基于深度學習理念的初中數學教學設計課例研究

周素萍

摘要：判定數學深度學習是在教師的引領下，學生圍繞具有趣味性、挑戰性的數學學習主題，積極參與，提高學習效率。它不僅要求學生學會理解數學知識的本質，關注數學知識之間的聯系，還更多地注重應用、分析、創造等高階思維活動。它的最終目標指向發展學生的數學素養。為了讓學生形成主動、積極的深度學習，筆者通過“圓內接四邊形”新授課教學設計的分析，提出指向深度學習的教學設計的三個立足點：基于單元整體理解及設計、基于數學內容的變式和整合、基于學生對問題的多角度體驗。

關鍵詞：深度學習 ? 幾何學習 ?圓內接四邊形

一、教學內容解析

本節課是浙江教育出版社《數學》九年級第三章第六節的內容，“圓內接四邊形”安排為1課時。《數學課程標準》對本節課的要求及建議是：“在平面幾何研究的基礎上，拓展與圓有關的定理系統，進一步深入研究平面幾何。”其中對學生學習水平的要求是：“會解決一些較復雜的幾何論證和計算問題，提高直覺思維、歸納猜想和邏輯推理能力。”

這節課中，筆者嘗試運用實驗幾何與論證幾何相結合的研究方式，展現幾何研究的完整過程，并用準確的數學語言進行論證；從多角度探究定理，并發現其本質都是幾何演繹；進一步從“定義→判定與性質→運用”的基本結構特征演繹推導出圓的內接四邊形的判定定理，充分體現化歸思想方法。

二、教學目標設置

（一）經歷探索圓內接四邊形判定的過程，體會研究圖形判定條件的方法。

（二）掌握圓內接四邊形的判定定理，能運用圓內接四邊形的判定定理解決簡單的數學問題。

三、學生學情分析

學生已熟悉圓周角、弦切角定理、相交線定理、切割線定理等具體知識，會利用這些定理解決一些問題，也了解可以從性質定理的逆命題出發探索其判定定理。但是對于為什么研究圓的內接四邊形判定，直線型圖形和曲線型圖形之間有何聯系，學生還不能抽象出整體的知識框架，這限制了圓的相關性質和判定的應用，所以有進一步研究推導判定定理的必要。

四、教學策略分析

依據教學內容與要求，針對學生的認知能力和特點，筆者對本節課的教學進行如下設計。

在教學內容的結構上，注意整個單元的“瞻前與顧后”，定理探究兼顧“實驗與演繹”，教學安排選擇“主要與次要”。

（一）瞻前與顧后

本節課伊始即通過回顧上一節學習的性質，指出幾何的學習探索大都通過“定義→判定與性質→運用”的基本結構特征進行，讓學生能夠帶著方法進入這節“似曾相識”的判定課。完成判定定理演繹論證后，再次從“定義→判定與性質→運用”的基本結構揭示幾何學習的基本方法，并形成知識框架，幫助學生把握數學知識的本質聯系，對學到的知識進行遷移與應用。

（二）實驗與演繹

初中平面幾何是從實驗幾何過渡到演繹幾何的，本章節作為最末一章，當然也要關注兩者之間的聯系，以“先畫圓還是先畫四邊形”厘清證明的邏輯關系，再結合性質及其逆命題的關系導出猜想，進行對比，更加強調幾何演繹的思想方法。最后再回到具體的證明判定定理中，類比問題的轉化，從三點轉化到四點，使對圓的相關性質理解更深刻、準確。

（三）主要與次要

筆者將教學的重點放在經歷探索圓內接四邊形判定的過程以及體會研究圖形判定條件的方法上，給予學生足夠的時間探索判定定理，體會演繹幾何的思想方法。而將運用判定定理化“隱圓”為“顯圓”融入整節課的例題中，這樣的設計著重探索推導過程，又涵蓋了深度的知識點，達到本節課的教學目標。

五、教學過程設計

（一）復習舊知，引入新知

幾何命題的探索應當符合學生的認知基礎，也需要符合學生的認知水平，同時應當符合學生的思維邏輯。如何在課堂教學中引導學生探究并合理猜想，一直是圓內接四邊形判定定理教學的難點，其原因在于圓的基本要素、相關要素比較多，判定四點共圓不只是尋找角的關系，邊的關系也會涉及，所以僅依靠簡單地測量、觀察很難發現其中的規律。事實上，學生已經學習了圓內接四邊形的性質——對角互補，因此，引導學生關注互逆定理的推導，進而從定理的逆命題引出猜想相對合理。

浙教版教材的編排也是以這一邏輯呈現的，前后聯系緊密，便于學生對知識進行遷移，迅速猜想得到四點共圓的條件，彰顯了教材編寫的智慧。

教學設計一

問題1：對于圓，我們已經從哪些角度進行了研究？

問題2：從以前研究三角形、四邊形的過程來看，在研究了與圓有關的角及比例線段后，我們還可以從哪個角度對圓繼續開展研究？

問題3：根據圓內接四邊形的性質，你能提出一個合理的猜想嗎？

設計意圖：要引出圓的內接四邊形的判定定理，應該找出新知識的生長點，做到瞻前顧后，從學生已有的知識及經驗出發，類比之前三角形、四邊形章節的判定定理探究過程，讓學生從“定義→判定與性質→運用”的基本結構厘清研究脈絡，并從整體形成知識框架。

