以學定教,讓數學學習真正發生

梅升

[摘? 要] 建構主義學習理論提出：學習者在原有認知經驗的基礎上生發出新的知識，是學習真正發生的過程. 因此教師設計教學時，需充分了解學生的原有認知結構，以學定教，讓知識自然生成. 文章以“向量的加法”的教學設計與評析為例，提出：尊重個體差異是“以學定教”的前提;教師精心預設是“以學定教”的關鍵;發展核心素養是“以學定教”的目標.

[關鍵詞] 以學定教;個體差異;精心預設

“以學定教”是指根據學情確定教學方案. 學情包括學生的知識與技能基礎、現有的認知水平、對新知的情緒等;定教是指在合適的起點選擇最優的教學手段，促進學生的發展. 在教學中，囿于課堂時間與空間的限制，“生成知識”需耗費較多的時間，有些教師就選擇奉送概念、直給結論等方式縮短教學時間. 這種忽視知識形成過程的教學方法，嚴重阻礙了學生思維的發展.

俗話說“磨刀不誤砍柴工”，想讓學習真正發生，就要在“以學定教”的基礎上實現知識的“再創造”. 本文以“向量的加法”的教學設計與評析為例，提出“以學定教”的前提、關鍵和目標，與君共勉！

教學設計與評析

第一個環節：情境導入

情境1 如圖1所示，機場A沒有直達機場B的航班，若想到機場B需從機場A出發經機場C轉機，該如何設計飛行航線呢？

情境2 如圖2所示，已知長江江水向東流動的速度為12.5 km/h，若渡船的船速為25 km/h，該渡船想要垂直地從長江南渡口開到長江北渡口，該怎么確定其航向？

問題1 在兩幅圖（圖1、圖2）中分別畫出兩次位移的合成與速度的合成，如果將它們視為向量，分析三者間具有怎樣的關系.

問題2 如何用數學符號表達它們的關系？

問題3 填空：①已知非零向量a，b，在平面內____，作____，____，那么向量____叫做a與b的和，寫作____. 求兩個向量和的運算，叫做____;②a+0=（? ）;③a+（-a）=（? ）.

問題4 寫出向量的加法法則.

問題5 說說向量加法中的平行四邊形法則與三角形法則的區別與聯系.

評析 兩個情境都源于學生熟悉的現實生活，且與物理學科中的“矢量的合成”有著異曲同工之妙，不僅成功吸引住了學生的注意力，讓學生對向量的加法產生了探索欲，還從一定程度上實現了學科間的關聯，讓學生感知物理與數學學科之間的聯系，為后續深入探討“如何加向量”奠定了基礎.

縱觀上述幾個問題的設計，前兩個問題（問題1和問題2）主要引發學生在觀察中對向量的加法產生直觀感知與體驗，并嘗試將這種體驗用數學語言表達出來;問題3、問題4屬于對向量加法的概念與方法的歸納過程，這也是對數學知識進行規范表達與提煉的過程，意在引導學生學會用規范的數學語言對向量的加法加以概括;問題5意在引導學生對向量加法中平行四邊形法則與三角形法則進行類比，發現這兩種向量加法法則在本質上屬于“異途同歸”，而且平行四邊形法則還可以轉化成三角形法則，從而揭示向量加法法則的本質規律，學生的思維也在類比思想的應用中得以有效發展.

第二個環節：嘗試體驗

向量a與b如圖3所示，作出向量a+b.

評析 充分了解學情是“以學定教”的前提. 在探究前，學生的認知水平究竟處于什么樣的層次？是否具備一定的潛能，能獨立思考并解決一些問題？這些都是客觀判斷學情的基本條件，也是進行教學安排的依據. 在情境導入時，雖讓學生對向量加法法則進行了提煉與總結，但學生理解與掌握的程度究竟如何？是表淺記憶，還是真正理解了向量加法法則呢？這些都需要通過檢驗才知曉.

嘗試體驗環節能讓教師洞察出學生是否真正了解了向量加法中“首尾相接”的內涵，當遇到沒有平行四邊形與三角形作為背景依托時，兩個向量處于共線狀態該如何作出“和向量”？若學生的思維出現了卡殼狀態，則教師可通過適當點撥為學生指點迷津. 如引導學生將目光回歸到向量加法的概念中來，根據首尾相連與起點指向終點的特征來分析并解決問題.

因此，這是一個引發學生產生主動思考的環節. 看似簡單的一個問題，卻蘊含著大能量，學生通過主動思考、探索與嘗試，將原本浮于表面的認識逐漸內化到認知體系中，形成深度思考. 隨著問題的解決，不少學生從中探尋出了重要的通性通法，并在知識的本質中摸索到了重要規律.

當然，若學生在此環節中出現了思維障礙與錯誤解法，教師可通過適當點撥，幫助學生調整解題思路，并在思維沖突中進一步深化對向量加法法則的認識.

第三個環節：探究釋疑

探究1 如圖4所示，請用作圖法來驗證向量a，b，c的加法交換律與結合律.

探究2 （1）如圖5①所示，求+++;（2）如圖5②所示，求同一平面內n（n>3）個向量的和.

探究3 如圖5③所示，若將同一平面內的n個向量首尾相連，形成封閉的折線，求這n個向量的和.

評析 新課標明確提出：有效的數學學習活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學生學習數學的重要方式. 數學學習需要主動性，而探究過程則是體現學生為課堂的主人，發揮其學習主動性的重要契機.

探索作為教學活動的重要環節，是培養學生實踐能力與創新意識的主要途徑，也是促使學生形成深度學習的載體，對提升學生的學習能力與思維能力具有重要影響. 觀察上述三個探究問題，其彼此獨立，又有一定的聯系. 它們不僅能深化學生對向量加法運算律的認識，還能促進學生數形結合思想、類比思想等的形成.

