基于O-U特征的Bachelier模型的期權定價

錢維佳 陳海楓 陳安鋼 呂照進 奚雷

摘?要：隨著“負油價”現象的出現，對于期權等衍生產品來說，標的資產負價格意味著經典Black-Scholes模型失效。本文對原始的Bachelier模型進行修改，保留標的資產價格可以為負的特點，并且使其具有Ornstein-Uhlenbeck隨機過程特征。基于修正的Bachelier模型結合蒙特卡洛數值算法對歐式期權、美式期權以及障礙期權進行定價，進一步擴展其期權定價應用范圍。通過數值模擬，基于修正的Bachelier模型在期權定價上表現出很高的計算精度，基于O-U特征的Bachelier模型的期權定價可以作為Black-Scholes模型期權定價的替代方案，指導期權等衍生品定價決策。

關鍵詞：Black-Scholes模型；Bachelier模型；期權定價；障礙期權；負標的資產

一、引言

2020年4月20日，西得克薩斯中質原油（WTI）5月期貨價格暴跌305%，至每桶-3673美元，這是芝加哥商品交易所（CME）歷史上該大宗商品首次出現負價格，天然氣等其他大宗商品的價格此前曾跌至0美元以下。在價格跌入負值的情況下，買家將獲得提貨報酬，但是由于運輸和儲存等相關成本的原因，致使有超過79萬手的多頭被迫與票據交易所進行現金結算。WTI是一種特定等級的原油，是石油定價的三大基準之一，其出現負油價在國際金融市場引發了連鎖反應：抄底原油的多頭紛紛爆倉，損失慘重；產油國及原油公司面對低油價和原油供給過剩致使倉儲和財務崩潰，面臨著巨大的經濟風險。

負油價的出現主要有以下四個原因：第一，根據國際能源署的數據，由于新冠疫情迫使世界各國發布“居家隔離”政策，以減緩疾病的傳播，致使原油需求預計將減少2900萬桶/天，經濟活動減少意味著對原油及其副產品（包括汽油和航空燃料）的需求減弱。第二，供需矛盾激化原油倉儲運輸成本直線飆升，期貨多頭行權交割時，必須承擔原油的運輸、儲存等巨額成本，最終導致多頭不得不以現金方式與交易所平倉。第三，芝加哥商品交易所清算所（CME?Clearing）公布測試以支持潛在的負油價期權的可能性，并使市場繼續正常運作，允許出現負油價的機制致使石油市場引發極端混亂。第四，負油價危機暴露了金融交易監管和風險管理方面的不足之處，金融機構存在交易規則、風險管控、衍生產品設計、投資者教育宣傳等諸多不規范，美國商品期貨交易委員會后來發布建議，希望金融機構持續做好應對某些合約的極端市場風險。

負油價的沖擊之后，芝加哥商品交易所和ICE

于當月做出決定，立即改用Bachelier模型進行期權定價，正式開啟允許標的資產價格為負的交易情形。①此次CME正是利用Bachelier模型中標的資產價格可以為負的特點為原油期貨期權進行定價，以維持結算的正常進行。對于期權等衍生產品來說，標的資產負價格意味著經典Black-Scholes模型失效，使得Bachelier期權定價模型再度被應用。但即使沒有負油價，也有充分的理由考慮使用Bachelier期權定價模型。其一，Bachelier模型是第一個分析布朗運動（BM）數學特性，為股票價格變化的隨機過程建模的模型，比Black-Scholes模型早了70多年。Bachelier期權定價模型在為某些合約定價方面，會比Black-Scholes模型（防止標的資產價格路徑為負）有一些優勢。例如，Bachelier波動微笑曲線比Black-Scholes曲線更適合石油市場。其二，在固定收益市場，由于對數正態分布不能準確地描述利率變化的隨機過程，Bachelier模型已經被廣泛使用在利率等衍生產品上。例如，掉期是由Bachelier波動率報價和風險管理的。即使負油價是市場變化的一次突發事件，從風險管理角度，將Bachelier模型納入定價系統也會對金融衍生品定價起到指導決策作用。

