基于學生素養發展的幾何教學淺析

謝建金

【摘 要】 ?為了培養學生學習幾何的興趣，教師要應用好課本資源，通過由淺入深的逐層滲透來提升學生的學習信心和學習積極性.同時，在幾何教學中應鼓勵學生多觀察、多實踐，通過識圖、作圖提升抽象思維能力和建模能力.另外，要重視相關內容的引申和拓展，引導學生通過類比實現知識的鞏固和內化，進而提升學生的解題能力和數學素養.

【關鍵詞】 ?高中數學；抽象思維；解題能力

立體幾何和解析幾何是高中數學的重要組成部分，解決此類問題需要學生具備較強的抽象思維能力，而這方面能力往往是高中生較為薄弱的，因此，高中數學幾何部分也就自然地成了教學的一個難點.在幾何教學中，部分教師認為學生在面對幾何圖形時容易出現畏難情緒就是因為學生接觸的圖形不夠多，不夠復雜，因此，在教學中常利用一些復雜圖來提升學生看圖和識圖能力，這樣不重視由淺入深的引導往往容易打擊學生學習的積極性，不利于學生發展.為此，教學中不能好高騖遠，要切實從學生實際出發，重視基礎知識的積累和建構，以此循序漸進地提升學生解決問題的能力 [1] .基于此，筆者提出了幾點幾何教學實施方案，供參考.

1 立足課本，夯實基礎

在小學階段就利用“拼一拼”“看一看”潛移默化地培養學生的空間思維能力，然而學生在面對幾何問題還是會因空間思維能力不強而產生畏難情緒，為此，授課時教師不宜直接拋出幾何問題，這樣學生會因開頭難而產生厭學情緒，不利于學生的長遠發展 [2] .教學中教師可以引導學生回憶舊知或聯想生活實際，即從學生最為熟悉的內容出發，消除學生的畏難情緒，讓學生信心滿滿地進行新知的學習.

案例1 ??探究“直線與圓的位置關系”.

師 ??在初中的時候也學習過直線與圓的位置關系，回憶一下，兩者的位置關系有哪幾種，分別是怎樣判斷的呢？

教師在新知引入時并未直接拋出課本問題讓學生去探究，而是從學生熟悉的內容出發，通過舊知的過渡使新知具有熟悉感，更能調動學生探究的熱情.根據課堂反饋，大多學生對之前所學的了如指掌，這也為新知的探究奠定了堅實的基礎.

師 ??大家都說得非常好，根據d與r的大小關系可以判定二者的位置關系.

接下來教師又繼續提問，讓大家復習直線方程、圓的標準方程和一般方程，以及點到直線的距離公式，為學生從代數的思路去證明兩者的關系做好充分的準備.

師 ??已知直線l：x+3y－6=0和圓C：x 2+y 2－2x－4=0，試判斷直線l與圓C的位置關系.（教師 PPT 展示題目1）

問題給出后，大多數學生利用以前的經驗，先將圓方程轉化為標準方程，根據圓心到直線的距離判斷兩者的位置關系，也有些學生想借助圖象來尋找問題的突破口，為了讓學生可以從解析幾何的思路進行求解，教師利用問題“引一引”，讓學生自己發現另外一種解決方法，即“代數法”.

師 ??試想一下公共點的個數與一元二次方程的解是否有什么聯系呢？

在問題的指引下，學生聯想到利用比較Δ與0的大小關系來判斷位置關系，這個思路打開后，學生很快找到了問題的求解方向.

生1 ??將直線l與圓C方程聯立，由x+3y－6=0得x=6－3y，代入圓C方程并消元得y 2－3y+2=0，Δ=（－3） ?2－4×1×2=1>0，方程有兩個解，所以直線l與圓C有兩個公共點，兩者相交.

師 ??非常好，生1得出的結論與你們之前的結論是否一致呢？

生齊聲答 ??一致.

師 ??大家看下這個問題應該如何解決.（教師 PPT 展示題目2）

若直線l：y=x+b與圓C：x 2+y 2=2恒有公共點，求b的取值范圍.

生2 ??方程聯立并消去y得，2x 2+2bx+b 2－2=0，Δ=（2b） ?2－4×2（b 2－2）=16－4b 2≥0，所以當－2 ≤b≤2時，方程恒有公共點.

生3 ??由已知圓C的圓心的坐標為（0，0），半徑為2，圓C到直線的距離d= ?－1×0+1×0－b ??1 2+1 2 ?= ?b ??2 ?.當d≤r時， ?b ??2 ?≤ 2 ，即 b ≤2，所以當－2≤b≤2時，方程恒有公共點.

師 ?：很好，能從不同的角度去分析，展示了兩種解法不同的魅力.

學生探究的熱情高漲，教師又給出了第3個題目：直線l：y=ax+b和圓C：x 2+y 2=c（c>0）恒有公共點，求c的取值范圍.

思路1 ??代數法，學生利用課本講解的代數法求解，將方程y=ax+b和x 2+y 2=c（c>0）聯立，消元得出（a 2+1）x 2+2abx+（b 2－c）=0，根據Δ≥0 求出c的取值范圍.

