建模思想在小學數學課堂中的應用
——以《圓柱和圓錐》為例

☉王紅軍

數學建模思想通過引領學生在實際問題中抽象出數學模型，加深學生對模型的應用能力和對其背后原理知識的深入理解。因此，教師要運用好建模思想，提高學生的建模意識，提高學生用建模思想解決日常生活中問題的能力。在建模思維的影響下，學生可以根據數學的特點和知識內容建立數學知識模型，提高數學學習的質量和效率。在開展數學教學活動的過程中，教師應注意對教學方法進行優化創新，符合小學生當前階段的學習特點，培養學生建模思想，引領學生進入數學知識的殿堂［1］。

一、數學建模概述

數學建模思想是指學生在解決數學問題的過程中，能夠透過表象挖掘題目背后的本質，并抽象出相應的數學模型以解決實際問題的一種思想。數學模型是指提取事物的主要特性和相關數量關系，建立契合的數學表達框架。從一個較小的角度來看，數學模型反映著特定問題，代表了相關事物的數學結構，是系統中各種變量和關系的數學表達式，主要體現為系統的概念、算法、公式、定理等。

數學建模思維的內涵特征主要表現在兩個方面：一是對數學模型的構造建立；一是對數學模型的有效應用。一般來說，數學建模意味著在一般數學概念中抽象實際問題，利用當前數學知識理解數學變量和實際變量之間的關系，從而使用相關公式解決實際問題。除了基礎知識的學習之外，教師還要注重培養學生的實踐能力和應用能力，提升學生的空間思維、應用能力和推理水平。通過建模思想引領學生學會簡化數學問題，分析其本質，總結其規律，充分把握數學建模的方式方法，以提高學生對數學知識學習理解的熱情和積極性，使教師更好地開展數學教學活動。

二、數學建模的重要意義

（一）激發學生的學習興趣

為了培養學生的建模能力，教師要有意識地將生活場景引入課堂，將數學知識與日常生活結合，將理論知識與實踐結合，幫助學生構建應用的思維體系，讓學生更好地對相關知識進行消化吸收，提升學生對枯燥數學知識的理解與吸收能力，培養學生抽象思維能力和歸納總結水平，增強學生對數學學習的熱情與信心。通過對相關數學模型的構建，將抽象的知識具象為可供理解的數學模型，提升師生間溝通理解的效率，增強學生對知識的接受度。

（二）提升學生的綜合能力

過去，數學教學更側重于知識的傳授，對學生實踐技能的培養有所忽視，這導致學生數學思維能力的發展不完全，對信息的提取應用能力較弱。在建模思維的影響下，學生要學會合理運用建模思想，提升思維的全面性，在面對問題時更加全面具體地思考，深入理解其中內涵，充分利用好建模思想，學會利用模型構建思考問題的方式方法，并將其綜合應用到日常生活中，提升解決問題的能力。

（三）培養學生的創新意識

數學建模思想大大提高了學生的科學研究和創新能力，學生在解決問題的過程中努力思考解決方案，在既有理論的基礎上嘗試改革創新，探求全新的解決方法。充分利用發散思維，形成思考和嘗試問題的良好習慣，有助于學生未來的發展與研究。

三、數學建模的基本過程

（一）創設生活情境，挖掘建模本質

學生只有積極學習和探索，才能實現能力的發展和突破。教師主要引導學生從題目中提取出有效信息，抓住問題本質，逐步培養學生從生活情境中發現問題，解決問題的能力。同時，教師應注重學習情境的構建，使學生盡可能在開放、充滿活力的教育環境中，在快樂、輕松的氛圍中學習數學，以激發學生的學習興趣，拓展他們的視野。為了調動學生學習的積極性，小學數學教師應注重沉浸式課堂的構建，引領學生從日常生活中汲取數學養料，從問題情境中培養學生抽象概括一般數學模型的能力，同時，在熟悉的情境展開推理和抽象，便于學生吸收理解知識，在生活情境和數學模型之間形成有效的聯系，逐步提高學生數學建模的能力［2］。

