回歸課本“建構學材”，規律問題重視推理*
——以七年級“規律問題”專題復習課為例

李庾南 劉東升

在初中各學期的期末復習階段，各校數學備課組都會有計劃地進行兩輪復習，其中第一輪復習更加側重對前期所學知識塊或單元的回顧梳理，并兼顧教材上的典型例題和練習題。在第二輪的專題復習課中，一些學校備課組習慣選編一些各地試卷中的熱點考題，帶領學生進行復習備考訓練，或者圍繞某種解題思想方法進行專題復習，此階段的復習常常是“離開教材搞專題復習”。可見，專題復習課怎樣回歸教材開展“學材再建構”仍是一個值得深入研究的課題。

在李庾南實驗學校第七屆優秀課評比活動中，主辦方選取了人教版數學七年級上的“規律問題”作為比賽課題，參賽教師的“同課異構”引發了我們對七年級規律問題教學的深入思考。現以人教版教材七年級規律問題專題復習課的教學設計為例，說明如何回歸課本，重構學材，開展初中數學專題復習課，提高學生的代數推理能力。

一、“規律問題”專題復習課教學設計

1.活動1：從“直線交點個數”的規律出發

師：同學們，今天我們一起來復習七年級上冊教材中的“規律問題”。同學們剛剛學過第四章“幾何圖形初步”，現在老師挑選這一章中的一道規律習題，檢查同學們的學習情況。

問題1（教材習題）：兩條直線相交，有一個交點，三條直線相交，最多有多少個交點？四條直線呢？你能發現什么規律嗎？（見圖1）

（圖1）

生：圖中圖形的交點個數依次為0，1，3，6，…，第n個圖形的交點個數是。

師：相鄰兩數相加，依次可得1，4，9，…，這個數列也是有規律的。同學們能在網格紙中用小正方形的個數來表達這組數的規律嗎？（教師組織學生利用網格紙畫圖，并投影展示圖2）

（圖2）

師：請同學們看看圖2，思考這兩個問題。（1）第④個圖形比第③個圖形多______個小正方形；（2）第n個圖形比第（n-1）圖形多______個小正方形（用含n的式子表示）。

【設計意圖】“活動1”中的圖1、圖2 分別選自七上教材第4 章“幾何圖形初步”、第2 章“整式的加減”，體現了基于課本的“學材再建構”。此外，從圖1到圖2中的數列規律也有一定的聯系，并且展現了數形對應的本質，有助于發展學生的幾何直觀素養。

2.活動2：日歷中的規律問題

師：在圖2 中有很多“小正方形”，現在我們用田字格方框框住日歷中的4 個日期，再來看看“問題2”。

問題2：圖3 是2022 年12 月的日歷，觀察田字格方框中的4 個數，你能得出什么結論？你能證明這個結論嗎？

（圖3）

生：方框中處于“對角線”上的兩數之和相等。設方框左上角的數為x，另外三個數分別為x+1，x+7，x+8，可以算出處于“對角線”上的數之和都為2x+8。

師：將田字格方框適當移動，框出的4 個數之和能否等于56？

生：可以列一元一次方程2（2x+8）=56，解得x=10。

師：現在我們把結果還原到圖片中驗證，我們發現“10”在日歷表的最右邊的一列，故框出的4個數之和不能等于56。所以這時只靠列方程得出的答案是不符合實際的。

【設計意圖】“活動2”的學材改編自課本第3 章“一元一次方程”，主要訓練學生構建一元一次方程模型解決實際問題的能力。學生想要解決這個生活問題，需要經歷從實際問題（抽象）→數學問題（一元一次方程）→解決數學問題（解方程）→回到實際問題的背景進行檢驗取舍→得到實際問題的解（解決實際問題）。

3.活動3：“三行數”的規律問題

師：我們通過問題2 研究了小正方形個數的問題，現在我們將平面圖形轉化為立體圖形，請同學們觀察圖4中的正方體個數，思考第n組正方體的個數。

（圖4）

生：第n組正方體的個數是3n。

師：非常好，現在請同學們看一看問題3。

問題3：觀察下面三組數：（1）-3，9，-27，81，-243，…；（2）0，12，-24，84，-240，…；（3）-1，3，-9，27，-81，…。

師：第（1）組數按什么規律排列？第（2）（3）組數與第（1）組數分別有什么關系？取每行第n個數，計算這三個數的和（用含n的式子表示）。

【設計意圖】第（1）（2）問仍然是發現規律，第（3）問在前兩問基礎上，三個數的和為（-3）n+［（-3）n+3］+（-3）n÷3。“活動3”改編自課本第1章“有理數”的一道例題，限于七年級上學期學生的運算水平，學生還不具有計算同底數冪的復雜運算能力。在教學時，教師可根據學生學情進行調整，暫不要求他們進一步化簡這三個數的和。

