《雞兔同籠》結構化教學的實踐與反思

作者簡介：張彥伍（1981～），男，漢族，吉林扶余人，廣東省東莞市南城陽光第七小學，研究方向：小學數學教育。

摘 要：《雞兔同籠》問題是一道經典的數學趣題，教學中培養學生解決問題能力的同時，重在理解和應用假設思想。然而“一題多解”的解題策略教學中，一節課下來師生取得的效果并不理想，學生不理解假設從何來，且用假設法解決問題的方法過于模式化。在新課標的指導下，開展結構化教學，側重假設法學習和理解，借助思維導圖呈現可視的結構，“深度”掌握數學模型，促進學生思維發展。

關鍵詞：結構化教學；雞兔同籠；假設思想

中圖分類號：G623.5

文獻標識碼：A

文章編號：1673-8918（2023）32-0100-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在設計體現結構化特征的數學課程內容中指出：“重點是對內容進行結構化整合，重視數學結果的形成過程；根據學生的年齡特征和認知規律，適當采取螺旋式的方式，逐漸拓展和加深課程內容，適應學生的發展需求。”結構化教學體現了學科內容整體性和一致性，學生從學習的內容關聯中體會到核心概念，并在其后學習中進行反復運用和強化，進而促進核心素養的發展。《雞兔同籠》是一道經典的數學趣題，引導學生在感受數學文化魅力的同時，培養學生解決問題的能力，重在假設思想。對此，如何幫助學生梳理與《雞兔同籠》相關的知識，更好地理解和掌握假設思想，呈現完整的結構化學習過程，促進學生的思維發展呢？文章筆者將以《雞兔同籠》一課為例，嘗試開展結構化教學實踐。

一、課前思考，分析學情

筆者回顧教學中發現師生在本節課學習中遇到的困難如下：從學生角度來看：一是假設從何而來？在教學中往往“假設”一詞都是教師提出，引導學生進行解題，學生不理解為什么要進行“假設”；二是模型的掌握固化，即學生對《雞兔同籠》系列數學模型更多的是一種“公式”的掌握，無法變通解決“雞、兔”以外的相關問題。教學中我們引導學生掌握一定的數學模式是有必要的，但不能是模式化。從教師角度來看：人教版教材提倡“一題多解”，讓學生體驗解決問題的多樣化，了解列表法、假設法和畫圖法等，然而一節課下來多種方法的呈現，學生掌握并不理想。調查發現，在實際解決《雞兔同籠》問題中，學生在多種解題方法中用到假設法的約占80%以上。因此，筆者將用學生已有學習經驗和需求進行教學，設計符合學生的學習情境感知“假設”的由來，在新舊知識對比中掌握數學模型，面對多種解法中采取“任弱水三千，我只取一瓢”，即側重假設法教學。

二、尋找關聯，梳理結構

經筆者對教材的知識梳理，與本節課相關聯的知識點包括以下：第一，三年級上冊《多位數乘一位數》和三年級下冊《除數是一位數的除法》的學習中學生已經掌握了乘除法計算能力，能夠結合“單一”的數學信息解決相應的數學問題，為《雞兔同籠》問題中乘除法計算解決問題作了鋪墊；第二，三年級上冊《測量》中《噸的認識》這節課學生學習了列表法解決問題，而且題目中大小車和課后的練習題大小船與《雞兔同籠》中的雞兔問題基本相同。因此，這些已有的學習經驗不僅為本節課解決問題的方法提供了幫助，也為《雞兔同籠》問題的數學模型形成提供了依據。

據此，《雞兔同籠》的教學定位：一是從“單一”信息（籠子里全是雞或全是兔）導入新知，為假設的由來作好鋪墊；二是在觀察與對比“單一”信息與《雞兔同籠》問題中，初步形成《雞兔同籠》數學模型；三是回顧與《雞兔同籠》的相關知識，即《噸的認識》例題，引出列表法解決問題，并借此優化方法。同時用大小車、大小船等知識的回顧及引導學生嘗試列舉，逐步加深數學模型認知和運用，由淺入深，從而更好地發展學生的核心素養。

