基本初等函數(shù)問(wèn)題化教學(xué)之課例探究

蔡一帛

［摘? 要］ 文章擬運(yùn)用課堂教學(xué)行為大數(shù)據(jù)的分析方法，輔以問(wèn)題化教學(xué)原理課模型，展開(kāi)基本初等函數(shù)問(wèn)題化教學(xué)課例分析. 通過(guò)問(wèn)題支架搭建，幫助學(xué)生探索研究路徑，提升師生深度對(duì)話，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)課堂深層學(xué)習(xí).

［關(guān)鍵詞］ 基本初等函數(shù)；問(wèn)題化教學(xué)；課堂深層學(xué)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). ”［1］基于課標(biāo)理念，在課時(shí)設(shè)計(jì)過(guò)程中，把握本課時(shí)重難點(diǎn)以及核心素養(yǎng)培養(yǎng)，積極探索引導(dǎo)學(xué)生思維銜接點(diǎn)的問(wèn)題系統(tǒng)是教育工作者關(guān)心的重要問(wèn)題. 在當(dāng)前有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題化教學(xué)的研究中，研究者普遍認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，相較于解決問(wèn)題更能集中體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力的主推力；但是，關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究，目前主要集中在函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用等方面，對(duì)高中課堂教學(xué)問(wèn)題鏈的有效性設(shè)計(jì)研究相對(duì)不足. 因此，作者就“如何實(shí)現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題化教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維”這一問(wèn)題，以“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”為案例展開(kāi)研究，基于“課例研究起點(diǎn)、課例研究過(guò)程、課例研究改進(jìn)”的思路，探究高中數(shù)學(xué)問(wèn)題化教學(xué)的有效路徑.

課例研究起點(diǎn)：研讀課標(biāo)，以問(wèn)題教學(xué)推動(dòng)課堂轉(zhuǎn)變

基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)旨在用函數(shù)觀點(diǎn)和方法分析具體問(wèn)題的函數(shù)模型，發(fā)現(xiàn)事物的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律. 這對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的要求較高. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）解讀》指出：“概念形成過(guò)程的實(shí)質(zhì)是抽象出某一類對(duì)象或者事物的共同本質(zhì)特征的過(guò)程.”［2］章建躍博士在《“單元一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)”體例與要求》中建議：“從‘問(wèn)題串中歸結(jié)出一節(jié)課的流程.”［3］故本文擬采用問(wèn)題化教學(xué)模式，借用首都師范大學(xué)王陸教授團(tuán)隊(duì)對(duì)課堂教學(xué)行為大數(shù)據(jù)采集分析方法［4］，圍繞函數(shù)課例核心問(wèn)題的研究與解決，激發(fā)學(xué)生對(duì)核心問(wèn)題進(jìn)行深度探究和思考，力求通過(guò)教師問(wèn)題化的“教”，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)問(wèn)題化“學(xué)”的思維技能.

課例研究過(guò)程：以“函數(shù)f（x）= Asin（ωx+φ）的圖象”為例

依據(jù)課例研究起點(diǎn)，現(xiàn)以“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）”為例，探尋問(wèn)題鏈教學(xué)模式在課堂實(shí)際中的運(yùn)用.

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)分析：運(yùn)用追問(wèn)式教學(xué)，預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)與策略

（1）“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn).

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)包含兩方面內(nèi)容：①?gòu)默F(xiàn)象看本質(zhì)：通過(guò)質(zhì)點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程的觀察，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題，即函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數(shù)對(duì)圖象變化的影響，并進(jìn)一步理解由質(zhì)點(diǎn)變化到曲線變化的遷移過(guò)程；②通過(guò)對(duì)正弦曲線的平移、伸縮變換過(guò)程的實(shí)操，明確函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系. 引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)表達(dá)素養(yǎng).

基于上述教學(xué)目標(biāo)，筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)如下：①筒車運(yùn)動(dòng)的背景條件綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的要求較高；②研究參數(shù)對(duì)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖象的影響，其分析順序以及關(guān)聯(lián)研究對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的要求較高；③在正弦曲線經(jīng)變換得到函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象的過(guò)程中，對(duì)平移、伸縮等變換的準(zhǔn)確表述.

（2）“函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學(xué)策略.

針對(duì)上述教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)，提出教學(xué)策略如下. ①采用問(wèn)題化教學(xué)：圍繞教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)問(wèn)題系統(tǒng)設(shè)計(jì)；層進(jìn)式突破問(wèn)題猜想：探索參數(shù)φ對(duì)函數(shù)f（x）=sin（x+φ）圖象的影響，然后通過(guò)類比探究，逐步解決參數(shù)A，ω對(duì)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖象的影響. ②采用信息技術(shù)手段實(shí)現(xiàn)對(duì)筒車現(xiàn)實(shí)情境的動(dòng)態(tài)幾何呈現(xiàn)，逐步代數(shù)化，引導(dǎo)學(xué)生分析各參變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，以直觀感受函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數(shù)的作用，突破重難點(diǎn).

2. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：厘清問(wèn)題鏈條，明晰主線環(huán)節(jié)

通過(guò)上述分析，可得教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)為表1所示的5個(gè)環(huán)節(jié)（表1呈現(xiàn)了各個(gè)環(huán)節(jié)的教師活動(dòng)、學(xué)生活動(dòng)、活動(dòng)說(shuō)明及設(shè)計(jì)意圖）.