思路2 ??幾何法，根據圖形分析可知，直線l恒過定點（0，b），圓C的圓心為（0，0），半徑為 c ，由已知兩者恒有交點，所以d≤r，根據生3的解題方法求解.

教學中通過由淺入深，由舊知到新知，數形相結合的方式逐層滲透，不僅讓學生熟練地掌握了課本內容，又與舊知進行了有效的串聯，進而將新的解題方法和解題思路內化至原有的“直線與圓位置關系”的體系中，使認知更完善，視野更寬廣.同時，通過對比可以發現，若用代數的思路求解，雖然思路簡單，但是計算一般較為復雜，結合圖形往往會達到簡化計算過程的目的，潛移默化地滲透數形結合思想.

總之，在幾何教學中不要急于求成，要發揮好新知承上啟下的作用，通過舊知引入為新知的學習掃清障礙，培養學生學習信心；通過適當的由淺入深的拓展，激發學生探究的熱情；通過不同方法的嘗試，展現數學解題的魅力.

2 構建模型，逐層突破

立體幾何問題一向是高中數學教學的難點，主要原因是學生的模型意識不強，沒有形成空間意識，不能將空間問題更好地轉化為平面幾何問題，從而無法應用平面幾何的知識進行求解，為此，在教學中可以應用多媒體、實體模型等，先進行幾何建模，通過對模型的反復觀察逐漸建立空間思維 [3] .

例如 ??線與面是立體幾何的重要內容，為了培養學生的空間觀念，教師用 PPT 展示圖1，引導學生通過對線面的反復觀察探索多重可能性，借助模型培養空間思維和建模意識，從而通過提高學生的空間思維能力培養學生解決幾何問題的能力，幫助學生攻克立體幾何這一難關.

案例2 ??如圖2，已知ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，M，N分別為AB，PC中點，∠PDA=45 ° ，求證MN⊥面PCD.

解析 ??根據已知取PD中點Q，連接AQ，由已知易得MN∥AQ，將問題轉化為證明AQ與面PCD垂直，問題迎刃而解.

空間思維能力對高中幾何學習尤為重要，因此，教師在講解基礎知識后要重視學生空間思維能力的培養，從簡單題目、簡單模型入手，逐漸培養學生的空間思維能力.在教學中可以讓學生畫一畫，實現由點到面，再到立體，建立起幾何空間，通過觀察和探究指引學生將立體圖形逐漸平面化，這樣通過平面與立體的相互轉化提升學生的解題能力和思維能力.

3 舉一反三，精雕細琢

適當的鞏固練習是數學教學的必經之路，雖然立足于課本，通過由淺入深，循序漸進的引導實現了減負增效、夯實基礎的目的，然數學題目往往是復雜多變的，若沒有適當習題的拓展和鞏固，僅依賴于課本教學顯然有些不夠，因此，在教學中教師需要精挑細選一些練習題，讓學生在解題中積累解題經驗，學會舉一反三.

案例3 ??已知直線l：y=2x－2，橢圓C： x 2 5 + y 2 4 =1，試確定橢圓C與直線l的位置關系.若有交點，求出交點坐標.

思路1 ??根據求圓與直線位置關系的經驗，可以將直線l：y=2x－2和橢圓C： x 2 5 + y 2 4 =1聯立，消去y，得出方程x（3x－10）=0，解得x分別等于0和 10 3 ，由此可知橢圓C與直線l相交，交點分別為（0，－2）， ?10 3 ， 14 3 ?.

思路2 ??由已知可得，點（0，－2）在橢圓C上，橢圓的中心為（0，0），根據已知繪制如圖3所示的圖形，從圖形上不難看出直線l與橢圓C相交，其解題思路與案例1中問題3的解題思路相似，利用畫圖法進行分析.

案例3是案例1的一個拓展，由圓聯想到橢圓，拓展后學生自然可以將已有經驗遷移至解決雙曲線和拋物線的問題上，這樣通過類比不僅可以進一步深化知識的理解，而且便于知識體系的建構，使學生的學習更有層次性和系統性，進而實現學一個通一類的目的，有利于學生解題能力的提升.

4 結語

總之，任何能力的提升都需要經歷由淺入深的過程，學生的抽象思維能力培養亦是如此，教學時切勿急于求成，應多關注于學習興趣和學習習慣的培養，尤其在學習習慣培養中要引導學生關注細節，如解題步驟，必要定理說明等，這些細節往往直接關系到成敗.同時，在數學教學中必須引導學生及時的總結和反思，將解題方法和解題經驗內化至自己的認知體系中，從而構建完整的數學體系，促進解題能力的提升.

參考文獻：

［1］ 楊博，鄧鵬.高中學生幾何推理能力層級結構模型[J].數學學習與研究，2011（15）：96+98.

［2］童建福.數學思想方法在解析幾何教學中的應用[J].理科考試研究（高中版），2016，23（01）：8.

［3］劉麗靜.論立體幾何知識遷移能力培養[J].考試周刊.2015（77）：56+19.