復雜金屬中電阻率的非廣延統計模型*

鄭亞輝,孫朋強,李沉思,董曉曦

(河南工學院 理學部,河南 新鄉 453003)

0 引言

在現代科學技術應用中,材料的導電性能是需要考慮的重要性能之一,在很多情況下,它甚至超過了材料的力學和熱學性能。導電材料、電阻材料、電熱材料、半導體材料、超導材料和拓撲絕緣材料等,都是以材料導電性能為基礎的。描述材料導電性能的重要物理量是電導率或電阻率,二者互為倒數。由于材料的復雜性,在理論上對電導率或電阻率進行研究、明確其主要的影響因素,是極為重要的。

在經典量子統計中,基于自由電子費米狄拉克分布函數,通過能帶電子的玻爾茲曼方程的弛豫近似,可以得到金屬自由電子的電導率公式,其倒數就是電阻率,電阻率與電子弛豫時間倒數成正比關系。弛豫時間倒數在物理上是可分析的,具有物理實在性,它一般與自由電子格波散射過程有關。格波散射可以看成電子與聲子的碰撞過程,由此得到了弛豫時間的大角度散射躍遷表達式[1-2]。

在純金屬材料中,電阻率的一般實驗規律是:高溫時,電阻率與溫度T成正比,低溫時電阻率與T5成正比,后者被稱為Bloch-Gruneisen定律[3-4]。為了與實驗規律匹配,人們提出了各種模型[5-6],用以簡化散射躍遷表達式,以得到解析結果。另一方面,在包含雜質的半導體、拓撲絕緣材料中,電阻率呈現出復雜的溫度依賴關系,難以用經典統計理論解釋。為了得到更符合實驗的理論結果,除了在動力學方面進行修正外,另一個途徑是提出新的統計方法。

經典量子統計是以金屬的自由電子氣模型為基礎的。如果需要考慮電子之間的長程相互作用或關聯,則需要將統計力學加以推廣。有意義的一種推廣方法是近幾十年才出現的非廣延統計力學[7],以該理論方法為基礎,可進一步建立能描述量子體系統計性質的非廣延量子統計理論[8]。本文以非廣延量子統計理論為基礎,將自由電子氣模型推廣,通過改進散射模型,討論復雜金屬電阻率的溫度依賴問題。

1 非廣延量子統計簡介

在正式討論自由電子電阻率問題前,先簡單介紹一下非廣延量子統計理論。在非廣延巨正則系綜內[8],基本的分布函數為

(1)

其中的巨配分函數是

(2)

這里的s代表系統的不同量子態,廣義拉格朗日乘子定義為[8]

(3)

而Tsallis因子

(4)

平均粒子數和系統內能定義為

(5)

在一個近獨立的量子系統,粒子數和能量可以表示為

(6)

在巨正則系綜內,占據數的分布{an}是不確定的,因此必須考慮巨正則求和中所有的可能性。根據平均值的非廣延定義(5),給定量子態的平均占據數可定義為

(7)

引入如下參數變換

(8)

在這個變換式的左端,求和項正比于整個系統在給定占據數分布時的總自由度。提出這個變換的主要目的是,用新的非廣延參數ν替換非廣延參數q。因此,假定整個系統使用相同的ν值,這意味著q值隨著系統占據數分布的變化而變化,而同時在占據數分布固定的子系統中,q值又是不變的。進一步將(8)對所有可能的占據數分布取平均,可得到一個簡單的二參數關聯式

(9)

其中,N是系統平均粒子數,d是單粒子自由度。上述平均實際上也對q取平均了,也即此時的q值對整個系統的來說是不變的。

定義如下非負實數,作為新指數函數的底

(10)

則有

(11)

對非廣延玻色系統,有如下玻色統計表達式

(12)

此時的巨配分函數為

(13)

為了得到解析結果,作為一級截斷,已經忽略了指數部分對Tsallis因子的依賴。Tsallis因子與巨配分函數的自關聯關系由下式給出[9-10]

(14)

2 自由電子電導率的改進模型

為給出改進模型,先介紹自由電子電導率的經典模型,它由下式描述[1]:

(15)

其中的ne是自由電子數密度,qc是電子電荷,τ是電子弛豫時間,m*是電子有效質量。該式適用于各向同性金屬晶體,其倒數就是電阻率。也就是說,電阻率與弛豫時間倒數成正比。

