解導數零點不可求問題的三種策略

■河南省鄭州市回民高級中學 趙杰

導數零點不可求是近幾年的高考熱點問題,常作為壓軸題來考查,其核心是由導函數的正、負確定函數的單調性。用導數研究函數f(x)的單調性時,往往需要解方程f′(x)=0,若方程不易求解時,往往給解題帶來困難,同學們可以試試采用猜、證、設的方法解決,進而提升大家的邏輯推理和直觀想象素養。

策略一:猜——猜出方程f′(x)=0的根

對于題中含有字母的函數求導后,得到的是超越函數,此時求導數的零點時可結合導函數的特點猜出導函數的零點,進而求解。

例1已知函數f(x)=aex-lnx-1。

當0＜x＜2時,f′(x)＜0;

當x＞2時,f′(x)＞0。

所以f(x)的單調遞減區間為(0,2),單調遞增區間為(2,+∞)。

易知當0＜x＜1時,g′(x)＜0;

當x＞1時,g′(x)＞0。

所以x=1是g(x)的最小值點。

故當x＞0時,g(x)≥g(1)=0。

點評:當所求的導函數的解析式中出現lnx時,常猜想f′(x)=0 的根為1;當解析式中出現ex時,常猜想f′(x)=0的根為0;當解析式中出現xex-aea時,常猜想f′(x)=0的根為a。

策略二:證——證明f′(x)=0 有根(無根)

函數求導后,導函數的零點不能求時,可根據導函數的特點證明出導函數有(幾個)或無零點。

點評:若導函數f′(x)在某區間上單調,可根據單調性及零點存在定理證出零點的個數;若導函數f′(x)在某區間上不單調,則通過導函數的極值及圖像特征確定零點個數。

策略三:設——設出f′(x)=0的根

對于函數求導后,導函數的零點無法求解時,可設出零點,再根據函數的性質求解。

例3(2017年新課標Ⅱ卷)已知函數f(x)=x2-x-xlnx,證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且f(x0)＜2-2。

所以t(x)=0有解,即f′(x)=0存在兩個根x0,x1。

且f′(x)在(0,x0)上為正,在(x0,x1)上為負,在(x1,+∞)上為正。

所以f(x)必存在唯一極大值點x0,且2x0-2-lnx0=0。

綜上所述,f(x)存在唯一的極大值點x0,且f(x0)＜2-2。

點評:對于導數零點不可求的函數,利用零點存在定理,判斷出零點所在的區間,設出零點代入所求的函數中達到消元化簡的目的。

注:本文系2022年度河南省基礎教育教學研究項目“基于雙新的高中數學單元教學設計、實施與評價研究” (JCJYC2203010020)研究成果。