中國證券期貨2023年8月

第4期基于O-U特征的Bachelier模型的期權定價

盡管負油價的出現使很多學者開始重新研究Bachelier模型，仍然很難找到關于該模型的全面應用，主要由于Bachelier模型存在著標的資產可能為負等缺點，一直沒有得到很廣泛的應用。本文對最原始的Bachelier模型做了相應修改，保留其標的資產可以為負的特性，同時增加資金的時間價值和標的資產均值回復的特性，使其具有Ornstein-Uhlenbeck隨機過程特性，并基于修正的Bachelier模型結合蒙特卡洛等數值算法為更多種類的期權定價。在實證分析中，基于修正的Bachelier模型對歐式期權（涉及正負標的資產價格）、美式期權以及障礙期權進行定價，對于期權定價有著非常好的參考指導價值，尤其在負標的資產的期權定價上。

二、期權模型與期權定價

本節主要介紹常見的期權定價模型，并對每行模型進行隨機過程求解和標的資產價格分布與價格路徑模擬。同時基于常見的兩個期權模型進行期權定價，最后介紹兩種常用的期權定價數值算法，并基于兩種數值算法擴展對Bachelier模型的應用范圍，使其可以被運用到歐式期權、美式期權和障礙期權。

（一）期權模型

Displaced?Black-Scholes模型是具有一般性的標的資產價格隨機模型，其模型結構如式（1）所示，此模型基本涵蓋了金融標的資產價格變化的各種隨機過程，如β=1，標的資產價格隨機過程為Black-Scholes模型，常用于金融衍生產品的定價建模；β=0，標的資產價格隨機過程為Ornstein-Uhlenbeck模型，常用于刻畫利率、大宗商品價格等建模；β=1，σ也是隨機過程，此模型為隨機波動率模型，即Heston模型。

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σ［βS（t）+（1-β）］dW（t）（1）

其中，S（t）表示標的資產在初始時刻t的價格，r表示市場無風險利率，q表示凈便利收益率或紅利率，σ表示標的資產價格的瞬時波動率或絕對波動率，β表示模型可調系數，W（t）為標準布朗運動。

通過求解，其標的資產在t時刻的價格如式（2）所示：

S（t）?=S（0）e（r-q-12σ2β2）t+∫t0σβdW（s）-∫t0σ2β（1-β）e（r-q-12σ2β2）s+∫s0σβdW（s）ds+∫t0σ（1-β）e（r-q-12σ2β2）s+∫s0σβdW（s）dW（s）（2）

1Black-Scholes模型

Black-Scholes模型是第一個被廣泛使用的計算期權合約理論價值的數學方法，該方法是基于其標的資產估算衍生品的理論價值，同時考慮時間價值和其他風險因素的影響。由于Black-Scholes模型嚴苛的模型假設，使期權定價結果往往偏離實際交易市場價格，同時標準Black-Scholes

①?CME?Group，Switch?to?Bachelier?Options?Pricing?Model-Effective?April?22，2020Advisory?Notice?#20-171CME

CME?Group，2020bValuation?Model?Change?for?Four?Natural?Gas?Option?Products-Effective?May?26，2020Advisory?Notice?#20-209，CME

模型僅適用于歐式期權定價，因此在期權定價方面出現了許多修正的Black-Scholes定價模型，使Black-Scholes模型進一步得到廣泛應用。如式（1）所示，當β=1，標的資產價格的隨機過程為Black-Scholes模型，在風險中性測度下標的資產價格變化過程符合幾何布朗運動，其模型結構如式（3）所示：

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σS（t）dW（t）（3）

基于Black-Scholes模型的標的資產到期日價格分布和標的資產價格路徑分布如圖1和圖2所示，Black-Scholes模型的標的資產價格呈現對數正態分布形式且價格總是大于0。

圖1?到期日標的資產價格分布

圖2?標的資產價格路徑分布

根據式（2），Black-Scholes模型下的標的資產在T時刻的價格S（T）如式（4）所示：

S（T）=S（t）expr-q-12σ2

（T-t）+σT-t·z（4）

在該模型假設下，基于等價鞅測度法進行風險中性定價：假設在初始時刻t，標的資產初始價格為S（t）、T為期權到期日、K為期權執行價格。歐式看漲期權價格等于其未來到期時的payoff的期望值的貼現如式（5）所示：

