廣義Robertson-Walker時(shí)空中具有高階平均曲率的完備類(lèi)空超曲面*

張 寧

(河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng)453003)

0 引言

Lorentzian流形是微分流形的重要分支,無(wú)論在數(shù)學(xué)還是廣義相對(duì)論方面都具有重要的意義,一直以來(lái)被眾多的幾何學(xué)家和物理學(xué)家關(guān)注和研究。此方面的研究也是基于Lorentzian流形中的類(lèi)空超曲面在廣義相對(duì)論中的重要性。事實(shí)上,Lorentzian幾何是廣義相對(duì)論的幾何語(yǔ)言,而其中的類(lèi)空超曲面扮演著重要的角色。例如,在Einstein場(chǎng)方程的初值公式中,甚至可以說(shuō)類(lèi)空超曲面決定了空間的結(jié)構(gòu)。

本文結(jié)構(gòu)如下:第一部分給出廣義Robertson-Walker時(shí)空及其類(lèi)空超曲面的一些概念與結(jié)論;第二部分證明Robertson-Walker時(shí)空中的完備類(lèi)空超曲面的唯一性;第三部分將第二部分所得的唯一性結(jié)果推廣到廣義Robertson-Walker時(shí)空中。

1 廣義Robertson-Walker時(shí)空及其類(lèi)空超曲面

由于?t是類(lèi)時(shí)的單位向量場(chǎng),則在Σn上存在唯一的一個(gè)與?t具有相同時(shí)間定向的類(lèi)時(shí)單位法向量場(chǎng)N,即滿(mǎn)足〈N,?t〉<0。利用Cauchy-Schwarz不等式,可得〈N,?t〉≤-1。此外,我們定義函數(shù)θ:=〈N,?t〉為Σn的角度函數(shù)。

令A(yù):Τ(Σ)→Τ(Σ)是類(lèi)空超曲面Σn上關(guān)于N的形狀算子,并且其特征值λ1,…,λn為Σn的主曲率。此外,對(duì)于形狀算子A,Σn上存在n個(gè)代數(shù)不變量,即關(guān)于A(yíng)特征值的r階初等對(duì)稱(chēng)函數(shù)Sr,定義為

且Σn上的r階平均曲率Hr被定義為

(1)

故H0=1,H1是Σn的平均曲率。

定義A相對(duì)應(yīng)的牛頓變換Pr:Τ(Σ)→Τ(Σ)為

對(duì)于每一個(gè)Pr可定義其相應(yīng)的二階線(xiàn)性微分算子Lr:C∞(Σ)→C∞(Σ),則對(duì)任意f∈C∞(Σ)有

Lr(f)=tr(Pr°2f)

(2)

故,h在Σn上的梯度為

且 |h|2=θ2-1

(3)

其中,( )Τ是向量場(chǎng)沿Σn的切叢,而||為向量場(chǎng)在上Σn的范數(shù)。

為了證明我們的結(jié)果,先給出需要的引理。

引理1[10]設(shè)ψ:Σn→-I×ρMn是浸入GRW時(shí)空-I×ρMn中的類(lèi)空超曲面。令h是高度函數(shù),σ(t)是扭曲乘積函數(shù)ρ(t)的原函數(shù),則

(4)

Lrσ(h)=-cr(ρ′(h)Hr+θρ(h)Hr+1)

(5)

定義1 設(shè)ψ:Σn→-I×ρMn是GRW時(shí)空中的類(lèi)空超曲面。如果選取合適的高斯映射N(xiāo),使得所有的主曲率ki(p0),1≤i≤n同號(hào),則稱(chēng)點(diǎn)p0∈Σn為橢圓點(diǎn)。

此外,GRW時(shí)空中-I×ρMn中的類(lèi)空塊是指如下類(lèi)型的區(qū)域:

[t1,t2]×Mn={(t,p)∈-I×ρMn:t1≤t≤t2}

下面的兩個(gè)引理給出了算子Lr,r≥1是橢圓算子應(yīng)該滿(mǎn)足的幾何條件。

下面的引理給出了浸入GRW時(shí)空中的類(lèi)空超曲面上存在橢圓點(diǎn)的條件。

引理4[10]設(shè)ψ:Σn→-I×ρMn是浸入GRW時(shí)空-I×ρMn中的類(lèi)空超曲面。如果ρ(h)在點(diǎn)p∈Σn上取得局部最小值并且滿(mǎn)足ρ′(h(p))≠0,則點(diǎn)p為Σn的橢圓點(diǎn)。

為了證明唯一性,還需應(yīng)用以下結(jié)論:Stokes定理的拓展形式,我們將其呈列如下,其中L1(Σ)為Σn上的勒貝格可積函數(shù)。

引理5[13]設(shè)X為n維完備非緊致的可定向黎曼流形Σn上的光滑向量場(chǎng),使得divX在Σn上不變號(hào)。若|X|∈L1(Σ),則有divX=0。

引理6[13]設(shè)u是n維完備黎曼流形Σn上的非負(fù)光滑的次調(diào)和函數(shù),若|u|∈L1(Σ),則u是常數(shù)。

2 Robertson-Walker時(shí)空中的唯一性

首先,我們給出Robertson-Walker時(shí)空中有關(guān)唯一性的結(jié)果。

定理1 設(shè)ψ:Σn→-I×ρMn是浸入Robertson-Walker時(shí)空-I×ρMn中的完備類(lèi)空超曲面且包含于一類(lèi)空塊中。如果ρ(h)在點(diǎn)p∈Σn上取得局部最小值且滿(mǎn)足ρ′(h(p))≠0;并且在Σn上平均曲率H有界,HrHr+1<0,1≤r≤n-1;此外|h|∈L1(Σ)。假設(shè)以下兩個(gè)條件中的任意一個(gè)成立:

