中學數(shù)學課堂教學中錯誤資源的應用策略

孟冰清 馮福存 陸萬順

［摘 要］數(shù)學課堂教學中出現(xiàn)錯誤在所難免，以資源的眼光看待錯誤，合理地利用錯誤可以推進課程進展，提高課堂教學效率。因此，探究如何利用錯誤資源顯得尤為重要。文章以中學數(shù)學課堂教學為例，通過查閱文獻并結合教學實踐對學生產生錯誤的原因及如何利用錯誤資源進行探究，旨在加強中學數(shù)學教師對錯誤資源的重視，提高數(shù)學課堂教學效率。

［關鍵詞］中學數(shù)學；錯誤資源；應用策略

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0040-03

學習是一個動態(tài)的、發(fā)展的過程，學生在從“不會”到“會”的過程中難免會產生錯誤。錯誤資源是指學生在認知過程中發(fā)生偏差或失誤，并通過互動，在集體“識錯”“思錯”和“糾錯”過程中生成的課程資源。

傳統(tǒng)的課堂教學中，教師視錯誤為教學的失敗，因而在教學時極力加以防范，并給予各種錯誤消極的評價。在20世紀中后期，班杜拉認為產生錯誤會增加復發(fā)的可能性，提倡無錯誤學習，即完全消除或減少教育中的錯誤［1］。相比之下，更多的研究則表明，錯誤的學習，即產生錯誤并隨后接收正確的答案反饋，比無錯誤的學習更能對正確的信息產生更好的記憶。

全國數(shù)學教師委員會表示，學生的錯誤可以促進關于數(shù)學話題的辯論，并可以成為學生理解數(shù)學概念的窗口。教師應充分利用學生的錯誤為學生制造學習機會，以促進學生開展富有成效的討論。

著名學者邵華在文獻［2］中指出，真正的課堂是一個“錯誤—探究—改善”的過程，教師應注重利用錯誤資源引導學生對知識進行深層次的認識。特級教師華應龍在文獻［3］中指出，差錯是一種被忽視又亟待開發(fā)的寶貴教學資源。

上述研究表明，學生的錯誤是重要的教學資源，教師利用好錯誤資源能夠在一定程度上提高課堂教學效率。但很少有研究專注于探索中學數(shù)學課堂教學錯誤資源的應用策略。本文旨在探究如何應用學生課堂中的錯誤資源以提高中學數(shù)學課堂教學效率。

一、中學數(shù)學課堂錯誤資源的來源

數(shù)學學習是一個受各種因素影響的復雜過程，產生錯誤的原因也是多方面的。無論是何種原因產生的錯誤，對于教師來說都是珍貴的教學資源，對這些錯誤資源加以改進和完善，可以更好地輔助教學，培養(yǎng)學生的思維品質和學習習慣。

（一）認知能力不足導致的錯誤

研究表明，我國青少年的思維發(fā)展具有如下特點：中學生的形式邏輯思維在初中一年級開始占據(jù)優(yōu)勢，到高中二年級已經(jīng)基本成熟［4］。中學生通過分析事物的本質特征和屬性，掌握各種抽象概念。但是中學生掌握抽象概念的能力并非一蹴而就的，而是逐步發(fā)展的。中學生的思維由直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡，但還沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維，而且學生個體差異也比較大，有的學生抽象邏輯思維發(fā)展快一些，有的則慢一些，因此學生的認知能力存在差異性。教師在教學時要注意識別學生認知能力不足造成的問題。比如，有的學生在化簡[x2+1x-1]時，直接寫成：[x2-1x-1=（x+1）（x-1）（x-1）=x+1]。很多教師會認為是因為粗心造成的，但其實是因為學生對于代數(shù)式恒等變換的概念認知不足。學生沒有意識到這里的變換不是充要變換，當舍去了一個限制條件（[x≠1]），就會出現(xiàn)增根。因此，在對所有的題目進行恒等變換時，首先要弄清在什么范圍內恒等。如果轉化為必要條件，例如上面的變化，那就要記得檢驗。

（二）知識負遷移導致的錯誤

在數(shù)學學習中，如果A和B兩個問題相似，那么學生在學習過程中就容易把A的結論搬到B上，即使教師一再糾正，過一段時間后同樣的問題仍然會發(fā)生。這種現(xiàn)象在教育心理學中稱為負遷移。負遷移在數(shù)學學習中普遍存在。當學生遇到相似知識時，因分析理解能力有限，容易在新舊知識的運用上產生混淆，從而產生負遷移。比如，在求解不等式[x2>4]時，由于[x2=4]的結果為[x=±2]，所以學生憑直覺認為[x2>4]的解是[x>±2]，導致出現(xiàn)錯誤。這就是方程知識對不等式學習產生的干擾。