三、實踐課堂，呈現結構

（一）引問新知，回顧舊知

師：同學們，你知道《雞兔同籠》問題嗎？能介紹下嗎？（生答）

師：你們知道的可真多，為你們點贊。可是當初我沒有學的時候，想得很簡單，同學可別笑話我，知道我是怎么想的嗎？

課件出示（一個籠子里全是雞，或者全是兔）

師：我當時就認為很多只雞在同一個籠子，很多只兔在同一個籠子。這樣的問題多簡單，你們看如果籠子里有35只雞，能算出有多少只腳嗎？

生1：能，一共70只，用35×2就可以了。

師：為什么要乘2呢？

生：因為一只雞有2只腳。

師：是的。如果籠子的雞腳一共有60只，能知道有多少只雞嗎？

生：30只。

師：籠子里有35只兔子，知道有多少只腳嗎？

生2：一只兔子4只腳，一共有35×4=140只腳。

師：真棒。如果籠子里共有80只腳，有多少只兔子呢？

生3：80÷4=20只兔子。

師：同學們，你們看，這樣的雞、兔同籠問題多簡單。

（二）新舊關聯，理解假設

1. 數學文化

師：《雞兔同籠》問題是1 500年前我國古代名著《孫子算經》中記載的一道數學趣題。（出示課件）

師：在生活中產生的數學問題，可以看出當時我們的先輩對數學的熱愛和他們的智慧，能讀懂題的意思嗎？

2. 巧引假設

師：見到真正的《雞兔同籠》問題，再和我想象的對比下，有什么感覺？

生：變難了。

師：是啊！有雞也有兔，混合在一起多難算啊！所以我就在想：籠子里裝的……就好了。同學們，你知道我在想什么嗎？

生1：你肯定在想如果籠子里全是雞就好了。

師：哇！你真懂我的心思。

生2：還有，籠子里全是兔子也行。

師：謝謝，我們已經是知己了。我當時的確就是這樣想的。

師：那籠子里能全是雞或者全是兔子嗎？

生：不能，題中都說了雞和兔同籠的。

師：是啊，這只不過是我的個人想法，不是真的。在數學中像老師這樣的想法，稱為假設。

師：這樣的假設能解決雞兔同籠問題嗎？

生：不知道。

師：那我們不妨試一試，敢于想象，敢于嘗試，或許會有新的收獲。

3. 運用假設

師：假設籠子里全是雞會有什么結果呢？

生：腿數不夠。

師：為什么不夠？

生1：因為差兔子啊，把兔子當成了雞，一只兔子就少算了2只腳。

師：確實，兔子肯定也為難了。那一共少多少只腳呢？你們知道嗎？

生：一共少24只。

師：怎樣計算的？

生2：因為一只雞2只腳，35只雞一共有35×2=70只腳，題中說一共有94只腳，還差24只。

師：為了便于我們更好地理解，也可以借助畫圖的方法演示，一起看下。（課件演示）

師：老師用算式把這個過程記錄下來。那24只腳是誰的呢？

生3：是兔子的呀，因為剛才不是說了把兔子看成雞。

師：明白了，那現在把腳還給兔子吧，應該怎么去還呢？

生4：給一只雞加上2只腳，就變成兔子了。

師：為什么加2只腳？

生5：因為一只兔子比一只雞多了2只腳。

生6：他的意思是說，假設籠子里全是雞，那兔子也變成了雞，一只兔子就少算了2只腳，所以24要除以2，是12只兔子的腳數。

師：謝謝你這么詳細的解釋。原來這個“2”是一只兔子和一只雞相差的腳數，利用這樣的數量關系，我們算出了籠子里兔子的只數共有12只，那雞就是多少只？

生7：用35-12就是雞的只數了，雞有23只。

師：籠子里有23只雞，12只兔，這個只數到底對不對呢？大家能驗算下嗎？

生8：12×4+23×2=94，說明是正確的。

師：真好！看來運用假設這個方法還能解決問題呢。

4. 自主探究

師：同學們，再來一起看下假設全是雞的計算過程，我們先計算了35只雞的總腳數，再用籠子里雞兔的總腳數94-70得出了少的腳數，因為把兔子看成了雞，一只兔子就少算了2只腳，所以用24÷2就得出了兔子的只數，最后也就得到了雞的只數。

師：如果假設全是兔，你能像這樣列式解決嗎？請大家試一試。（學生完成后匯報）

生1：假設籠子里全是兔，籠子里共有35×4=140只，140-94=46表示比籠子里規定多出的腳數，這次假設全是兔，就是把雞也當成了兔，一只雞就多出2只腳，所以用46÷2=23只就算出了雞的只數，用35-23=12只就是兔子的只數了。

師：為他完整地解答鼓掌！那結果對不對呢？

生2：不用計算了，和上面假設全是雞的答案一樣，所以計算是正確的。

師：真棒！通過剛才大家的計算，再次驗證了假設法的確不錯。

（三）對比分析，形成模型

1. 初識模型

師：同學們，我們一起來對比下，老師想象的“雞、兔同籠”問題和真正的《雞兔同籠》問題，它們之間有什么不同的地方？

生1：老師想的籠子里全是雞或者全是兔，而《雞兔同籠》里既有雞也有兔。

生2：想的題比較簡單，而《雞兔同籠》問題比較難。

師：從哪里看出了簡單和難呢？

生3：全是雞或全是兔，就給一個數學信息，《雞兔同籠》既有雞，也有兔的比較復雜。

師：是的，我想象的問題中給出的數學信息是單一的，而《雞兔同籠》問題就像是把這兩個單一不同的條件合在了一起。其實像這樣的問題，我們也并不陌生，三年級的時候就遇到過。