VCBS=e-r（T-t）（ST-K）+=e-r（T-t）S（t）expr-q-12σ2

（T-t）+σT-t·z-K+=S（t）ΦlogS（t）K+12σ2（T-t）σT-t-?Ke-r（T-t）ΦlogS（t）K-12σ2（T-t）σT-t

（5）

其中，Φ（·）為標準正態分布的累積分布函數，相應的歐式看跌期權價格可以由期權的平價公式推導得出。

2具有O-U特征的Bachelier模型

經典的Bachelier模型刻畫的是t時刻期貨價格隨機過程：dF（t）=σdW（t）。本文在此模型上進行修改，使修正的Bachelier模型具有均值回復的Ornstein-Uhlenbeck隨機過程，即式（1）的標的資產價格隨機過程，在β=0時為具有均值回復的Bachelier模型，其模型結構如式（6）所示：

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σdW（t）（6）

基于修正的Bachelier模型式（6），帶入F（t）=e（T-t）（r-q）S（t），可以得出t時刻期貨價格隨機過程如式（7）所示：

dF（t）=e（T-t）（r-q）σdW（t）（7）

與經典的Bachelier模型相比，兩種模型的主要區別是波動率呈指數增長或指數下降，但修正的Bachelier模型保留了Bachelier模型的特點，同時加入了O-U過程的均值回復的特征。

根據式（2），修正的Bachelier模型下的標的資產在T時刻的價格S（T）如式（8）所示：

S（T）=S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）·z（8）

基于修正的Bachelier模型的標的資產到期日價格分布和標的資產價格路徑分布如圖3和圖4所示，Bachelier模型的標的資產價格分布呈現正態分布形式，同時存在負價格情形。

圖3?到期日標的資產價格分布

圖4?標的資產價格路徑分布

與Black-Scholes模型一樣的條件下，基于等價鞅測度法進行風險中性定價，歐式看漲期權價格如式（9）、式（10）所示，其中f（z*）和N（z*）是標準正態分布的概率密度函數和累積分布函數，相應的歐式看跌期權價格可以由期權的看漲-看跌平價公式推導出。

VCBL=e-r（T-t）［（ST-K）+］=e-r（T-t）S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z-K+=e-r（T-t）∫z*（S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z-K）f（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）∫

SymboleB@

z*σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）zf（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）∫

SymboleB@

z*zf（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）∫

z*ze-z222πdz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）f（z*）（9）

S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z*-K>0z*=S（t）e（r-q）（T-t）-Kσe2（r-q）（T-t）-12（r-q）?（10）

（二）期權定價數值算法

1二叉樹法

二叉樹期權定價模型（二叉樹模型）是1979年發展起來的一種多周期期權估值方法，在期權起始日和到期日之間指定時間步長，二叉樹期權定價模型采用迭代方法對期權進行定價，每次迭代假設標的資產價格有兩種可能的結果：沿著二叉樹向上或向下移動，并且每個時期都使用相同的上漲和下跌概率。如果時間區間被無限細分，二叉樹的標的資產價格變動可以收斂到一個幾何布朗運動。二叉樹期權定價過程可以可視化資產價格在每一期的變化，如美式期權可以根據不同時間點的資產價格來決策評估期權。二叉樹期權定價模型構造步驟如下（以單步二叉樹為例）：

（1）根據標的資產價格波動率σ：計算標的上漲倍數u=eσΔt，下跌倍數d=e-σΔt。

（2）二叉樹在Δ時間區間上，標的資產向上運動的收益率為u-1的概率為p，1-p為標的資產向下運動收益率d-1的概率，即風險中性概率p=（erΔt-d）/（u-d）。

（3）歐式期權定價策略：從二叉樹的末尾迭代出發，從后往前不斷迭代到二叉樹的起始點。例如，由q節點的上升和下降時的期權價值（fu和fd）加權平均并且貼現到當前節點，得到當前期權價格：f=e-（r-q）Δt（pfu+（1-p）fd）。

