橢圓切線方程的多向推導(dǎo)及應(yīng)用

高成龍

(天津外國(guó)語大學(xué)附屬外國(guó)語學(xué)校,天津 300230)

橢圓的切線問題是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí),也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,2022年天津卷第19題、2021年天津卷19題都考查了橢圓的切線.

1 橢圓切線方程的探究

a2(yT+y0)(yT-y0)=-b2(xT+x0)(xT-x0).

利用割線逼近切線的思想,當(dāng)點(diǎn)T無限趨近于點(diǎn)P時(shí),割線PT可近似看作橢圓在點(diǎn)P處的切線,此時(shí)割線PT的斜率即為橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率,這一過程可以用極限思想表達(dá)為

由直線的點(diǎn)斜式得切線方程為

證明設(shè)l:y=kx+m,聯(lián)立橢圓方程并消去y,得b2x2+a2y2=(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

點(diǎn)評(píng)模型2說明了斜率一定的直線若與橢圓相切,則存在兩條切線,它們分別位于坐標(biāo)原點(diǎn)兩側(cè).

2 橢圓切線方程模型的應(yīng)用

(1)求橢圓的方程;

(2)直線l與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,與y軸的正半軸交于點(diǎn)N,過點(diǎn)N與BF垂直的直線交x軸于點(diǎn)P,若MP∥BF,求直線l的方程.

(1)求橢圓的離心率e;

對(duì)于(2),由(1)得a2=3b2.

①

②

③

3 切線方程模型推廣

模型4已知拋物線C:y2=2px(p>0),點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線C上任意一點(diǎn),則在點(diǎn)P處的切線方程為y0·y=p(x0+x).

運(yùn)用類比思想將橢圓切線方程推廣到雙曲線、拋物線中去,進(jìn)一步揭示了圓錐曲線切線的本質(zhì)和規(guī)律,這一過程體現(xiàn)了知識(shí)遷移和類比思想在研究圓錐曲線中的重要性[1].