【教學片段1】

學生在引導下提取出以下信息：

1．小麥堆是圓錐體

2．小麥堆底面周長18．84米，高1 米

3．糧囤是圓柱體，且底面直徑3 米

4．將小麥倒入糧囤，正好全部倒滿

師：現在我們已經整合出了所有的已知條件，請同學們告訴我，你能組合出哪些問題呢？

生1：信息（1）和（2）結合起來，就可以求出小麥堆的全部信息了。

生2：第（4）條信息表達的意思其實是小麥的體積和糧囤的容積相等。將四條信息綜合起來，就可以求出圓柱的所有信息了。

師：那么，大家能進一步發現其中的關聯嗎？

生1：圓錐的體積公式＝1/3底面積×高。我們不知道底面積，但我們有圓的周長。通過周長可以求出圓的半徑，進而求出圓的面積和圓錐的體積。

生2：圓錐和圓柱的體積相等，唯一的未知量是圓柱的高。上一個同學求出的圓錐的體積，直接除以圓柱的底面積就可以求得圓柱的高了。

教師引導學生提煉概括信息，把文字語言轉化成數學語言，代入公式與符號，建立相關模型；把生活中的情境問題抽象成圓錐圓柱相關的體積、面積問題，讓學生在思考解題步驟的過程中發掘問題本質，找出相關規律，提高建模能力。

（二）把握內部規律，培養建模意識

對于呈現內容較為零散和復雜的教科書，小學生較弱的抽象思維能力不足以支撐起他們根據教科書上的描述分析更深層次的信息，也無法有效調動他們的數學建模思維。因此，教師必須深入挖掘教材，合理組織教科書內容，將知識以更有規律性的方式呈現出來，提高學習材料的邏輯性，以便學生能通過學習材料，分析建立起知識之間的聯系，提升數學建模能力。鼓勵學生有意識地探索數學知識，學會從材料中抽象出實際的數學模型。

【教學片段2】

師：同學們，如果題目不告訴我們“將小麥倒入糧囤，正好全部倒滿”這一條件，我們能求出圓柱體糧囤的高嗎？

生1：不可以，還缺少一個條件。

生2：想要求圓柱的高，需要圓柱的體積、底面積兩個條件。根據圓柱的直徑，可以推得圓柱的底面積。但是，由于不知道圓柱的體積，我們還是無法求出圓柱的高。

師：那么現在請同學們仔細想一想，我們只要知道哪些條件，就能求出圓柱和圓錐的相關信息呢？

生3：我明白了，對于圓柱和圓錐問題，只要知道底面積、高、體積三個中的任意兩個，就可以求出第三個未知量。其中，底面積可以用圓的半徑、直徑、周長任意一個信息替換，所表達的意思其實是一樣的。

【教學片段3】

師：那么，如果把條件更換為圓柱和圓錐的底面積相同，其他條件不變，根據我們發現的規律，可以求出圓柱的高嗎？

生：可以。

師：不用筆計算，有沒有同學能在1 秒鐘之內給我答案？不要覺得這不可能，仔細觀察一下圓錐與圓柱的體積公式，你能發現什么？

生：我知道了！圓柱與圓柱等底面積等體積時，圓錐的高是圓柱的3 倍，只需要將圓錐的高除以3，就是題目的答案。

通過引導學生分析條件背后隱藏的規律，學生經由自己的思考和努力挖掘出了同類型題目的做題方法和圓錐、圓柱關系轉換的幾個重要結論，不僅對知識的記憶更加牢靠，對知識的理解程度也會更加深刻。在一步一步抽絲剝繭的過程中理清思路，在腦海中建立清晰的數學模型，這樣，無論題目如何變化，學生都能夠迅速切中其要害，完成解題過程。

（三）引入實踐活動，探索建模過程

素質教育要求教育以學生為中心。教師作為學生教學活動的引領導師和知心助手，應充分發揮其作用，優化教學方式方法，幫助學生建立建模思想，引導學生在實踐中仔細觀察，積極發掘其中問題，培養學生善于發現問題的能力和意識，讓學生面對難題勇于嘗試，耐心思考，不畏困難；與老師和同學大膽討論，積極交流，通過自己的實踐建立模型，充分理解一般與特殊的關系并將其內化，真正學會用模型解決實際問題，形成終身的數學核心素養。