（4）美式期權定價策略：從二叉樹的末尾迭代出發，從后往前不斷迭代到二叉樹的起始點，并且在每個節點上求取最大回報收益：

max［f=e-rT（pfu+（1-p）fd），提前行使期權的收益］。

與Black-Scholes模型相比，二叉樹期權定價模型在數學上很簡單，而且基于迭代操作，交易者可以提前確定何時可能發生執行決策，增加套利策略的機會。二叉樹期權定價模型的缺陷就是每一次迭代其標的資產的價格只能變化兩個值，在實際中是不合理的。

2蒙特卡洛算法

蒙特卡洛期權定價算法（蒙特卡洛算法）是基于風險中性定價理論的隨機抽樣算法，用于計算具有多種不確定性和隨機特征的期權價格，如利率、股價或匯率的變化等。利用隨機抽樣算法模擬標的資產價格運動路徑分布，在抽樣路徑上計算期權在終點的價值，經過多次抽樣，將獲得的所有收益求均值，然后利用無風險利率貼現后，計算在初始時刻的期權價值。其中，對偶變量法是提高蒙特卡洛，算法模擬精度的一種方法，美式期權定價是基于最小二乘蒙特卡洛算法在每個時點上需要做一次線性回歸，從而計算出最優的行權時點，得出期權價格。蒙特卡洛期權定價算法步驟如下：

（1）基于風險中性定價理論的隨機抽樣算法，模擬標的資產價格St運動路徑分布，0≤t≤T。

（2）計算出標的資產價格St每條運動路徑的到期回報：max（S（T）-K，0），并結合風險中性定價理論的無風險利率r計算出到期回報的貼現值：CT=e-r（T-t）max（S（T）-K，0）。

（3）不斷迭代m次步驟（1）、（2），計算到期回報均值：CMC=1m∑CT=1me-r（T-t）∑max（S（T）-K，0），進而得到期權價格的Monte-Carlo模擬值。

三、實證分析

本節利用Black-Scholes模型、二叉樹模型、蒙特卡洛期權定價算法和基于Bachelier模型的期權算法分別對歐式期權、美式期權和障礙期權進行定價，通過數值結果的比較分析，說明基于Bachelier模型的期權算法不僅可以應用在標的資產價格為負的期權定價上，還可以應用在美式期權和障礙期權定價上，為期權定價提供一種有效的定價算法。

（一）歐式期權定價

歐式期權規定期權合約持有人只能在到期日行使其權利，期權持有人的權利包括以指定的執行價格購買標的資產或出售標的資產。

1標的資產價格為正的歐式期權定價

首先對標的資產價格為正的歐式期權定價，在不同波動率下，計算不同定價算法對期權的定價結果，期權合約涉及參數：S0=95為標的資產初始價格，K=100為期權行權價格，T=1為期權有效期，r=002為市場無風險收益率，q=001為標的資產的凈便利收益率或紅利率，σ=02、03、05為標的資產價格不同的波動率。

歐式期權定價算法對比：采用存在解析解Black-Scholes模型算法（BS）、時間步長為200步的二叉樹模型（Binarytree）、模擬次數為10000次以及時間步長為200步的Black-Scholes模型的蒙特卡洛算法（BSMC）、基于Bachelier模型的期權定價算法（Bachelier），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛算法（BachelierMC）和對偶變量法蒙特卡洛算法（BachelierDMC）進行數值仿真對比。

從表1數值結果可以看出，利用上述期權定價算法的期權價格結果相似，對期權定價有一定的指導意義。Bachelier模型和Black-Scholes模型的差異主要表現在其標的資產價格所對應的分布不同，當標的資產初始價格S0越小，波動率σ越大時，其分布越容易出現負標的資產價格的情形，從數值結果也可以得出，當波動率σ越大時，Bachelier模型產生的期權價格與基于Black-Scholes模型的解析解的精度誤差擴大。精度誤差減小可以通過基于Bachelier模型的數值算法的時間步長和模擬次數來提高，當時間步長和模擬次數更加精細時，基于Bachelier模型的期權定價方法的結果將更加貼近Black-Scholes模型的解析解。

