立足微研究,提高復習效率

王勇

[摘? 要] 微研究是提高數學復習效率，提升學生的數學核心素養的重要途徑. “微”并非力量薄弱之意，而是指找準某個微小切入點，引導學生深度參與的研究過程. 文章以“多變量”問題的復習教學為例，具體從微專題的選擇、微研究行動的演繹與微專題復習的思考三方面展開闡述.

[關鍵詞] 微研究;復習教學;“多變量”問題

傳統的復習教學常以知識點作為專題設計主線，將能力點散布在各個問題中，通過一定的反復訓練，以培養學生的解題能力. 雖然這種教學方式也能達到復習的任務目標，但對引導學生深刻理解知識的本質與內涵、提升學生的思維能力、實現新舊知識概念內化等效果較差，學生在這種復習教學方式下獲得的思維容量明顯不足. 因此，傳統的復習教學與核心素養背景下的新高考所倡導的“知識選擇考，能力必須考”的理念并不契合.

為此，筆者對復習教學進行了大量的實踐與研究，其中微研究復習方式取得了不錯的成效. 本文以“多變量”問題的復習教學為例，具體從以下幾方面談談如何立足微研究，提高復習效率.

微專題的選擇

“多變量”問題常因多元和換元靈活，對學生的思維要求較高等特點，導致不少學生發自內心地懼怕此類問題. 究竟用怎樣的教學手段，才能打破學生沉寂的思維呢？經過大量的實踐與分析，筆者研究發現傳統的“以知識點為主”的專題復習方式，應用在“多變量”問題上復習的效果較差，學生難以從根本上掌握知識的本質，更談不上靈活應用.

想要改變這種現狀，最好的辦法就是將傳統的復習方式改變成“以能力點為主”的專題復習方式，通過微研究行動的開展，撬開禁錮學生思維的框架，從多維度發散學生的思維，發展學生思維的靈活性、深刻性等品質.

教師可緊扣某個需要突破的能力點問題，以微專題的形式進行復習設計，把握精準知識與能力的訓練，以培養學生數學思維的創造性、發散性以及靈活性等，讓學生在微專題復習中獲得良好的研究習慣.

選擇“多變量”問題作為微研究的范例，目的在于將微研究的價值定位在“一少一小一大”上. “少”主要是指復習目標要少、精準、明確，主攻一個目標;“小”是指選擇的課題必須小，通過有效追問的方式挖掘其本質;“大”是指須擴大課堂的視野與思維等. 課堂立足微研究，通過思維寬度、速度與方向進行有效訓練，可促進學生全面發展.

微研究行動的演繹

“多變量”微專題整合復習設計主要體現在“溫故知新”“釋疑拓展”“反饋提升”三個層次上，每一個層次都需要設置精確的功能定位與能級目標，且所有設計都需要緊緊圍繞“多變量”問題的解題策略進行. 教師可通過一個個彼此相關聯的問題的設計，讓學生收獲滿滿.

1. 溫故知新

根據教學目標與學生的知識與能力基礎，有意識地設計符合學情的問題，讓學生在先行思考中嘗試解題，以獲得一定的成就感，同時讓學生在解題中提出一些疑問. 學生所提出的疑問是教學導航，對復習來說具有定向意義. 在課前，筆者給了學生三個需要先行解決的問題，要求學生獨立分析，并從不同角度說說解題思路.

問題1 若正實數m，n滿足mn+2m+n=4，求m+n的最小值.

問題2 設對于任意的m∈[1，2]，n∈[2，3]，不等式mn≤am2+n2恒成立，求實數a的取值范圍.

問題3 若實數m，n滿足-n2=1，求3m2-2mn的最小值.

設計意圖 三個“雙變量”問題的設置，意在讓學生初步回顧并理解“多變量”問題，提取此類問題常用解法的信息，為深入復習奠定基礎. 課前提出問題，意在讓學生主動提供更多的解題方法，并從眾多方法中提取一些優化方法.

各小組成員交流自己的解題方法，組內總結解題策略;小組展示解題策略后，由其他小組進行補充，最后由教師進行總結性點評，用時約一刻鐘.

學生提出的優化的解題方法主要有以下幾種：

第一種，消元減元法. 如問題1，用n來表示m，構造出基本不等式后便可輕松求解.

第二種，換元減元法. 如問題2，通過分離參數，形成a≥-，設t=，從而構造出學生所熟悉的一元二次函數求最值的問題. 這里值得注意的是：求t的取值范圍，涉及數形結合思想與線性規劃法.