實踐證明，高效的探究活動須全體學生積極主動地參與，那么教師應為學生提供充足的時間與良好的探究平臺，鼓勵學生通過小組合作的方式不斷深化對知識的理解，并在積極的討論與交流中進行總結、展示. 學生因親歷互動、交流、質疑與思辨的過程，不斷積累探究經驗與研究方法，故能夠更加深刻地認識向量加法法則.

第四個環節：實際應用

題1 如圖6所示，已知點O是正六邊形的中心點，請在圖中作出以下幾個向量：①+;②+;③+.

題2 解決情境2中的問題.

評析 任何知識的學習都是為實際應用服務的，上述兩個問題是檢驗以上教學成效的重要指標，尤其是題2要求學生解決情境2中的問題，起到了首尾呼應的效果. 學生在新知建構的基礎上再回過頭來重新思考原來的問題，能夠產生不一樣的學習體驗.

上述兩個問題都凸出了向量加法在復雜圖形中的應用，著重考查學生對新知的加工處理能力以及思維能力. 學生的數學能力的強弱，體現在解題思路上. 因此，數學教學離不開解題訓練，問題的設計與選擇至關重要，過于簡單的問題達不到產疑、啟思的效果，而過于復雜的問題又讓學生寸步難行.

在解題教學中，若教師自顧自地講解，將浪費學生思考的時間. 因為教師的思維起點與學生的認知水平不在同一個層次，教師的思路無法替代學生的思路. 要使解題教學發揮其價值，最好的方法是在尊重學生的基礎上，鼓勵學生獨立思考，教師“放權”給學生，讓學生勇敢地表達、展示，只有會“傾聽”的教師才是好教師. 學生展示思維的過程，是發展個性的過程，是樹立創新意識和提高核心素養的過程.

教學思考

1. 尊重個體差異是“以學定教”的前提

哈佛大學的加德納教授認為：每個人的智力都是多元的，每個人都擁有不同程度的九種智力，這些智力組合在一起就形成了個體差異. 對于學生而言，個體差異是客觀存在且不可否認的事實，不同的學生存在不同的智力強項、心理傾向與學習風格. 教師應充分尊重學生客觀存在的個體差異，盡可能地發展學生的智力強項，讓每一個學生都能在教學中獲得不同程度的發展，讓課堂教學效益最大化.

面對不同認知水平的學生，教師應從學生思維能力的差異著手，由淺入深地設計出層次分明的問題，讓問題成為學生思維成長的“腳手架”.

對于基礎較薄弱的學生，教師應特別關注他們對基礎知識的掌握，不論是課堂教學的哪個環節，都要做到不拋棄、不放棄，用平等的眼光去看待他們，用更多的耐心去培養他們，盡可能讓他們在課堂中受到更多的關心，使其收獲學習的成就感，建立學習信心;對于學優生，教師需要關注的是這類學生所提問題的深度與新穎程度，觀察他們的解題技巧與創新意識的發展，必要時可適當地“加餐”，以拔高他們的思維.

對于基礎較差的學生而言，雖然有情境探究作為基礎，但在實際應用環節中仍然存在不能充分理解題意、害怕計算等問題. 此時，教師可有意識地放慢教學速度，認真傾聽這部分學生的解題思路，必要時通過耐心引導與鼓勵，讓他們真正體驗向量加法法則的內涵.

承認并尊重學生的個體差異，利用各種教學手段楊其所長，是實施“以學定教”的前提.

2. 教師精心預設是“以學定教”的關鍵

凡事預則立，不預則廢. 新課標明確學生在課堂中的主體地位，但教師的引導作用不容小覷. 雖說如今的課堂強調學生主體參與，注重師生、生生的合作交流與動態生成，但這一切都是在教師精心預設的基礎上有計劃、有目標、有組織地實施. 缺乏精心預設的課堂，只能是一盤散沙，最終落得個假熱鬧.

想讓課堂教學達成預期目標與成效，教師不僅要在課前充分了解學情，還要在課堂中掌握好學生的思維動向，適當時給予點撥與引導，讓學生的思維圍繞核心問題展開. 例如認知水平較弱的學生解決探究3的問題時，教師要關注他們的思維動向，必要時進行點撥，讓他們結合圖形與向量加法法則分析問題.

如圖7所示，教師精心預設一般分為原行為階段、新設計階段與新行為階段. 本節課筆者以五個逐層遞進的問題有效激發學生思考，學生的行為表現也基本在筆者的預設范圍內，由此產生的教學成效較明顯.

3. 發展核心素養是“以學定教”的目標

如今的學科教學都以發展學生的學科核心素養為目標，數學教學亦不例外. 數學核心素養涵蓋六大要素，一堂好課，必然是圍繞學生的六大素養進行的. 要讓核心素養在課堂中扎根，就要將培養學生核心素養的理念根植于每一個教育工作者的腦海中.

盡管隨著時代的進步與發展，學生獲取知識的途徑越來越豐富，但課堂依然是進行教育教學的主陣地，是學生汲取知識、發展核心素養的重要場所. “以學定教”能有效啟發學生的思維，在“以生為本”的基礎上，提升每一個學生的思維品質，讓每一個學生獲得“三會”能力.

總之，發展學生的數學核心素養是時代賦予教師的任務，“以學定教”是實現這一目標的根本. 鑒于此，每一個教師都應樹立“以生為本”“立德樹人”的教育理念，不忘數學教學的初衷，做好精心預設，有效培養學生的創新意識，讓數學學習真實發生.