2標的資產價格為負的歐式期權定價

美國的WTI原油5月合約暴跌為負值，使得期權等衍生品定價必須面對標的資產為負價格的情形，這里還是采用上一節的參數：T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，僅對標的資產價格和執行價做出修改：S0=-30，K=30。由于Black-Scholes模型為對數正態模型，不合適標的資產價格為負的歐式期權定價，這里采用的算法為時間步長為200步的二叉樹模型（Binarytree）、基于Bachelier模型的期權定價算法（Bachelier），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛算法（BachelierMC）和對偶變量法蒙特卡洛算法（BachelierDMC）進行數值仿真對比。

從表2數值結果可以看出，上述期權定價算法對于標的資產為負價格情形下的定價十分精確，對于看漲期權多頭，面對標的資產價格暴跌為負時，而在到期日有權利以正的執行價購買期權標的資產，顯然多頭是拒絕行權，即此時期權價格為0，但是波動率σ較大時，相應的資產波動更加敏感，Bachelier模型定價顯示即使標的資產價格出現負值也存在相應的期權價格。對于看跌期權多頭，面對標的資產價格暴跌為負時，在到期日有權利以正的執行價出售期權標的資產，多頭顯然是必須行使此份期權，即此時期權價格為正。

（二）美式期權定價

美式期權允許期權持有人在預定的到期日或之前，根據期權是看漲期權還是看跌期權，以設定的執行價格買進或賣出標的資產。由于投資者可以在合約有效期內的任何時候自由行使期權，所以美式期權比歐式期權更有價值。

這一節還是采用上兩節的參數進行期權算法對比模擬，正標的美式期權定價的參數與第一節參數一致，負標的美式期權定價的參數與第二節參數一致。本節只驗證美式看跌期權定價算法對比，美式看漲期權可以通過期權平價關系求解，采用的算法為時間步長為200步的二叉樹模型（Binarytree）、基于Black-Scholes模型的最小二乘蒙特卡洛期權定價算法（BSLMC），以及基于Bachelier模型的最小二乘蒙特卡洛期權定價算法（BachelierLMC）進行數值方法對比，其中Black-Scholes模型期權定價算法（BS）和Bachelier模型的期權定價算法（Bachelier）為歐式看跌期權定價結果。

從表3數值結果可以看出，不管標的資產價格為正或負，三種期權定價算法精度都很精確，由于涉及凈便利收益率或紅利率的美式期權到期日前都是可以隨時行權，也驗證了其美式看跌期權的價格都大于歐式看跌期權價格。

（三）單障礙期權定價

障礙期權是一種路徑依賴的場外奇異期權衍生品，其收益根據障礙期權的標的資產是否達到或超過期權合同中規定的預定價格，如果標的資產的價格超過一定的障礙值而使期權合約失效，此時為敲出失效期權；反之為敲入生效期權。障礙期權的優點就是相對歐式期權或美式期權，其期權價格低廉。本文主要考慮的單障礙期權，可以分為向上敲出失效看漲期權（UOC）、向上敲入生效看漲期權（UIC）、向上敲出失效看跌期權（UOP）、向上敲入生效看跌期權（UIP）、向下敲出失效看漲期權（DOC）、向下敲入生效看漲期權（DIC）、向下敲出失效看跌期權（DOP）、向下敲入生效看跌期權（DIP）。

障礙期權只要期權有效期內有效，其收益和歐式期權相似，一份普通歐式看漲期權價格如式（11）所示，N為標的價格隨機路徑數，Sj，T為標的到期日價格，K為期權執行價，P（Sj，T）為對應標的價格概率。

VEuropean=?e-r（T-t）∑Nj=1［max（Sj，T-K，0）×P（Sj，T）］

（11）

一份向上敲出失效看漲期權（UOC）價格如式（12）所示，n為標的價格觸碰障礙值的路徑數，Sj，t≤i≤T為期權有效期內的標的價格，K為期權執行價，P（Sj，t≤i≤T

