解答橢圓問題時常出現的錯誤及應對方法

馬占龍

【摘 要】 ?橢圓的焦點和離心率問題是經常考查的知識點，熟悉常見的橢圓解答過程中的易錯點，可以很好避免因默認焦點在x軸、忽略離心率取值范圍而導致的錯誤，提高解答問題的正確率.

【關鍵詞】 ?橢圓；易錯點；焦點；離心率

橢圓常常與各種知識點交叉，綜合考查學生對圓錐曲線有關知識點的把握.學生在解決此類問題時，常常會因為各種各樣的原因導致錯誤，現在歸納兩類橢圓解題中常出現的錯誤和應對的方法.

1 默認焦點在x軸

橢圓的焦點可以在x軸，也可以在y軸，但是因為常見的橢圓焦點都在x軸，學生容易受思維定式的影響，忽略了在y軸的情況，導致出現漏解.

例1 ??已知橢圓 x ?2 ?k+8 + y ?2 ?9 =1的離心率是 1 2 ，求k的取值.

錯解 ??由題意知a ?2 =k+8，b ?2 =9，

所以c ?2 =a 2 -b ?2 =k-1，

又e= c a = 1 2 ，

所以e ?2 = c ?2 ?a ?2 ?= k-1 k+8 = 1 4 ，

解得k=4.

錯因 ??因為題目只告知橢圓滿足 x ?2 ?k+8 + y ?2 ?9 =1，并未表明長軸在x軸，錯誤解法默認了長軸在x軸，即k+8>9.當題目未標明長軸所在位置時，應該分類討論.

正解 ??（1）當焦點在x軸時，a ?2 =k+8，b ?2 =9，

所以c 2=a 2-b 2=k-1，

又e= c a = 1 2 ，

所以e ?2 = c ?2 ?a ?2 ?= k-1 k+8 = 1 4 ，

解得k=4.

（2）當焦點在y軸時，a ?2 =9，b ?2 =k+8，

所以c ?2 =a 2 -b ?2 =1-k，

又e= c a = 1 2 ，

所以e ?2 = c ?2 ?a ?2 ?= 1-k 9 = 1 4 ，

解得k=- 5 4 .

此題綜合考查了橢圓方程的特征、離心率和a，b，c之間的關系，當題目未明確告知或無法間接得到焦點所在的坐標軸時，應該分類討論，避免出現漏解.

例2 ??若橢圓的離心率e= 3 5 ，長軸長是10，則橢圓的標準方程是 .

錯解 ??由題意知2a=10，e= 3 5 = c a ，

所以a=5，c=3，

因為c ?2 =a 2 -b ?2 =5 2 -b ?2 =9，

所以b=4，

所以橢圓的標準方程為 x ?2 ?25 + y ?2 ?16 =1.

錯因 ??題目并未告知焦點是在哪個軸上，錯誤解法默認了焦點在x軸.

正解 ??由題意知2a=10，e= 3 5 = c a ，

所以a=5，c=3，

因為c ?2 =a 2 -b ?2 =5 2 -b ?2 =9，

所以b=4，

當焦點在x軸時，橢圓的標準方程為 x ?2 ?25 + y ?2 ?16 =1，

當焦點在y軸時，橢圓的標準方程為 y ?2 ?25 + x ?2 ?16 =1，

正確答案是 ?x ?2 ?25 + y ?2 ?16 =1，或 ?y ?2 ?25 + x ?2 ?16 =1.

注意橢圓方程的標準形式，特別留意焦點所在的位置，防止出現遺漏.

針對與橢圓焦點位置有關的問題時，當題目未明確告知焦點所在的坐標軸時，或者根據已知信息無法直接判斷焦點是處于x軸還是y軸，應該分類討論在x軸與y軸兩種情形，并分別作答，避免出現解題不完整的現象.

2 忽略離心率的取值范圍

橢圓的離心率整體限制在（0，1）區間內，在計算有關離心率時很容易忽略隱含的這個條件，導致求解的離心率取值范圍不精確.

例3 ??橢圓 x ?2 ?a ?2 ?+ y ?2 ?b ?2 ?=1（a>b>0）的右焦點記作F，右準線與x軸的交點為點A，在橢圓上存在點P使得線段AP的垂直平分線經過點F，則橢圓的離心率取值范圍是（ ?）

（A） ?0， ???2 ?2 ?. ?????（B） ?0， 1 2 ?.

（C） ［ ??2 -1，1）. ???（D） ??1 2 ，1 .

錯因 ??未充分把握垂直平分線的性質，通過設點、求直線反而加大了計算量.

正解 ???由題意知，橢圓上存在點P使得線段AP的垂直平分線經過點F，即點F到點P和到點A的距離相等，

而 FA = a ?2 ?c -c= b ?2 ?c ， PF ∈［a-c，a+c］，

所以 b ?2 ?c ∈ a-c，a+c ，

即ac-c ?2 ≤b ?2 ≤ac+c ?2 ，

所以 ?ac-c ?2 ≤a ?2 -c ?2 ，a ?2 -c ?2 ≤ac+c ?2 ，

即 ?c a ≤1， c a ≤-1或 c a ≥ 1 2 ，

又e∈（0，1），

所以e∈ ?1 2 ，1 ，故選 （D） 選項.

離心率的取值范圍需要通過已知條件搭建起關于a，b，c的不等式，然后轉化成離心率e的不等式進行求解，同時一定要注意離心率e在（0，1）內.

例4 ??已知F 1 ，F 2 分別是橢圓在x軸上的兩個焦點，P是橢圓上的一點，∠F 1 PF 2 =60 ?° ?，求橢圓離心率滿足取值條件.

錯因 ??未充分考慮橢圓離心率需要滿足（0，1），導致取值范圍不夠準確.

正解 ??設橢圓方程為 x ?2 ?a ?2 ?+ y ?2 ?b ?2 ?=1（a>b>0），

由余弦定理得，

cos 60 ?° ?=

（ PF 1 ?+ PF 2 ?） ?2 -2 PF 1 ?· PF 2 ?- F 1 F 2 ???2 ?2 PF 1 ?· PF 2 ??= （2a） ?2 -（2c） ?2 ?2 PF 1 ?· PF 2 ??-1，

所以 PF 1 ?· PF 2 ?= 4 3 b ?2 ，

又 PF 1 ?· PF 2 ?= ??PF 1 ?+ PF 2 ??2 ???2 =a ?2 ，

所以3a ?2 =4（a ?2 -c ?2 ）得e= 1 2 .

又橢圓中0

有關橢圓的離心率一定要特別注意，離心率e首先必須滿足的0

橢圓離心率題目中隱含的條件是離心率始終限定在（0，1）之間，這是橢圓離心率必須滿足的首要條件，在解決具體問題時要將求解的離心率范圍結合隱含的離心率取值范圍綜合考慮，求他們的交集，才能解得正確的離心率取值范圍.

3 結語

橢圓焦點既可以位于x軸，也可以位于y軸，兩類不同情況給解題中的分類討論創造了討論空間；橢圓離心率的取值范圍在區間 0，1 內，常常隱藏在求解橢圓離心率問題中.把握焦點位置的兩種可能，熟記離心率的取值范圍，耐心求解，避免錯誤.