一道高考試題及其變式研究

■福建省德化第一中學 吳志鵬(正高級教師)

例題:(2021 年全國乙卷第5 題)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,點M在橢圓C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為( )。

A.13 B.12 C.9 D.6

命題思路:這是一道以橢圓為載體,利用橢圓的定義構造兩線段的和為定值即橢圓上的點到兩焦點的距離之和為定值,并利用基本不等式或其他方法求積的最值的高考試題。

分析3:利用三角換元,設點M(3cosθ,2sinθ),再利用兩點的距離公式將|MF1|、|MF2|兩條線段表示出來,求積轉化為關于cosθ的二次函數求最值。

1.知識變式(變換知識的呈現場景)

變式1:用一段長為16 m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜地(墻的長大于16 m),則菜地的最大面積為( )。

A.64 m2B.48 m2

C.32 m2D.16 m2

分析1:根據題意,設籬笆的長為am,寬為bm,則a+2b=16。要求菜地面積s=ab的最大值,可利用基本不等式求出菜地的最大面積。

解法1:根據題意,設籬笆的長為am,寬為bm,則a+2b=16。

故選C。

分析2:根據題意,設籬笆的寬為xm,則長為(16-2x) m,則菜地面積為s=x(16-2x),進一步可利用二次函數求出菜地的最大面積。

解法2:根據題意,設籬笆的寬為xm,則長為(16-2x) m。

所以菜地的面積為s=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32。

當且僅當x=4 時,s取得最大值32,所以菜地的最大面積為32 m2。

故選C。

變式2:中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”,即假設在平面內有一個三角形,邊長分別為a,b,c,三角形的面積S可由公式求得,其中p為三角形周長的一半,這個公式也被稱為海倫秦九韶公式。現有一個三角形的邊長滿足a+b=14,c=6,則此三角形面積的最大值為( )。

分析:根據海倫秦九韶公式和基本不等式直接計算即可。

解:由題意得p=10。

當且僅當10-a=10-b,即a=b=7時,取等號。故選B。

變式3:已知直線l過點P(3,2),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,則△ABO的面積取得最小值時直線l的方程為( )。

A.2x+3y-6=0

B.2x+3y-12=0

C.x+2y-6=0

D.x+2y-12=0

2.方法變式(利用基本不等式后轉化為解關于x、y 的一元二次不等式求最值)

變式5:已知x＞0,y＞0,若2x+y=8xy,則xy的最小值是( )。

分析:對2x+y使用基本不等式,這樣得到關于xy的不等式,解出xy的最小值。

3.素養變式(通過不同的情景構造使用基本不等式的條件,并用基本不等式解決相應問題)

變式7:△ABC三個內角A,B,C所對邊分別是a,b,c,若a(bcosC+ccosB)=bc,則角A的最大值是( )。

分析:利用正弦定理將邊化成角,再利用兩角和的正弦公式即可得到a2=bc,再利用余弦定理及重要不等式求出cosA的取值范圍,即可得到A的取值范圍,從而得解。

解:因為a(bcosC+ccosB)=bc,由正弦定理可得a(sinBcosC+sinCcosB)=csinB,所以asin(B+C)=csinB,即asin(π-A)=csinB。

因此,asinA=csinB,a2=bc。