（二）分析驗證，揭示本質

圓內接四邊形判定的證明也是本課教學的難點之一，在此之前，學生對于論證點是否在圓上的方法掌握較少，圓的定義、三角形的外接圓具有一定關聯，學生會運用類比的思想，先任意選出三點作一個圓，然后證明另一個點也在該圓上。因此，對于圓內接四邊形判定定理的證明，本課引導學生類比問題的轉化，從三點轉化到四點。

教學設計二

問題4：教材上有與證明點在圓上相關的知識嗎？

追問1：證明的題設和結論分別是什么？

追問2：請大家先嘗試畫出圖形，先畫圓還是先畫四邊形？

設計意圖：借助要證明的結論尋找相關圓單元的知識點，引出圓的定義、不在同一直線上的三點在一個圓上等相應的知識。通過是先畫圓還是先畫四邊形這一問題，厘清證明的邏輯關系，學生獨立思考操作，明確已知和求證，啟發學生思考問題的癥結，引導學生一步步深入思考判定定理的本質。

問題5：如何確定第四個點在圓上？

問題6：如果不好直接論證，那么反過來想一想，第四個點不在上面會如何？點D在圓上的反面是什么？

設計意圖：啟發學生將四點問題轉化為“三加一”的問題進行研究，最后啟發學生反向思考，即可以用反證法間接證明。

問題7：說出證明這個問題的思路。

活動1：結合圖形（如圖l、圖2），引導學生完成該過程的證明。

設計意圖：明確命題的三種語言，引導學生明確思路。

（三）梳理歸納，解決問題

活動2：例題分析

例題：已知，如圖3，在△ABC中，AB=AC，O是邊BC的中點，點D，E分別在邊AB，AC上，且么∠DOE+∠A=180°，求證：OD=OE。

設計意圖：可以通過八年級學習的角平分線性質、垂直平分線性質添加輔助線解決（如圖4所示）。引導學生比較不同解法處理同一道題目的優點與不足，幫助學生在理解不同解法的基礎上優化解題思路，同時助其運用判定定理化“隱圓”為“顯圓”，利用圓的相關性質解題，體會圓的工具性。

（四）布置作業，拓展提高

從下列問題中任選其一完成獨立探究，整理學習報告，在班內進行展示。

問題8：請查閱數學練習冊，是否有可以運用本節課學習的判定定理解決B的習題？

問題9：是否可以將圓內接四邊形判定定理推廣到圓內接五邊形判定定理？

設計意圖：考查學生對本節課內容的理解與掌握程度，積累研究幾何圖形的數學活動經驗，培養類比意識與遷移能力，發展數學素養。

六、教學思考

（一）指向深度學習的教學設計，是基于單元整體理解及設計

單元深度理解是課時教學的指引，進行教學設計時必須瞻前顧后——本節內容與以往的內容有何聯系？之后的內容與現在的內容又有何聯系？

“瞻前”使得當下的課時有切實的生長點，從幾何學習的基本結構及脈絡類比切入，這樣的學習對學生認知構成挑戰，形成了新的知識序列和聯結，真正與學生原有的知識發生深刻交融，進入高層次的思維系統，讓學生能夠順利地進行遷移和運用，并以融會貫通的方式解決相應的問題，甚至產生創造性的思考和方案，達到觸及數學本質的深度學習效果。“顧后”使當下的課時定位更科學，立意更深遠，學生以學習活動為意識對象，對思維活動進行計劃監控與調節，從而形成更高階的認知能力。

（二）指向深度學習的教學設計，是基于數學內容的變式和整合

數學深度學習的資源需要經過加工，這就要求在教學設計時對學習素材進行變式和整合。數學深度教學之于課堂需要進行變式和整合，先畫圓還是先畫四邊形在孤立的場合中呈現為技巧性問題，但是在推導定理、介紹教材和證法拓展的深度學習過程中，它展現了圓的內接四邊形的判定本質這一深刻認識的必然，幾何演繹思想方法呼之欲出。

（三）指向深度學習的教學設計，是基于學生對問題的多角度體驗

數學深度學習是一個過程，既存在于個體的思維之中，也通過群體間互動而生的深切體驗深化。具體知識與問題是數學思維的載體，用不同的方法解決同一問題，并發現這些方法間的關聯與統一是思維體驗常用的策略。

在中學數學課堂中，基于深度學習理念的教學設計能夠幫助學生把握數學知識本質，激發學生的數學學習興趣，促使學生積極主動地參與到課堂教學活動中，在數學學習的過程中發現問題，在思考問題的過程中深化思維。教師還可以根據數學課程知識拓展內容，讓學生參與到展示活動中，培養學生的數學思維，提高數學課堂教學的效率，為學生今后的數學學習與發展奠定堅實的基礎。