課例設(shè)計(jì)有效問(wèn)題鏈，通過(guò)引導(dǎo)、觀察、討論等多個(gè)探究路徑，圍繞教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)探究，努力營(yíng)造一個(gè)師生共同參與的交互式探究過(guò)程，遵循問(wèn)題化教學(xué)原理的基本流程：提出問(wèn)題→形成猜想→枚舉、論證、歸納結(jié)論→運(yùn)用結(jié)論. 課例設(shè)計(jì)以下問(wèn)題進(jìn)行分析.

（1）問(wèn)題引入，激發(fā)思維.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)注的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及數(shù)學(xué)發(fā)展能力. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，提出有效問(wèn)題是學(xué)生探求知識(shí)與發(fā)展科學(xué)思維的原動(dòng)力. 本節(jié)課主要研究參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)參數(shù)變化對(duì)圖象的影響是關(guān)鍵，以問(wèn)題形式引導(dǎo)學(xué)生參與各環(huán)節(jié)的探究是重點(diǎn).

以如下問(wèn)題為例：半徑為A m的筒車逆時(shí)針做角速度為ω rad/min的勻速圓周運(yùn)動(dòng). 如果筒車上的點(diǎn)P從P處開(kāi)始計(jì)算時(shí)間：若P置于x軸的正半軸上，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中確定時(shí)刻x min時(shí)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y. 若P置于圖1的位置時(shí)呢？

通過(guò)上述問(wèn)題情境的設(shè)立，引發(fā)學(xué)生思考與探討參數(shù)φ，ω，A與變量x，y之間的關(guān)系，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而展開(kāi)探究實(shí)踐活動(dòng).

（2）圖象探究，提升認(rèn)知.

教學(xué)目標(biāo)之二是探索各參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，此時(shí)，問(wèn)題鏈系統(tǒng)設(shè)計(jì)是師生互動(dòng)的行動(dòng)方向，目標(biāo)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有效提高課堂學(xué)習(xí)深度. 本節(jié)課為研究參數(shù)φ對(duì)函數(shù)f（x）=sin（x+φ）圖象的影響設(shè)計(jì)如下問(wèn)題.

問(wèn)題1 觀察函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=sinx+的圖象的關(guān)系，猜測(cè)函數(shù)解析式與圖象的關(guān)聯(lián)性（借助信息技術(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖2）.

圖4為課堂觀察維度評(píng)分等級(jí)圖. 本節(jié)課綜合運(yùn)用了授導(dǎo)法、觀察法、同儕互助法、問(wèn)題教學(xué)法等教學(xué)方法以及聯(lián)結(jié)、支架、重復(fù)、歸納總結(jié)、啟發(fā)等教學(xué)策略，指引學(xué)生通過(guò)實(shí)踐理解函數(shù)圖象的變換過(guò)程以及三個(gè)參數(shù)對(duì)正弦型函數(shù)圖象的影響. 教師設(shè)計(jì)了一系列類型豐富的問(wèn)題，其中以推理性問(wèn)題與是何問(wèn)題為主，有利于學(xué)生理解函數(shù)圖象之間的變換過(guò)程以及參數(shù)對(duì)函數(shù)的影響；同時(shí)通過(guò)批判性問(wèn)題以及如何問(wèn)題等指向?qū)W生的高階思維，發(fā)展學(xué)生的策略性知識(shí)運(yùn)用能力和遷移運(yùn)用能力以及質(zhì)疑反思能力；通過(guò)提升師生互動(dòng)行為的轉(zhuǎn)換率，即增加肯定回應(yīng)、追問(wèn)以及對(duì)話深度等課堂行為的占比，可引發(fā)學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)深度思考，讓學(xué)生親身感受解決問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法與思維；課堂實(shí)踐表明，在時(shí)間允許的條件下適時(shí)留白，能讓學(xué)生思考、表達(dá)得更加充分，更能體現(xiàn)學(xué)生的主體性.

4. 課例研究改進(jìn)：完善總結(jié)，發(fā)展問(wèn)題解決能力

學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)是學(xué)習(xí)高中函數(shù)知識(shí)的重要環(huán)節(jié). 讓學(xué)生從函數(shù)圖象和性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題化學(xué)習(xí)方式，研究參數(shù)對(duì)具體函數(shù)圖象變化的影響，是重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和研究方法的有效途徑，教學(xué)中教師應(yīng)通過(guò)問(wèn)題支架的建構(gòu)，幫助學(xué)生搭建思維平臺(tái)，開(kāi)拓研究路徑，發(fā)展學(xué)生研究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

課例對(duì)基本初等函數(shù)問(wèn)題化教學(xué)的啟示

問(wèn)題化“教”與“學(xué)”的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，讓課堂教學(xué)過(guò)程體系化. 它通過(guò)教師預(yù)設(shè)的遞進(jìn)式問(wèn)題，架構(gòu)合理的課堂問(wèn)題鏈，給學(xué)生更多的思考空間，在學(xué)生自我探究與不斷比較、歸納、提升的過(guò)程中，內(nèi)化新知，整合知識(shí)體系，使學(xué)生及時(shí)突破教學(xué)重難點(diǎn). 它讓學(xué)生在知識(shí)理解的過(guò)程中，思維層次循序漸進(jìn)，對(duì)問(wèn)題的探究和思考不斷深入. 通過(guò)師生課堂深度對(duì)話，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的有效性，實(shí)現(xiàn)課堂深層學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)問(wèn)題化“學(xué)”的思維技能，為終身學(xué)習(xí)奠基.

參考文獻(xiàn)：

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