弛豫時間可解釋為自由電子與晶格格波的散射時間,即自由電子與聲子的自由碰撞時間?？紤]各向同性彈性散射情況,弛豫時間可表示為[1-2],

(16)

其中的Θ是電子在散射過程中由k態到k'態的躍遷幾率,θ是電子的散射角?，F在對上述模型做出改進。假定散射躍遷幾率是各向同性的,則有

(17)

這里的δ函數來自于量子力學微擾論,其中已經忽略了聲子能量,A是只與碰撞前后電子波數有關的常數項。躍遷幾率與經典碰撞頻率成正比,即與單位時間內電子和聲子的碰撞次數成正比。后者又與聲子的平均濃度成比例。故此上式中出現的n代表聲子的平均濃度。

考慮到(17),式(16)可修改為

(18)

對于各向同性晶體,能態密度為

(19)

因此有

(20)

該式就是我們進一步討論的基礎。

3 基于非廣延玻色統計的溫度依賴關系

為了具體應用,在廣義玻色統計表達式(12)式中引入如下拉格朗日關系[9-10]:

(21)

其中的kB是玻爾茲曼常數,μ是化學勢,T是熱力學溫度或拉格朗日溫度。聲子的化學勢為零,如果暫時忽略指數部分對Tsallis因子的依賴關系,則在給定能量下的聲子數目為

(22)

應用德拜模型,聲子的譜密度可寫為[11]

(23)

其中的cs代表聲速。設系統的總自由度為3N,則上式滿足

(24)

其中的ωD是德拜頻率。

根據德拜模型,聲子濃度為

(25)

另一方面,設聲子波數為qs,且滿足ω=csqs,則聲子波數的平均值為

(26)

上述積分很難給出解析結果,需要考慮溫度的兩種極端情況。首先是高溫情況,在這種情況下,所有格波,即所有聲子都會被激發,這意味著式(20)中的散射角取遍了所有可能的角度:

(27)

然后是低溫情況,在這種情況下只有低頻格波被激發,聲子動量很小,散射角度也很小。散射角的積分上限無法估算。為此,可將散射角看成立體角的函數,取其平均值如下:

(28)

如圖1所示,如果只考慮電子散射的正規過程,在小角度散射情況下,有

圖1 電子散射的正規過程

(29)

因此有

(30)

在低溫極限,上式的積分上限可取無窮大,因此可得

(31)

綜上所述,在高溫情況下,金屬電阻率與T成正比;在低溫情況下,電阻率與T5成正比。這個結論與經典統計給出的結果相同,不同之處是上述結果中多了一個與非廣延參數相關的修正。這個結果沒什么新奇之處,也不能解釋復雜金屬對上述溫度依賴關系的偏離情況。為此,需要考慮Tsallis因子的修正效應。

4 Tsallis因子修正對溫度依賴關系的影響

為了分析Tsallis因子的修正效應,將式(13)寫成對數形式,并將求和化為積分,即

(32)

此外,對復雜金屬的晶格振動,取d=6,式(9)變成了

(1-q)3N=1-ν

(33)

在高溫情況下,有

(34)

此時聲子的總內能可用經典結果近似,即U=3NkBT?？紤]到(14)和(33)式,Tsallis因子可以寫成如下形式:

(35)

此時的弛豫時間為

(36)

在非廣延參數ν偏離1不遠的情況下,該式表明金屬電阻率對溫度的依賴略微偏離了其一次方。這是很有意思的結果。需要注意的是,在一般復雜金屬中,非廣延參數ν偏離1并不遠。

在低溫情況下,

(37)

另一方面可以證明,在Tsallis因子一級截斷條件下,聲子氣體的內能為[8]

(38)

根據上述兩個結果,有

(39)

此時的弛豫時間為

(40)

同樣,在非廣延參數ν偏離1不遠的情況下,上式表明電阻率對溫度的依賴出現了一個很小的附加項,它與溫度的8次方成正比。為了看清楚非廣延參數對電阻率溫度依賴關系的影響,需要對上述結果進行數值計算,并畫出變化曲線。

5 數值計算

為了進行數值計算,需要忽略次要因素,對弛豫時間表達式(36)和(40)做無量綱化處理。在高溫情況下,有

(41)

其中的無量綱電阻率和無量綱溫度分別定義為

(42)

同樣,在低溫情況下有

(43)

在這里,為了精確并沒有采用近似形式,其中的無量綱電阻率定義為,

(44)