第三種，基本不等式法. 如問題1，將等式mn+2m+n=4轉化為（m+1）（2+n）=6，再從基本不等式的角度求最值. 再如問題3，將換元與基本不等式結合在一起進行處理：根據題意可得3m2-2mn=. 當n=0時，則3m2-2mn=12. 當n≠0時，則3m2-2mn=. 令t=，則3m2-2mn==8+12. 令s=6-t，則3m2-2mn=12+≥+12=4+6.

第四種，方程思想. 如問題1，假設m+n=t，則n=t-m，將此式代入mn+2m+n=4后構造新的方程，這里要注意正根的條件，通過根的分布情況求解. 再如問題3，令z=3m2-2mn，則n=，將此式代入-n2=1中，可得8m4-2（3z-2）m2+z2=0，從關于m2的方程有正數解出發，同樣能處理該問題.

最終，師生形成共識：解決此類問題的方法頗多，思維含量較高. 減元是解決“多變量”問題的核心. 在解題時，應想方設法將“多變量”問題轉化為一元問題進行處理.

2. 釋疑拓展

此環節在以上研究的基礎上，進一步深化問題的難度，以微研究的方式激活學生的思維，最后由教師點評問題的共性部分，培養學生思維的嚴謹性，使學生掌握本節課的知識與技能，促進學生數學能力的發展.

問題4 若x，y，z∈R，且x，y，z的和為1，x，y，z的平方和為3，則z的取值范圍是多少？

變式題：若x，y，z∈R，且x，y，z的和為1，x，y，z的平方和為3，則xyz的最大值是多少？

問題5 設函數f（x）=ex-ax，已知a≠0，在函數f（x）的圖象上取點A（x，f（x）），B（x，f（x）），使得x

設計意圖 基于以上研究，將“多變量”問題延伸到“三變量”與“隱性多變量”問題，意在引導學生進一步理解此類問題常規的處理策略與方法，從一定意義上打破學生的思維定式，鼓勵學生求新求異，從多維度、多方向、多層次上提升思維的深度.

在此研究環節中，讓學生以小組合作交流的方式進行討論、分析，各小組總結匯報研究成果，教師針對學生呈現的研究成果進行總結、點評，用時約25分鐘.

師：請各組說說問題4的解決方法.

組1：我們發現問題4提出的兩個條件都可以列為等式，因此我們首先想到了方程思想，即將y=1-x-z代入等式x2+y2+z2=3中，獲得方程x2+（z-1）x+z2-z-1=0，利用Δ≥0即可得到問題的答案. 這個解題過程雖然稍顯繁雜，但不需要從根的分布情況進行討論，我們組成員都覺得挺實用的.

組2：你們這種解題方法缺乏含金量，來看看我們組的！

師：哦？這么自信？（學生笑）

組2：遇到求范圍的問題，首先想到的是建立不等式. 因此，我們組從基本不等式的角度進行分析. 根據題意可知x2+y2+z2=3，由此可得不等式x2+y2=3-z2≥2xy;再根據x+y+z=1，可知x+y=1-z. 所以x2+2xy+y2=（1-z）2≤2（3-z2），解出不等式即可得到問題的答案.

師：確實不錯，這是一種可以應用的解題方法. 其實組1和組2使用的方法的本質是一樣的，都是將多元轉化為一元后解題. 還有其他解題方法嗎？

組3：其實從數形結合的角度也能解決本題，而且比較簡單.

師：哦？怎么想到數形結合這個方法的？具體怎么處理呢？我們洗耳恭聽. （學生都流露出了期待的目光）

組3：從二元一次方程和二元二次方程的幾何特征出發，將x2+y2=3-z2視為一個圓，同時將x+y=1-z視為一條直線，借助直線和圓的位置關系，非常容易就能得到本題的答案.

（學生贊同，并鼓掌）

師：非常好！組3學生從二元等式的幾何特征出發，為我們開辟了一條新的解題路徑.這種解題策略利用整體思想和數形結合思想能快速解決問題，簡便又高效，該解題策略值得大家細細品味并掌握. 既然大家的思維如此活躍，現在請大家繼續分組討論變式題并匯報成果.

生1：以上環節我們已經獲得了z的取值范圍，這里只要知道關于z的函數式即可解題.

師：非常好！一語中的，繼續往下說.

生2：用z表示xyz？（懷疑的語氣）

師：具體該怎么做呢？

生1：用z表示xyz（肯定的語氣）. 由兩個等式可得xyz=z=z3-z2-z，然后用導數求最值.