（三）學習態(tài)度和習慣不良導致的錯誤

中學生正處于青春期，性格尚未發(fā)育成熟，有強烈的好奇心、好表現(xiàn)，或多或少還有些不良的學習態(tài)度和習慣，如責任意識淡薄、注意力不集中、對學習不夠重視等。有的學生做作業(yè)僅僅是為了完成任務，應付了事，甚至出現(xiàn)錯誤時會覺得只是“區(qū)區(qū)小事”。

比如，數(shù)列教學中有這樣一道例題：數(shù)列[an]是各項均為負數(shù)的數(shù)列，其中[2an=3an+1]，[a2·a5=827]。請證明數(shù)列[an]為等比數(shù)列，并求出這一等比數(shù)列的通項公式。

有學生是這樣解答的：（1）因為[2an=3an+1]，所以 [an+1an=23=常數(shù)]，所以根據(jù)等比數(shù)列的定義，數(shù)列[an]為公比是[23]的等比數(shù)列。（2）因為[a2·a5=827]，所以[a2·a2·233=827]，所以可以得出[a22=1]，那么 [a2=±1]，所以[an=a2·qn-2=±23n－2]。

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，學生只關注到了[2an=3an+1]與[a2·a5=827]兩個條件，而忽視了[an]各項均為負數(shù)的前提。這就是學生審題不清導致的。

二、教師面對錯誤資源的態(tài)度

雖說錯誤是不可避免的，但是許多教師在面對學生的錯誤時還是會感到不知所措，著急、慌亂、焦慮，這些都是教師容易產生的錯誤態(tài)度。在面對學生的錯誤時，寬容、理性才是教師應秉持的正確態(tài)度。

（一）寬容地接納錯誤

寬容地接納錯誤，是指教師允許學生在學習數(shù)學的過程中出錯。教學實踐表明，犯錯可以加深學生對知識的理解，有利于學生全面發(fā)展。因此，教師不要過分恐懼學生的錯誤，而應該透過錯誤看到學生身上的優(yōu)點，站在學生的角度，順應學生的認知規(guī)律，正確地評價學生的錯誤。比如，有些學生雖然思考問題不全面，但能積極地與他人交流；有些學生雖然理解問題稍慢一些，但是認真專注。教師要學會從不同的角度來看待學生的優(yōu)缺點，幫助學生揚長避短。

（二） 理性地認識錯誤

在傳統(tǒng)的認知觀里錯誤似乎就意味著失敗，意味著一無所是，但其實錯誤有壞的一面，更有好的一面。教師在教學中正確利用錯誤，就可以把錯誤變成寶貴的教學資源。理性地認識錯誤要做到以下三點：第一，堅持錯誤與評估無關。將學生的錯誤視為教學資源，而不是負面指標。從這個意義上來說，學生出現(xiàn)錯誤不應受到懲罰，而是將錯誤轉化為學生學習的機會。第二，支持學生自己糾正錯誤。學生回答問題或做題時出現(xiàn)錯誤，特別是一些典型錯誤，正好暴露了學生理解的誤區(qū)或教師教學的盲區(qū)。如果教師能夠抓住契機，順藤摸瓜，就可以找到學生出錯的根源，引導學生走出思維誤區(qū)，同時調整改進自己的教學。第三，杜絕負面的反應。學生犯了錯誤，教師不應去批評或嘲笑。

三、中學數(shù)學課堂錯誤資源的應用策略

（一）作為學生討論的引例

很多時候，一個錯誤能給一節(jié)課帶來很好的討論主題，學生通過討論可以加深對知識的理解。因此，教師可以將學生犯錯的案例拿到課堂上供學生探討。學生在尋找錯誤、分析錯因的過程中思考解決的辦法，從而更加全面深刻地理解與掌握知識。

［教學案例1］

問題1：已知曲線[y=x3-x+2]，求曲線經(jīng)過點（1，2）的切線方程。

錯解：∵[y'=3x2-1]，∴曲線在點（1，2）的斜率為：[k=y（1）=2]，∴曲線過點（1，2）的切線方程為[y-2=2（x-1）]，整理得：[y=2x]。

師：你是否同意這種解法？

（部分學生表示同意）

問題2：已知曲線[y=x3-x+2]，求曲線在點（1，2）處的切線方程。

師：請同學們再來觀察一下問題2，思考它與問題1的區(qū)別在哪里。思考過后，你是否還同意問題1的解法呢？

生1：問題1的解答有誤。

師：為什么呢？

生2：求曲線在點（1，2）處的切線方程，說明點（1，2）為切點，而經(jīng)過點（1，2）的切線方程，切線只是經(jīng)過點（1，2），不代表（1，2）一定是切點，所以切線的斜率不一定等于[y（1）]。可見，問題1的解答適用于問題2，但對于問題1來說并不全面，是錯誤的。