可以發現,t是熱力學溫度與德拜溫度的比值。在高溫階段這個比值較大,在低溫階段該值較小。圖2給出了高溫電阻率隨溫度變化的三條曲線,由上到下,分別對應非廣延參數ν=0.90、ν=1.00及ν=1.10時的情況。該曲線族顯示出電阻率對非廣延參數的敏感依賴特征,這種特征在極高溫區非常明顯。從數值模擬角度來看,這種敏感依賴特征來自于(41)式中的冪律性質。類似地,圖3給出了低溫電阻率隨溫度變化的三條曲線,由上到下,分別對應非廣延參數ν=0.99、ν=1.00及ν=1.01時的情況。這個曲線族也顯示了溫度對非廣延參數的敏感依賴性,且在接近德拜溫度的溫區尤為明顯。從(43)式可以看到,這種依賴特征主要來于其中的(1-ν)項。

圖2 高溫電阻率隨溫度變化曲線

圖3 低溫電阻率隨溫度變化曲線

整體來看,金屬電阻率會隨著非廣延參數減小而增加。從物理上來說,電阻率增加意味著散射頻率的增加,也就是說,非廣延參數減小與更頻繁的晶格散射相關聯。這表明此時的金屬晶體整體上有收縮的趨勢,這暗示了晶格常數略微減小或者晶格作用強度略微增加。與此同時,電子之間的長程相互作用表現為吸引力。與此相對,非廣延參數增加與導致電阻率減小,晶體有整體膨脹的趨勢,暗示了晶格常數的增加和晶格作用強度的減弱,電子之間的相互作用表現為排斥力。

6 結論

在本文中,基于非廣延量子統計理論,提出了復雜金屬電阻率的電子散射模型的改進型。在該模型中,電子散射幾率是各向同性的,僅是電子能量的函數,且與聲子平均濃度和電子態密度成正比。在高溫情況下,所有格波都被激發,散射角取所有可能的數值;在低溫情況下,僅有低頻格波被激發,只需要考慮小角度電子散射。此時的散射角需看成立體角的函數,并將散射角積分與其平均值聯系起來;小角度散射情況下,角度與聲子平均動量成比例。

根據這個改進模型,本文得到了電子自由碰撞時間倒數的解析表達式,它與金屬電阻率成比例。在沒有考慮Tsallis修正時,該表達式給出的結果本質上與經典表達式相同,都能解釋一般金屬中電阻率的實驗規律:高溫時與T成比例,低溫時與T5成比例。然而在引入Tsallis修正后,得到了新奇的理論結果,即在高溫時電阻率與T2-ν成比例;在低溫時電阻率包含兩項,第一項較大,與T5成比例,第二項較小,與T8成比例。

通過數值計算,分別給出了高溫電阻率和低溫電阻率隨溫度的變化關系曲線。該曲線表明,電阻率敏感依賴于非廣延參數ν的取值,它會隨著該參數的減少而增加,隨著參數的增加而減少。非廣延統計理論的基本假設是,復雜系統的統計規律會因其在相空間或真實時空的長程關聯而發生改變,從而脫離經典的玻爾茲曼統計。這種脫離主要體現在非廣延參數偏離1(即1-ν)的程度上。同時,這種偏離可以跟具體的動力學過程或系統構型聯系在一起。如在自引力氣體系統[12],偏離量(1-ν)與系統的溫度梯度及引力勢梯度直接關聯。而在實際氣體研究中[13],該偏離量(1-ν)與分子間的范德瓦爾斯力關聯。

在復雜金屬材料中,受各種復雜機制影響,如電子數密度的增加、重離子摻雜、長程電子耦合等,整個晶體出現了長程關聯。這種關聯一方面導致統計規律的改變,另一方面在動力學上體現為整體排斥或收縮效應,具體到晶格上就是晶格常數及晶格強度的改變。具體來說,非廣延參數的減少,來自晶格常數的減少或晶格強度的增加,這導致了晶體整體的收縮、電阻率的增加及碰撞率的增加。反之,非廣延參數增加,來自晶格常數的增加或強度減少,晶體整體表現為膨脹、電阻率減少、電子碰撞率減少。

由于非廣延參數可以跟很多復雜性機制聯系起來,本文的結果在復雜金屬材料、拓撲絕緣材料、復雜半導體材料、超導材料及復雜電阻材料等包含復雜性機制的材料中有重要應用。