在哪里？”。

任務3：為什么同樣一顆算珠，大小、多少都一樣，卻能表示10？有了前面兩次的比較，可以看到學生在回答這個問題時是非常順暢的，說明位值在他們心中已經烙下了深深的印記，學生能充分地感知位值制的簡潔美。

在這樣的教學活動中，學生完整經歷了數的抽象過程，體會了位值的簡潔與精妙，形成初步的數感。

（責編 楊偲培）