在過程中形成數學眼光，在感悟中發展數學思維

俞韻宜 楊春琴 楊晨

【教學內容】三年級數學“等值分數”。

【教學目標】

1.經歷認識和理解等值分數的過程，體會分數單位的大小和多少之間的補償關系，為進一步學習分數的基本性質積累感性經驗。

2.在活動與對話中，體會通過“每份均分”和“組塊合并”產生等值分數的過程，提高抽象、歸納、概括的能力，發展數感，形成數學眼光。

3.體會等值分數的對稱性和傳遞性，培養推理意識，感悟“等價類”思想，體會極限思想，發展數學思維。

4.在嘗試應用等值分數的過程中，豐富對其本質的理解，積累數學活動經驗。

【教學重難點】理解等值分數的本質。

【教學過程】

一、探索發現，認識等值分數

1.情境引入，感知分數單位大小。

提問：第一次分餅，哪只熊分的多？（如圖1所示）為什么大熊分的多呢？

小結：同樣是一份，[12]表示的這一份和[14]表示的這一份不相等。[12]比[14]大。

2.初步發現等值現象。

課件動態出示圖2。

提問：第二次分餅，現在哪只熊分的多？

指出：分法不同，得到的分數也不一樣，結果兩只熊分到的一樣多。

提問：再看一遍分餅的過程，說一說小熊的餅是怎么分的。

小結：熊媽媽又切了一刀，把每個[12]塊再平均分成2份，也就是把整塊餅平均分成4份，原來取的1份變成2份，所以[12]=[24]。

3.嘗試研究[12]=[（ ）6]。

課件動態出示圖3。

提問：熊妹妹想和哥哥吃同樣多的餅，吃1份行嗎，該吃其中的幾份？

小結：把每個[12]再平均分成3份，也就是把整塊餅平均分成6份，原來取的1份變成3份。所以[12]=[36]。

4.自主發現與[12]等值的分數[48]。

談話：除了剛才的分法，還能怎么分？

小結（配合教具演示）：把每個[12]再平均分成4份，整塊餅就平均分成8份，原來取的1份變成4份，[48]和[12]也相等。

5.發展數感，體會分子與分母之間的補償關系。

課件展示圖4，揭題：通過分餅，我們發現[12]、[24]、[36]、[48]這些分數大小都相等，我們把這些分數叫作等值分數。今天這節課我們研究的就是等值分數。（板書課題）

提問：先讀一讀，再觀察這些和[12]大小相等的分數，它們有什么不同？

小結：熊媽媽對每個[12]再平均分，分法不同，導致分母不同，分子也不同。平均分的份數越多，表示[12]大小的份數就越多。

設計意圖：表現形式不同的分數，值卻相等，三年級學生理解起來存在障礙。因此筆者設計三次分餅情境，激活學生對分數單位大小的感知，打破固化思維，初步認識等值分數。探究和[12]等值的分數時，用表達模型“把每個[12]再平均分成（ ）份，整個餅就被分成（ ）份，原來取的1份變成（ ）份”，從而化解認知沖突。觀察比較“半塊餅”以及分子和分母的協同變化，幫助學生感悟分數單位的大小和多少之間存在補償關系，即平均分的份數越多（分數單位越小），分數單位的個數也要越多（分子越大），才能使得分數的大小相同。

二、逐層抽象，進行彈性轉換

1.[14]和[（ ）8]。

談話：老師一家四口要平均分一塊蛋糕。我可以吃到幾分之幾塊？

提問：為了吃起來更方便，把每個[14]塊再平均分成2份。現在我該吃8份中的幾份呢？（2份）

課件動態演示圖5。

追問：吃8份中的1份，可以嗎？（不能）那多吃一點，8份中的3份呢？（多了）

提問：你們的意思是在這張圖中只有[28]和[14]相等，為什么[14]和[28]大小相等呢？

小結：把每個[14]塊再平均分成2份，這兒每一份都發生了相同的變化，整個蛋糕被平均分成8份，不多不少，只有[28]和[14]相等。

2.[34]=[（ ）（ ）]，通過“每份均分”發現等值分數。

課件出示圖6，提問：我們也能用一個正方形來表示這一塊蛋糕，現在涂色部分可以用哪個分數表示？（[34]）你能找到和[34]等值的分數嗎？老師給你一張圖（出示圖7）。先說清楚圖形發生了什么變化，再找和[34]等值的分數。

小結：把每個[14]再平均分成3份，每一份都變成了3小份，整體的4份變成了12小份，[14]和[312]相等，所以[34]和[912]是相等的。用每份均分的方法，就能發現和一個分數等值的其他分數。（板書：每份均分）