師：不錯！這種解法其實也是將多元問題轉化為一元問題，再利用函數的性質求解. 接下來，我們一起來探索問題5，大家依然先小組合作交流，再匯報成果.

師：k==-a，令φ（x）=f′（x）-k=ex-，接下來該怎么轉化呢？

生3：接下來考慮將問題轉化成證明存在x∈（x，x）使φ（x）=0成立，也就是證明φ（x）=0在區間（x，x）內有解.

師：若要證明φ（x）=0在區間（x，x）內有解，就要觀察φ（x）與φ（x）的值，須從φ（x）=-[ex2-x1-（x-x）-1]與φ（x）=-[ex1-x2-（x-x）-1]進行考慮，接下來該怎么處理呢？

生4：接下來就要分析φ（x）與φ（x）的值的大小.

（學生討論）

師：處理“多變量”問題，常用減元法，減元的目的在于建立一元方程或函數，以簡化“多變量”問題的難度.

生5（恍然大悟）：我們可令t=x-x或t=x-x，構造函數F（t）=et-t-1，再用導數判斷函數值的大小.

……

師生共同總結：遇到同一函數中存在兩個獨立變量的問題時，常可通過換元、轉化、構造的策略解題. 如問題5，就是先將其條件轉化成含有x，x兩個獨立變量的等式;然后令t=x-x或t=x-x或t=等進行換元;再構造新函數，借助函數的性質解決問題. 值得注意的是：這一類問題在考試中不一定會單獨出現，常散布在一些綜合題中.

3. 反饋提升

反饋提升是師生共同梳理知識、建構框架的過程. 在此環節中，常在教師的安排下完成課堂檢測與評價工作，幫助學生建構完整的知識結構，促進學生的知識技能以及思維能力提升. 這也是學生建模的重要階段，具有定法的重要意義. 在本節課中，筆者提供了兩道練習題，以訓練學生的能力，用時約五分鐘.

練習題1：若x，y都是正實數，已知+=1，求xy的最小值.

練習題2：已知對于任意實數x>1，y>，不等式P≤+是恒成立的，求實數P的最大值.

拓展題：若xy-z=0，已知0<<，求的最大值.

設計意圖 同類型問題不僅用來鞏固學生對“多變量”問題的理解，更重要的是幫助學生建構模型，提高學生的思辨能力. 上述兩道練習題和一道拓展題，具有由淺入深的梯度性，能幫助學生固化概念，內化學生的解題能力，使學生的思維能力得以螺旋式上升，尤其是拓展題，為學有余力的學生提供了深層次思考的方向.

微專題復習的思考

1. 提升思維品質

核心素養背景下的微研究復習教學關鍵在于通過小型的專題課堂，培養學生敢于質疑、勇于思考、嚴謹周密的學習態度與科學精神. 數學是思維的體操，數學思維是凸顯數學能力的核心，若缺乏高水平的思維投入，則永遠無法了解知識的本質.

微研究可以讓學生將零碎、松散或缺乏邏輯性的知識與思維聚集到一起，豐滿學生的認知體系，讓學生體會在知識間的縱橫聯系中建模. 微研究復習教學與常規復習教學的區別之處在于微研究更體驗“觀察、抽象、探索、猜想與論證”的過程，學生的思維在觀察與分析中變得更加充實、深刻、靈活.

2. 提升核心素養

從不同角度、不同要求與不同深度去思考數學問題，不僅能提升學生的思維品質，還能有效培養學生的數學推理能力、猜想能力、運算能力與歸納總結能力等. 這些能力都是組成數學核心素養的要素. 因此，微研究復習對提升學生的數學核心素養具有重要價值.

課程設計是提升核心素養的重要載體，是數學文化背景下思維活動的起點. 受教學任務與時間的局限，微研究復習無法追求研究方法的嚴密性，也不能達到學術研究的精湛與規范，只能在實施要求上下功夫，在教師的指導下進行局部研究，以聯系系統內的知識為目標.

3. 暴露知識本質

復習教學的實施建立在深度理解知識的基礎上，因此高水平的微研究離不開對知識的深刻理解.微研究的實施，關鍵在于開放式專題的設計，能讓學生充分感知知識本質. 尤其從不同角度對同一本質問題的設置，能讓學生感知數學學科獨有的魅力，使學生產生良好的情感態度與價值觀.

總之，核心素養背景下的微研究，需要教師帶領學生用數學的眼光與思維去觀察、分析與表達，突破狹隘思維的限制，拓展思維寬度與深度，從真正意義上提升學生的數學思維品質與核心素養.