師：問題1應該怎么解答呢？

生3：設經(jīng)過點（1，2）的直線與曲線[y=x3-x+2]相切于[（m，m3-m+2）]，則在點[（m，m3-m+2）]處切線的斜率為[k=3m2-1]，所以切線的方程為：[y-（m3-m+2）=（3m2-1）（x-m）]，整理得[y=3m2x-x-2m3+2]。因為切線過點（1，2）， 代入整理得[2m3-3m2+1=0]，解得[m=1或m=-12]，所以切線有兩條：當[m=1]時，[y=2x]；當[m=-12]時，[y=-14x+49]。

在上述教學案例中，教師并沒有直接提供正確答案，而是呈現(xiàn)學生的錯誤答案，運用對比的形式讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題。學生初次觀察可能意識不到問題所在，但是在觀察完問題2后，則會意識到問題1的解答方法應該用來解答問題2，于是回過頭來重新審視問題1。通過這種方式，鼓勵學生更完整地進行推理，避免某些潛在的錯誤發(fā)生。將學生最初出現(xiàn)的不正確答案直接呈現(xiàn)在課堂上讓學生思考，引導學生探究出錯的原因，反思自身可能出現(xiàn)的錯誤思維和推理，促進學生對正確答案的深入理解。

（二）作為啟發(fā)學生自我反思的工具

建構主義認為，學生的錯誤作為一種已經(jīng)建立的認知，是內置于學生現(xiàn)有認知結構中的。因此，教師不能簡單地依靠示范和反復的練習來簡單地“抹去”。教師應通過適當?shù)奶釂柡驮u價，引發(fā)學生內在的觀念沖突和自我否定（即自我反思），有效地幫助學生糾正錯誤。針對學生的錯誤，教師還應結合錯誤的特點，巧妙地設置思辨情境，讓學生自己分析錯誤，反思錯因，從而增加數(shù)學知識的深度，提高學生的反思能力。

［教學案例2］

問題：設集合[A=-1，1]，集合[B=xax=1，a∈R]，則使得[B?A]的[a]的所有取值是？

生1：∵[B?A]，∴[B=1]或[B=-1]。當[B=1]時，[a=1]；當[B=-1]時，[a=-1]。

師：請想一想集合B只能為[1或-1]嗎？

生2：集合B還能為[?]，當[B=?]時，[a=0]。

師：空集是任何集合的子集，答題時容易被忽略，如何避免這個問題呢？

生3：在求子集時先考慮[?]。

師：除了求子集，還有別的問題需要考慮空集嗎？

生4：當題目中出現(xiàn)[B?A]，[B?A=B]，[A?B=A]時，也要考慮[B=?]的情況。

在上述教學案例中，教師發(fā)現(xiàn)學生遺漏了空集，但沒有急于指出，而是先肯定學生找到的子集，建立學生的學習自信心，引導學生自己發(fā)現(xiàn)錯誤，一步步地幫助學生總結避免錯誤的方法。

（三）作為改進教學的法寶

學生出現(xiàn)錯誤，有時不僅是學生自己的問題，也有一部分是教師的原因。尤其是學生出現(xiàn)共性錯誤時，教師要及時地反思自己的教學問題，思考是不是講課時沒有講明白、講透徹，導致學生出現(xiàn)錯誤。

［教學案例3］

問題：求[cos225°]的函數(shù)值。

生：[cos225°=cos（π+45°）=22]。

不少學生初學三角函數(shù)時，對于誘導公式的符號容易弄錯。這是因為學生對數(shù)形結合思想掌握得不到位，不會運用數(shù)形結合思想來理解三角函數(shù)、進行三角函數(shù)的變換。這個時候教師可以借助圓講解角度[π2]、[π] 等的三角函數(shù)值發(fā)生的變化。同時，教師還要加強學生對其他誘導公式的學習，如[sin（π+α）=-sinα]等，讓學生通過這些公式的對比與變換，熟練掌握相關知識。

本文圍繞如何應用中學數(shù)學課堂教學中的錯誤資源進行探討，為中學數(shù)學教師合理地應用錯誤資源提供參考。研究結果可歸結為以下兩點：一是產生錯誤的原因是多樣的；二是有效應用錯誤資源不僅可以提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，還可以進一步提升教師的教學能力及專業(yè)素養(yǎng)，提高數(shù)學課堂教學效率。這就要求教師在教學中以正確的態(tài)度對待錯誤資源，增強捕捉錯誤資源的靈敏度，有效地利用錯誤資源。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?班杜拉.思想和行動的社會基礎：社會認知論［M］.上海：華東師范大學出版社，2018.

［2］ ?邵華.捕捉生成中的美麗：淺談課堂生成性資源開發(fā)［J］.全球教育展望，2008（3）：94-96.

［3］ ?華應龍.課堂因差錯而精彩：數(shù)學課堂“差錯資源化”的思考與實踐［J］.江蘇教育研究，2008（20）：4-7.

［4］ ?任志剛.初中生數(shù)學元認知能力培養(yǎng)研究［D］.呼和浩特：內蒙古師范大學，2010.

［5］ ?唐聰英.讓學生學會反思［J］.小學教學參考，2009（9）：85.

（責任編輯 羅 艷）