【教學片段4】

師：要把一塊長5 厘米、寬3厘米、高4 厘米的鐵塊，熔鑄成底面積為6 平方厘米的圓柱體。那么，圓柱體的高是多少？

生1：這個題和上題的思路一樣，熔鑄就說明兩者的體積是一樣的。知道了體積和底面積，可以完成高的求解。

生2：先求長方形的體積＝長×寬×高，再除以題目給出的底面積，就可以得到答案，圓柱的高：（5×3×4）÷6 ＝10（厘米）。

師：如果是求圓錐的高呢？

生1：根據公式列式子，圓錐的高：（5×3×4）÷6×3 ＝30（厘米）。

生2：也可以直接運用結論，將圓柱的高乘以3，快速得到答案。

師：同學們說得都對。如果將題目變化一下，想要將鐵塊熔鑄成等高的圓柱和圓錐，那么，它們的底面積會有什么關系呢？

生3：體積依然相等，高不變，根據公式，圓錐的底面積是圓柱的3 倍。

師：我相信，一定有同學被這些數量關系弄迷糊了。現在請同學們拿出一張紙，親自動手折一折，感受一下其中的奧秘。

如果只是讓學生單純記背相關結論，學生印象不深，而且極其容易記混記錯，一旦出現問題很難糾正。教師要引領學生理清做題思路，通過多次的數據變換加深練習，幫助學生形成直接經驗，完成初步的模型構建。隨后，引領學生對相關數學問題進行總結分析，通過進一步的實踐，完善模型的構建。除了直接套用公式做題以外，學生還可以在實際動手操作的過程中這樣理解：圓錐比較瘦小，如果想和圓柱在等體積的情況下等底面積，就需要長個“高個子”；如果想和圓柱在等體積的情況下等高，作為支撐的底面積就要大一些。如果條件允許，教師還可以在多媒體上演示圓柱和圓錐的變化過程，以更直觀的演示加深學生對知識的理解吸收。通過對實際的數學模型進行合理構建，能夠加深學生的印象，讓學生在實踐過程中親身感受數學建模思維的方便與快捷，感受數學建模的魅力。

（四）拓展提升能力，提煉建模思想

隨著年級的提高，對數學建模思維的要求也越來越嚴格。因此，在學生構建數學模型解決問題后，教師要注重回顧反思的重要意義，指導學生概括提煉解題思路，探索其中內在規律，總結做題方式方法，促進學生深度思考，進一步提升學生建模能力。

【教學片段5】

師：現在難度升級，請同學們聽題：有一個圓錐形的小玩具，需要放進圓柱形水池中清洗，水面升高了4 厘米，水池的底面積是30 平方厘米。那么，玩具的體積是多少？

師：這道題目涉及圓柱和圓錐，看似只給了兩個不知如何下手的數據，但其實，題目中隱藏了許多有效信息。請同學們結合生活實際，揣摩一下題目的意思，告訴我你的解題思路。

生1：水溢出的部分應該就是玩具的體積，但題目只給了水升高的數據。

生2：其實，問題應該轉化為求升高部分圓柱的體積。水升高的4 厘米就是圓柱的高，底面積題目已經告知，應用體積公式就可以輕松計算出來了。

師：題目看似復雜，只要讀明白題意，所有的問題就都迎刃而解。對于數學建模思想的應用，同學們有什么心得體會？

生：我發現，不管題目條件怎么變，問法怎么變，就是幾個模型來來回回換不同的“新衣服”而已。只要把握住模型，萬變不離其宗，再難的題目都有法可解。

師：是的，看來同學們已經理解了建模思想的內涵。在今后的學習生活中，也要注重建模思想的應用，簡化數學問題，提高解題能力。

通過練習，學生充分感悟到數學建模思想應用的便利之處，切實體會到建模思想的獨特優勢。無論是公式推導、數學計算的應用，還是小學數學的實踐，數學建模的理念都是不可分割的。將數學建模理念融入教學，提高教學質量，通過培養學生的建模思維，讓學生充分意識到建模思想的簡單性和實用性，使學生養成使用數學建模來進行問題解決的良好習慣，提高學習效率［3］。

四、總結

為了進一步激發小學生的數學建模意識，培養其數學建模技能，教師要著力展開培養學生的綜合能力，抓住典型例題，引導學生從中抽象概括出一般模型，提升學生觀察分析問題的能力，總體規劃學生的發展路徑，喚醒學生的數學學習動機。教育工作者要改變傳統觀念，不僅要重視學生的理論知識學習，還要注重在日常的數學教學過程中對學生展開數學建模思想的貫徹與滲透，引導學生歸納總結數學學習經驗，構建完善的知識體系框架和結構，提升數學建模能力。