從一道聯考試題談米勒定理及其簡單應用

摘 要：文章從一道質檢試題出發，簡要闡述米勒問題及其應用，以此提高學生應用模型解決數學問題的能力和數學建模素養，促進其深度學習.

關鍵詞：米勒問題;應用;數學建模

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0014-04

米勒問題涉及三角形、直線、圓、橢圓、雙曲線等眾多知識點，經常與角度的最值問題結合考查.借助米勒定理可以迅速求解此類角度的最值問題.

1 試題呈現

題1 （華南師大附中，廣東省實驗中學，廣雅中學，深圳中學2022屆高三四校聯考第7題）

在足球比賽中，球員在雙方球門前的不同的位置起腳射門對球門的威脅是不同的，出球點對球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖1為室內5人制足球場示意圖，設球場（矩形）長BC圖1 2022屆高三四校聯考第7題圖大約為40米，寬AB大約為20米，球門長PQ大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線BC上某點M處射門（假設球貼地直線運行），為使得張角∠PMQ最大，則BM大約為（）（精確到米）.

A.8B.9C.10D.11

2 試題分析

本題以5人制足球場為背景，求足球運動員最佳射門位置.顯然這是一道現實生活中的問題，體現了數學來源于現實并用于解決實踐問題的理念，突出了對數學建模素養的考查.試題入手寬，解法多，但是不同的解法繁簡程度不一，要求考生擇優選擇最佳路徑解決問題，突出了對數學運算素養的考查.

3 試題解析

思路1 從解析幾何的角度入手.如圖1所示，要使得張角∠PMQ最大，即tan∠PMQ最大.從函數的觀點來看，要解決最值問題，必須引入變量，即將tan∠PMQ表示成某個變量的函數，再借助函數求最值的方法解決問題.觀察圖1可知，∠PMQ=∠BMQ-∠BMP，所以可以將tan∠PMQ轉化成

tan∠BMQ-∠BMP.進一步借助兩角差的正切公式展開并引入變量解決問題.

當且僅當x2=96，即x≈10時，tan∠PMQ取得最大值.

此時張角∠PMQ最大，所以當BM大約為10米時，張角∠PMQ最大.

思路2 思路1雖然解法自然，但是計算量大，同時也沒有看到試題背后隱含的本質.本題要尋找最佳射門位置，實則是著名的米勒問題［1］.米勒是德國的一名數學家，他于1471年提出一個有趣的問題：在地球表面的什么位置，一根垂直的懸桿呈現最長？即在什么位置，視角最大？這個問題被稱為最大視角問題，又稱之為“米勒問題”.其數學表述如下：

已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當點C在何處時，∠ACB最大？

可以證明如下結論：

已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當且僅當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.

該結論簡稱為米勒定理.主要有以下三種模型.

模型1 如圖2所示，設直線a//b，直線a上有兩個定點M，N.在直線b上取一個動點P，則當點P位于過點M，N的圓與直線b相切的切點時，∠MPN最大，此時PM=PN.

模型2 如圖3所示，設直線a和b相交于點O，直線a上有兩個定點M，N.在直線b上取一個動點P，則當點P位于過點M，N的圓與直線b相切的切點時，∠MPN最大，此時OP2=OM·ON.圖2 模型1圖 圖3 模型2圖 圖4 模型3圖

模型3 如圖4所示，設直線a與圓O1相切于點Q，直線a上有兩個定點M，N.動點P在圓O1上運動，則當點P位于過點M，N的圓O2與圓O1相切的切點時，∠MPN最大.

運用該定理可以解決數學上一些與最大角有關的問題.因此對于本題，還可以有如下解法.

解法2 如圖1所示，作以線段PQ為弦且與BC相切的圓，切點M0.連接M0P，M0Q，當點M不為點M0時，∠PMQ<∠PM0Q.又BP=AQ=8，根據圓的切割線定理，有BM20=BP·BQ，即BM0=96，當點M為點M0，即BM大約為10米時，張角∠PMQ最大.

顯然思路2比思路1在思維上更勝一籌，在計算上更加簡捷，體現了多思少算的良好數學品質.這也體現了命題者命制本道試題的初衷——對數學建模思想的考查，

4 拓展應用

例1 （2022年上海交大強基試題）已知橢圓x24+y2=1的焦點為F1，F2，點P在直線x+23y-

43=0上，當∠F1PF2最大時，則PF1PF2=.

解析 如圖5所示，當過點F1，F2的圓與直線x+23y-43=0相切，切點為點P時，∠F1PF2最大.此時△QPF2∽△QF1P.

故QPQF1=PF2PF1.

由于QP2=QF2·QF1=45，

所以QP=35.

因此3553=PF2PF1，

所以PF1PF2=153.

例2 （2022年9月清華大學中學生標準學術能力診斷性測試）在平面直角坐標系中，A0，1，

B0，2，若動點C在直線y=x上，圓M過A，B，C三點，則圓M的面積最小值為.

解析 如圖6所示，當圓M與直線y=x相切于點C時， 圓M的面積最小.

由割線定理可知，OC2=OA·OB=2.

解得OC=2.

在△BOC中由余弦定理可得BC2=2.

則BC2+OC2=OB2.

所以BC⊥OC.

故BC為圓M的直徑.

所以此時圓M的面積最小為π2.例3 （長沙市雅禮中學2023屆高三月考）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若ccosA+acosC=2，AC邊上的高為3，則∠ABC的最大值為.

解析 由已知可得b=2.

作直線l∥AC，當過A，C兩點的圓與直線l相切于點B時，∠ABC最大.結合已知條件易知此時△ABC為正三角形［2］.

所以∠ABC的最大值為π3.

例4 已知點P為拋物線y2=4x上一動點，A1，0，B3，0，則∠APB的最大值為.

解析 根據米勒定理，當點P為過A，B的圓與y2=4x相切的切點時，∠APB取最大值.

在一些現實問題中，涉及到視野的最大值問題也可以借助米勒定理解決，體現了數學建模的思想.數學建模是六大數學核心素養之一，貫穿于新教材必修一和必修二兩冊的教學內容當中.數學建模素養是教師在課堂教學中應該著力培養的素養，在平時的教學中教師可以適當介紹米勒問題，并與高中內容相結合，以此為抓手培養建模思想，提高數學思辨智慧，促進深度學習.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 張俊暢.米勒問題的數學建模及應用［J］.數理化解題研究，2020（34）：14-15.

［4］ 彭博.最大視角問題與米勒定理［J］.高中數學教與學，2021（05）：17-19.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：陳藝平（1977.11-），男，福建省龍海人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2022年度“協同創新”（含幫扶項目）專項課題“新課程大單元理念下高中數學集體備課模式構建”（項目編號：Fjxczx22-073）