2.優化列表

師：（出示課件，如圖1）同學們，能看出這題中的“雞”和“兔”嗎？

生：大車是兔子，小車是雞。

師：還記得怎樣解決這道題的嗎？（課件出示列表法）當時我們是用列表法解決。

師：我們也用列表法來解決下今天學習的《雞兔同籠》問題吧。（出示表格）如果雞有1只，兔子就要有34只，一共有多少只腳呢？

生：1×2+34×4=138

師：是的，如果雞有2只，兔子就要有33只，一共有136只腳。如果雞有3只，……以此類推，要算到哪里呢？

生：雞有23只，兔子有12只。

師：對的。運用列表法解決你有什么感覺？

生：太麻煩了。

師：不過，這里面也有簡便的地方，你發現了嗎？

生1：我發現了，多一只雞，少一只兔子，總腳數就少2只。

師：真是善于觀察的孩子！如果反過來看，又有什么發現？

生2：多一只兔子，少一只雞，總腳數就多2只了。

師：了不起！所以我們也可以運用這樣的規律去解決雞兔同籠問題。但和假設法對比，可能假設法略勝一籌。大家選擇自己喜歡的方法就可以。

3. 深化模型

師：課后還有一題，大家請看。（出示課件，如圖2）

師：能看出這題中的誰是“雞”，誰是“兔”嗎？

生：大船是雞，小船是兔。

師：是的，它們都和雞兔同籠問題一樣，里面都是由兩個不同的數學信息組成。籠子裝的是雞和兔，就可以叫作《雞兔同籠》問題，那同學們再想下，剛剛這兩道題其實也可以有自己的名字，叫什么問題呢？

生1：卡車問題。

生2：大小船問題。

師：雞兔同籠是一個代表性的問題，只要像它們這樣，將兩個不同的數學信息融合在一起，就可以設計出一道問題來。同學們，大膽地思考下，生活中還有什么樣的相似問題呢？你能舉例說一個嗎？

生3：5元錢和1元錢放在一起，可以組成金錢問題。

生4：八爪魚和兔子放在一起，魚兔問題。

生5：牛和雞在一起，牛雞問題。

……

師：真是愛思考的孩子，為你們點贊。像這樣的問題在我們生活中有很多，只要將兩個不同的“單一”數學信息放在一起，就可以組成是“雞兔同籠”問題了。

四、反思教學，解析結構

通過結構化教學的開展，加深了學生對《雞兔同籠》問題的數學模型的理解，并能更好地運用假設法解決相關的問題。

（一）以舊知引新知，搭建認知結構

人的認知規律特點是“溫故知新”，尤其對學生更加適合。本節課的教學從學生角度出發，設計適合學生的學習情境，以教師初學時猜想的“單一”數學信息（即一個籠子里全是雞或全是兔）的導入回顧舊知，喚起學生已有的學習經驗。在這個學習過程中，溝通了新舊知識的關系，為假設思想解決問題作好了鋪墊，激發了學生嘗試探究新知、獲取新知的需求，提高學生“主動學習”的積極性。以舊知引出新知學習的方式，體現了“降維思想”，從學生已有的學習經驗和生活經歷中開展教學，搭建符合學生認知的橋梁，符合結構化教學要求。

（二）用關聯比不同，探究模型結構

《雞兔同籠》是一道典型的邏輯推理問題，部分學生學習后只識“雞兔”，不識“模型”。為了更好地讓學生在學習中認清“模型”，教學中聯系學生已有的學習“單一”數學信息問題與雞兔同籠問題進行對比不同，發現雞兔同籠問題好比將兩個不同的“單一”數學信息捏合而成，在對比中學生初步感知模型結構。再回顧三年級上冊《噸的認識》中例題大小卡車和課后練習題大小船，尋找“雞”和“兔”，深化模型的探究，引導學生感知《雞兔同籠》只是一個典型的代表，還可以有“大小卡車問題”“大小船問題”，以此讓學生列舉相關的問題。在這個學習過程中，學生探究《雞兔同籠》問題的模型結構是由淺入深、螺旋上升的方式，體現了深度學習，為學生解決《雞兔同籠》的相關問題打下了良好的基礎。

（三）理知識畫導圖，呈現可視結構

開展結構化教學實現了整體意義關聯，思維結構發展，致力于將碎片化知識連點成線，將割裂化的方法關聯成體，將淺表化的思維引向深刻。然而在平常的教學中，這樣的知識結構多數是隱形的，不可見的，教師努力構建和表達，學生卻無法感知和獲取。因此，在教學中為了更好地讓學生掌握好知識結構，筆者借助思維導圖作為板書設計（如圖3），將隱形的知識結構直觀地呈現出來，借助板書看到知識結構的“前”與“后”，這種方式利于學生對整體的知識結構深度理解和應用。（文章由廣東省王金發名師工作室指導）

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：2-3.

［2］吳玉國.指向學習經驗生長的結構化學習策略［J］.江蘇教育研究，2022（29）：26-30.