設計意圖：乘法思維是學生掌握等值分數的重要因素，它是指表征某一情境的數量之間存在著確定的倍數關系。兩個量同向變化，它們之間的關系保持不變。從[14]到[34]的教學，是從實物到圖形的逐步抽象，需結合具體語境解釋、想象分數單位的變化，對補償關系進行理解和深化。尋找等值分數，只要對應圖形中的每一份發生相同的變化——每份均分，總份數也發生相應的變化，所得到的分數的大小就是相等的。

3.開放探究，動手操作找到等值分數。

提問：涂色部分（如圖8所示）可以用哪個分數來表示？（[23]）

拿一段細條橫放在模型中（如圖9所示），追問：我又對每一份進行均分，看[23]等于幾分之幾？（[46]）

提問：你還能像老師這樣找一個和[23]大小相等的分數嗎？你們身邊有表示[23]的學具，也有表示平均分的細條，試著對每份均分，找到[23]的等值分數。

學生先動手操作，再交流匯報。

預設：[23]=[69]、[23]=[812]，展示圖略。

指出：把每個[13]繼續平均分成2份、3份、4份，用每份均分的方法，就找到和[23]等值的分數。

4.組塊合并，感悟等值分數的對稱性。

提問：老師是這么讀的（指圖9），[46]=[23]，行嗎？

交流：我們讓時光倒流。

教師將板貼中用來均分的細條一段段拿下，并借助動畫呈現2小份合并。

小結：把每2份合并，就讓[46]回到了[23]，所以[46]=[23]。像這樣把[69]、[812]的組塊合并，也能一下子發現，它們和[23]大小相等。除了對每份均分，還能用組塊合并的方法，找到等值分數。（板書：組塊合并）

設計意圖：“讀[46]=[23]，行嗎”蘊含“因為a=b，所以b=a”對稱性的思維模型。借助操作從[46]回到[23]，也是組塊合并的過程。通過每份均分、組塊合并兩種方式來構建等值分數，推動學生在不同的表征中實現知識的彈性轉換。

三、邏輯推理，促進意義建構

1.出示空白彩帶。（圖略）

談話：王叔叔想用[35]條彩帶裝飾禮品，誰能來比劃一下，[35]條彩帶大概有多長？

2.鞏固運用“組塊合并”的方法。

出示：[610]條。（圖略）

提問：王叔叔手頭現有這條彩帶，它的長度符合要求嗎？

談話：你可以在學習單上分一分、畫一畫，再和同桌說一說。

出示圖10。

結合動畫演示，指出：把10份中的每2份合并。

小結：通過一番操作，你們對王叔叔的彩帶進行組塊合并，發現[610]和[35]大小相等，王叔叔能用這條彩帶完成任務。

3.感悟等值關系傳遞性。

提問：你還能找到其他和[35]相等的分數嗎？

預設：[915]、[1220]等。

提問：按照你們的分法，[610]=[1220]，那[1220]和[35]相等嗎？

學生交流。

指出：[35]=[610]，[610]=[1220]，這么傳遞過去，[1220]和[35]是相等的。

設計意圖：本環節引導學生結合圖示想象，借助“組塊合并”感悟傳遞性，為理解代數基本事實做感性鋪墊，發展推理意識。

4.體會極限思想。

提問：你還能再繼續找嗎？按照這樣的方法，和[35]大小相等的分數，說得完嗎？

小結：和[35]等值的分數有無數個。你們剛才找到的這些分數長得都不一樣，但它們的值都和[35]相等。（課件將[35]、[610]、[915]等圈出來形成“等值集”，如圖11）

設計意圖：三年級學生并不能完整理解“等價類”和“集合”概念。借助直觀彩條，將分數單位繼續均分，就能夠得到無數個與[35]等值的分數，讓學生體會極限思想。將這些分數圈出來形成“等值集”，啟發學生感悟該等值集中所有的分數代表同樣的值，一個分數可以有無限多種表示方法。

四、拓展應用，形成閉合回路

談話：課要結束了，熊熊一家還要分餅。小熊想比大熊多吃一點點。

提問：能怎樣分，幫助小熊多吃一點點呢？

學生可能想到[34]、[46]、[916]等。

追問：你怎么看出[34]比[12]多一點點？

指出：運用了[12]的等值分數[24]，就發現了[34]比[12]大一些。

設計意圖：課的最后又回到[12]，引導學生自主尋找與[12]等值的分數。小熊要多吃一點，需要找到比[12]大的分數。不唯一的答案推動學生進行解釋反思、應用深化，使他們的思維形成從具體到抽象再到具體的閉合回路，為學生數學核心素養的發展奠基。

（作者單位：江蘇省無錫師范附屬太湖新城小學 責任編輯：王彬）