“強基計劃”數學專題講座(五)
——“強基”數學試題中基于類比、聯想的創新之美賞析

■江蘇省無錫市第一中學 錢銘

■江南大學理學院 謝廣喜

創新是一個民族進步的靈魂,是一個國家興旺發達的不竭動力。那么在數學學科的有關考試中,如何考查同學們的創新能力呢?我們認為,類比和聯想能力是表現數學創新思維最重要的方面,它可以讓創新思維不再是虛無縹緲,數學創新的思維火花不再是天外來客。正如日本物理學家湯川秀樹所說,“類比是創造性思維的起點”。同時,我們還發現,有時候一些新情況、新問題的解決還需要通過聯想來實現,而利用聯想解決問題的最基本形式通常是基于結構相似的類比。這里必須指出,在這個過程中,必要的數學知識(甚至還涉及其他學科知識)是實現這個工作的中心環節,沒有必要的知識基礎,想通過類比聯想的辦法來創造性地解決有關數學問題基本上是不可能的(尤其是一些難度很大的問題,一個典型的例子是用中小學的數學知識去研究世界難題“哥德巴赫猜想”,結果失敗是必然的)。

而基于結構相似的類比與聯想是一種在數學解題中創造性地處理有關問題的極其常用的方法,比如下面幾種常見形式。

另外,如果(x2-x1)·(y2-y1)≠0,還可將類比理解為一個直角三角形的斜邊長(分別以|x2-x1|及|y2-y1|為直角邊)。

(4)如果問題以絕對值和的函數形式呈現,比如f(x)=|x-a|+|x-b|,x∈R,其中a,b為實參數,與數軸上的點類比聯系,可知f(x)=|x-a|+|x-b|≥|a-b|,當實變量x介于a,b之間時不等式取等號。

(5)如果問題以a2+b2-λa,b(a,b,λ∈R,ab≠0,|λ|＜2)形式呈現,那么我們可以類比聯想到余弦定理,將其理解為一個三角形的第三邊長平方(分別以|a|,|b|為兩邊,夾角的余弦值cosC=,其中cosC前的正負號與a,b符號有關,同號取正,異號取負)。

(6)如果問題以|PA|+|PB|=2a＞0形式呈現(其中A,B為平面上兩個定點,P為動點,且0＜|AB|=2c≤2a),當c=a時,則動點P的軌跡為線段AB;當c＜a時,則動點P的軌跡為以A,B為焦點的橢圓。完全類似地,如果問題以||PA|-|PB||=2a＞0形式呈現(其中A,B為平面上兩個定點,P為動點,且|AB|=2c≥2a),當c=a時,則動點P的軌跡是兩條射線;當c＞a時,則動點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線。特別地,若僅有|PA|-|PB|=2a＞0(且c＞a),則點P的軌跡是到A點較遠的那一支雙曲線(單支雙曲線)。

(7)如果問題以|PA|=λ|PB|＞0形式呈現(其中A,B為平面上兩個定點,P為動點,λ為大于0的參數),則當λ=1時,P點軌跡為線段AB的垂直平分線;當λ≠1時,P點軌跡為阿波羅尼斯圓。

評注:從這道題我們再次看到,沒有相關的數學知識(比如三倍角的余弦公式)作為基礎,聯想就失去了翅膀,創新的思路或解法也就很難“靈光一閃”地出現。

解析:聯想到我們常見的二進制、十進制等的表達形式,我們這里稱其為分數進制(具體這里即為二分之三進制),對于這個新情況、新問題,如果我們注意到2 和3 互質,是可以將其轉化為整數背景問題去研究的。

等式兩邊同乘以2n,得:

很顯然,等式右邊是3 的倍數,而a0∈{0,1,2},只有a0=1才能滿足要求。

同樣地,此時等式左邊必須是3的倍數,由于a1∈{0,1,2},故只能a1=0。

評注:其實,這類分數進制的問題并非首次出現,2005年全國高中數學聯賽第6題就可看成是七分之一進制問題,只不過我們現在這里碰到的情形更具有一般性而已。

評注:問題原始結構還是比較復雜的,但我們聯想到三角函數公式后,問題就變得柳暗花明了,但最后求值域時一定要仔細,否則很容易誤選D。

該直線上任意一點M(a,b)到原點距離的平方為|OM|2=a2+b2。

坐標原點到該直線的距離函數為:

評注:當OM與直線l垂直時剛好取等號。

例8若△ABC是銳角三角形,則tanA+8tanB+13tanC的最小值為_________。

解析:問題呈現在三角形背景下的正切結構,這很容易讓我們聯想到正切恒等式。

由題意,可令x=tanA＞0,y=tanB＞0,z=tanC＞0。

記p=tanA+8tanB+13tanC,即p=x+8y+13z。(*)

由正切恒等式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC,得x+y+z=xyz。

[經典永流傳創新有源泉]

1.(2013 年華東師范大學自主招生試題)已知x,y∈R,試求:

評注:這道題完全是一道舊題,完全類似的試題之前已多次考過。

將有關角的具體值代入可得: