聚焦圓錐曲線中“設而不求”的命題視角

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學 徐春生

“設而不求”是解圓錐曲線題時簡化運算的一種重要手段,它的精彩之處在于通過設出相應的參數,利用題設條件加以巧妙轉化,以參數為過渡,最大限度地減少運算量。同時,“設而不求”也是比較特殊的一種思想方法,其實質是整體結構意義上的變式和整體思想的應用。

一、活用定義,轉化坐標

點評:設出點的坐標,先通過拋物線的定義,實現點的坐標與幾何關系|AF|+|BF|=4|OF|的轉換,然后借助根與系數的關系建立參數a,b的等量關系,利用“設而不求”,得到雙曲線的漸近線方程。

二、妙用“點差法”,構造斜率

例2拋物線Ε:y2=2x上存在兩點關于直線y=k(x-2)對稱,則k的取值范圍是___________。

解析:當k=0時,顯然成立。

點評:設出A,B兩點的坐標,通過“點差法”,巧妙地表達出直線AB的斜率,通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關系,從而快速解決問題。

三、巧引參數,整體代入

例3已知橢圓的左頂點為A,過A作兩條互相垂直的弦AM,AN交橢圓于M,N兩點。

(1)當直線AM的斜率為1 時,求點M的坐標。

(2)當直線AM的斜率變化時,直線MN是否過x軸上的一定點? 若過定點,請給出證明,并求出該定點;若不過定點,請說明理由。

解析:(1)當直線AM的斜率為1時,直線AM的方程為y=x+2。

(2)設直線AM的斜率為k,直線AM的方程為y=k(x+2)。

證明如下:

點評:本例第(2)問先設出直線AM的方程為y=k(x+2),聯立方程,利用根與系數的關系求出xM,在此基礎上借助kAM·kAN=-1,整體代入求出xN。這是解決圓錐曲線問題時常用的方法,簡單易懂,通過“設而不求”大大降低了運算量。