VBarrier=?e-r（T-t）∑N-nj=1［max（Sj，T-K，0）×P（Sj，t≤i≤T

本節主要給出8種不同的單障礙期權定價對比，在不同波動率下，計算不同定價算法對期權的定價結果，其中向上敲出敲入期權選取參數為S0=95，K=100，T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，障礙值L=105；向下敲出敲入期權選取參數為S0=95，K=100，T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，障礙值L=90。采用的期權定價算法為單障礙期權解析解（Analytic?solution）、基于Black-Scholes模型的蒙特卡洛期權定價算法（BSMC），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛期權定價算法（BachelierMC）進行數值方法對比，其中蒙特卡洛模擬次數為10000次，時間步長為200步。

表4至表5數值基于Black-Scholes模型的蒙特卡洛期權定價算法（BSMC）以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛期權定價算法（BachelierMC）都與障礙期權解析解在定價結果上很接近，可以通過調節蒙特卡洛模擬次數和時間步長達到更精確結果。通過以上內容可以看出，障礙期權的價格不僅與障礙值有關，也與波動率水平密切相關，當障礙值固定時，波動率水平越大，標的資產越有可能敲出或敲入障礙值。例如，向上敲出失效看漲期權（UOC）和向下敲出失效看跌期權（DOP）隨著波動率值越大，其期權價格越便宜。通過上述算法模擬可以得到歐式看漲期權價格等于向上敲出失效看漲期權和向上敲入生效看漲期權價格之和，也等于向下敲出失效看漲期權和向下敲入生效看漲期權價格之和，同樣，歐式看跌期權價格等于向上敲出失效看跌期權和向上敲入生效看跌期權價格之和，也等于向下敲出失效看跌期權和向下敲入生效看跌期權價格之和。由于篇幅有限，這里只列出σ取值不同時，向上敲出敲入看漲看跌障礙期權定價算法結果對比，向下敲出敲入看漲看跌障礙期權定價算法結果對比略，可聯系作者獲得。

四、結論

隨著新冠疫情大流行的結束和經濟開始復蘇，負油價更多地作為極端事件，已經被量化分析師從估值模型中剔除這些異常值。但是在這個全球化日益發展的時代，宏觀環境瞬息萬變，另一場油價動蕩完全可能再一次沖擊金融市場的交易邏輯，使模型的轉換和更改變得日益頻繁，如何確保轉換模型有效且平穩對金融市場至關重要。

本文在負標的資產價格的啟發下，研究基于O-U特征的Bachelier模型的期權定價有效性，通過結合蒙特卡洛數值模擬方法拓展其在美式期權和障礙期權上的應用。本文致力于將Bachelier模型期權定價納入金融衍生品定價中，為期權定價做出指導決策，也為市場投資者調整交易策略和投資組合提供理論指導和審慎風險管理。

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Option?Pricing?of?Bachelier?Model?Based?on?O-U?Characteristics

QIAN?Weijia1?CHEN?Haifeng1?CHEN?Angang1?LV?Zhaojin1?XI?Lei2

（1GuotaiJunan?Securities?Co，Ltd，Shanghai?200042，China；2College

of?Management，Anhui?Science?and?Technology?University，Chuzhou?233100，China）

Abstract：With?the?emergence?of?“negative?oil?prices”，the?negative?price?of?underlying?assets?for?options?and?other?derivatives?means?the?failure?of?the?classic?Black-Scholes?modelThe?original?Bachelier?model?is?modified?in?this?paper?to?preserve?the?feature?that?the?underlying?asset?price?can?be?negative?and?make?it?have?the?Ornstein-Uhlenbeck?stochastic?process?featureBased?on?the?modified?Bachelier?model?combined?with?Monte?Carlo?numerical?algorithm?to?price?European?option，American?option?and?Barrier?option，further?expand?its?application?range?of?option?pricingThrough?numerical?simulation，the?modified?Bachelier?model?shows?high?computational?accuracy?in?option?pricingThe?option?pricing?of?the?Bachelier?model?based?on?O-U?characteristics?can?be?used?as?an?alternative?to?the?Black-Scholes?model?and?guide?the?pricing?decisions?of?options?and?other?derivatives

Key?words：Black-Scholes?Model；Bachelier?Model；Option?Pricing；Barrier?Option；Negative?Underlying?Assets