其中k為纖維Mn的常截面曲率,則Σn為類(lèi)空片。

證明:首先,根據(jù)公式(3)可知θ≤-1。其次,根據(jù)引理4,可知Σn上存在橢圓點(diǎn),由橢圓點(diǎn)的定義和等式(1)可得H2>0。

我們注意到若第二基本形式|A|在Σn上有界,則Pr在Σn上有界。利用H有界和H2>0,結(jié)合等式|A|2=n2H2-n(n-1)H2,可得|A|在Σn上有界,從而Σn上存在常數(shù)C>0,使得

|Pr(σ(h))|≤Cρ(h)|h|∈L1(Σ)

此外

div(Prσ(h))=ρ(h)〈divPr,h〉+Lr(σ(h))

當(dāng)Mn具有常截面曲率k,則直接計(jì)算可得

(6)

因?yàn)镠rHr+1<0,1≤r≤n-1,則高階平均曲率Hr與Hr+1異號(hào)。當(dāng)Hr>0,Hr+1<0時(shí),考慮到橢圓點(diǎn)的存在性,利用引理3和引理4可得r為偶數(shù)且Pr-1是負(fù)定的。考慮假設(shè)條件(i),可知在Σn上div(Prσ(h))≥0。進(jìn)一步,根據(jù)引理5,可知div(Prσ(h))=0,代入公式(6),可得θ=-1,即Σn為類(lèi)空片。

另一方面,當(dāng)Hr<0,Hr+1>0時(shí),再次利用引理3和引理4,可得r為奇數(shù)且Pr-1是正定的。結(jié)合條件(i),可知在Σn上div(Prσ(h))≤0,由引理5,div(Prσ(h))=0,則Σn為類(lèi)空片。

對(duì)于第二個(gè)條件(ii),類(lèi)似于假設(shè)條件(i)的推導(dǎo)過(guò)程,可得Σn為類(lèi)空片。證畢。

同時(shí),若Σn上存在橢圓點(diǎn)且高階平均曲率同號(hào),即HrHr+1>0,1≤r≤n-1,則選取合適的高斯映射N(xiāo),有Hr>0,Hr+1>0。此時(shí),我們可得如下推論:

推論1 設(shè)ψ:Σn→-I×ρMn是浸入Robertson-Walker時(shí)空-I×ρMn中的完備類(lèi)空超曲面且包含于一類(lèi)空塊中。如果ρ(h)在點(diǎn)p∈Σn上取得局部最小值且滿(mǎn)足ρ′(h(p))≠0;在Σn上平均曲率H有界且HrHr+1>0,1≤r≤n-1;此外,|h|∈L1(Σ)。假設(shè)以下兩個(gè)條件中的任意一個(gè)成立:

或

其中k為纖維Mn的常截面曲率,則Σn為類(lèi)空片。

3 廣義Robertson-Walker時(shí)空中的唯一性結(jié)果

在本節(jié),我們將Robertson-Walker時(shí)空中的有關(guān)結(jié)論延拓至廣義Robertson-Walker時(shí)空中,給出此外圍空間中完備類(lèi)空超曲面的唯一性結(jié)果。

定理2 設(shè)ψ:Σn→-I×ρMn是浸入廣義Robertson-Walker時(shí)空-I×ρMn中的完備類(lèi)空超曲面且包含于一類(lèi)空塊中,如果ρ(h)在點(diǎn)p∈Σn上取得局部最小值且滿(mǎn)足ρ′(h(p))≠0;在Σn上平均曲率H有界,(logρ)″(h)≥0且|h|∈L1(Σ),若以下兩個(gè)條件中的任意一個(gè)成立:

其中0≤r≤n-1,則Σn為類(lèi)空片。

證明:類(lèi)似于定理1的討論,可知Σn上存在橢圓點(diǎn)且Pr有界。對(duì)于條件(i),HrHr+1<0,我們分兩種情況討論:當(dāng)Hr>0,Hr+1<0時(shí),通過(guò)引理3和引理4,可知r為偶數(shù)且Pr是正定的。因此,存在常數(shù)β>0滿(mǎn)足Pr≤βI,利用等式(4),我們有

結(jié)合條件(i),則βΔρ(h)≥0。由于類(lèi)空超曲面包含于一類(lèi)空塊中,可知h是有界的,從而Σn上存在常數(shù)C>0,使得|ρ(h)|≤C|h|∈L1(Σ)。根據(jù)引理6,可得ρ(h)為常數(shù),故h也是常數(shù)。因此Σn是一類(lèi)空片。

另一方面,當(dāng)Hr<0,Hr+1>0時(shí),根據(jù)引理3和引理4,可知r為奇數(shù)且Pr是負(fù)定的。因此,存在常數(shù)β>0滿(mǎn)足Pr≥-βI,再次利用等式(4),我們有

考慮條件(i),可知βΔρ(h)≥0。同理可證Σn是一類(lèi)空片。

對(duì)于條件(ii)的情況,類(lèi)同于條件(i)的證明,可得Σn是一類(lèi)空片。證畢。