如果學情較好、教學時間允許，教師可利用PPT繼續出示拓展問題（如圖5）：

（圖5）

學生發現這些四位數中4 個數字之和都是3 的倍數之后，可進一步提出以下猜想：設一個四位數abcd，若a+b+c+d可以被3 整除，則這個數可以被3整除。

針對本拓展教學，教師可安排學生獨立證明“猜想”，并在教室巡視，發現有學生證明成功后，邀請學生上臺講解證明思路。

4.活動4：課堂小結

小結問題1：本課中哪道規律問題給你留下了較深的印象？舉例說說。

小結問題2：你在解決規律問題時，有哪些解題經驗或出錯經歷？可結合具體的習題交流。

小結問題3：請同學們課后認真研究課本，對課本中出現過的規律問題歸類整理。

【設計意圖】在課堂的最后環節，教師引入三個“小結問題”，引導學生開展專題復習課的解后回顧。前兩個小結問題主要針對本課復習內容展開，“小結問題3”則啟發學生學會復習、歸類，這也是促進學生圍繞某個專題深度思考的學法指導。

二、教學立意的進一步闡釋

1.專題復習要回歸課本開展“學材再建構”

專題復習課是期末復習階段的一種常見課型，一般由教師選定某個專題或主題之后選編出一些例題和練習題，再將其分成幾個題組進行訓練。在專題復習課教學時，教師應先將目光投向教材，圍繞主題針對復習范圍內教材各章節內容進行全面檢索，對符合主題要求的習題或素材進行“學材再建構”。以上文“規律問題”復習課為例，我們先對人教版七年級上冊數學教材的各章內容進行了全面檢索，找出大量有關“規律”的習題或素材后，再篩選出各章典型的規律問題，根據問題的難易程度、前后關聯度分組并“排序”。基于“預設”要大于“生成”的考慮，選題、改編或拓展的教學內容應盡量豐富一些，但是有些變式或拓展問題在具體教學時應根據學情“相機”取舍。

需要指出的是，圍繞教材內容進行的習題改編或拓展還要重視“內容效度”。比如在一次函數的單元復習時，教師以一次函數y=x+1 的圖象（直線y=x+1）為背景，設計出諸如“求該直線與坐標軸圍成三角形的重心的坐標”“原點O到直線y=x+1 的距離”“設點P在直線y=x+1 上，A(2，0)，當△POA的面積為5 時，求點P的坐標”等問題，從這類變式問題的解題步驟來看，很多關鍵步驟與一次函數的圖象和性質關聯甚微，作為一次函數單元復習的選題與變式。上述“變式”從命題或測量學視角來看，“內容效度”不高。

2.規律問題的教學要重視代數推理的訓練

規律問題作為一類高頻問題是貫穿于小學、中學不同階段的，而且有些規律問題的情境或背景在不同學段都會出現，教學要求也體現出明顯的學段特征。具體到初中階段，當學生具備了解釋或證明的數學認知能力時，便可安排其進行推理證明。當然，考慮到上文課例中主要關注七年級上學期的規律問題復習，把握好規律問題證明教學的“度”非常關鍵。在初中，證明應該作為學生數學經驗的基本組成部分，這些經驗可能對學生理解證明起到進一步深化和拓展的作用。上文課例“活動3”中，我們改編了七年教材第1 章“有理數”的一道例題，并提出“拓展問題”——“四位數能被3 整除嗎”。這道代數推理題的原型出自《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中的“案例66”，學生在小學階段已接觸過該題型，所以初中階段可以論證結論的正確性，讓學生在邏輯論證的過程中形成推理能力、培養科學精神。

3.精心預設過渡語追求“平滑轉場”效果

專題復習課離不開題組練習，不同題組的訓練功能并不相同。為了做好不同題組之間的過渡或銜接，在不同題組出示之前應預設簡要的過渡語，以達到不同教學環節之間的“平滑轉場”。上文復習課例中，我們在3 個“活動”前都預設了不同的“過渡語”，讓即將研究的規律問題的出示不要過于突然，盡可能讓學生感到規律問題是自然而然地產生的。與通過精心預設的“過渡語”可以達到“平滑轉場”的效果相比，各個教學活動之間的前后呼應更應值得教師在課前預設時“苦心經營”。比如，不少教師在組織八年級“變量與函數”（第1 課）教學時，開課階段都會選用“某城市一日溫度變化圖”“汽車勻速行駛”“一根長為2cm 的鐵絲圍成長方形”等生活現實來引出“變量”“常量”，進一步分析、抽象、概括出函數的概念。但是在后續例題講評、習題訓練的環節，又出現很多不同的生活現實背景，讓學生鞏固訓練所學概念。筆者認為，在鞏固訓練階段，教師可以引導學生“回看”開課階段的幾種生活現實背景，安排學生從函數的角度進行分析研究，或者圍繞開課階段的幾類生活現實進行變式設問、拓展提問。這樣的教學讓同類的問題背景或生活現實相關聯，串聯不同教學環節，再輔以簡要的“過渡語”（如“同學們，讓我們再回看開課時的勻速行駛問題”），可以帶領學生更快理解題意，讓學生思維聚焦在開課階段就熟悉的問題背景，避免出現“一題接一題”“每題背景都不一樣”的“刷題式”教學現象。