立足基礎,關注思維,促進思考

蘇美玲

[摘? 要] 一節關于“立體幾何折疊問題”的高三二輪復習課，引發研究者探究學生的認知水平、思維狀況以及思考能力對數學教學的影響. 研究者以“含兩個絕對值的不等式解法”的教學為例，從了解學生實際認識水平、例題教學、教學反思、教學再設計等方面展開分析.

[關鍵詞] 基礎;思維;思考;教學

問題的提出

近期，筆者聽了一節關于“立體幾何折疊問題”的高三二輪復習課，對執教教師的提問方式與學生思考問題的切入點有所思考.

如圖1所示，已知四邊形ABCD為一個邊長為6的菱形，且∠BAD=60°，AC∩BD=O. 將四邊形ABCD沿著對角線AC折疊，可得三棱錐B-ACD. 已知點M為棱BC的中點，且DM=3.

（1）求證：OM與平面ABD為平行的關系;

（2）求證：平面ABC與平面MDO為垂直的關系;

（3）三棱錐M-ABD的體積是多少？

解題前，教師要求學生結合圖1，先完成以下課前測試內容：

（1）在菱形ABCD中，∠AOB，∠AOD的度數分別是多少？DB=______，AC=______，MO=______.

（2）在三棱錐B-ACD中，∠AOB，∠AOD，∠DOM的度數分別是多少？DO=______，MO=______.

（3）分別寫一寫線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理.

（4）分別寫一寫錐體體積、柱體體積的計算公式，并說一說求體積的經驗.

大約過了八分鐘，教師與學生核對課前測試內容的答案，而后要求學生自主解決例題. 巡視發現大部分學生能順利解決問題（1），但解決問題（2）時出現了卡頓現象. 于是教師提醒如下：我們要關注將菱形折疊成三棱錐后，哪些條件發生了改變，哪些條件沒有發生改變，本題中的棱形的折疊程度完全取決于DM的長度. 提醒完畢后，教師要求學生獨立思考并著手解題. 十分鐘過去后，有部分學生仍然找不到解題方法，教師迫于無奈，只能將解題過程從頭至尾講解一遍.

針對以上教學片段，筆者分析其存在以下幾個問題：

（1）課前測試應用不當.

雖然課前測試具有了解學情與復習舊知的作用，但本節課為二輪復習課，基礎知識已經在一輪復習中強化過，學生在基礎知識的掌握上基本沒有問題，因此課前測試無疑占用了課堂寶貴的時間. 同時，教師對課前測試的處理方式為直接核對答案，這種處理方式也無法了解到真實的學情.

（2）教學主題選擇不當.

課堂從始至終都是圍繞一道綜合程度較高的例題進行分析的，完全沒有凸顯出二輪復習應有的功能，整個過程都是在教師的提問下推進的，根本無法看出學生的真實狀況，更達不到觸類旁通的教學效果.

（3）預設沒有結合實際.

雖然教師在課前測試中設計了求∠DOM度數的問題，意在激活學生解決問題（2）的思維，而在實際解題中卻沒有達到預設效果. 此處，教師可讓一位學生描述一下自己的觀點，分享其經驗與困惑，讓學生通過交流，明白折疊的本質為：①折疊后依然在一個平面上的各元素間的位置與度量關系都不會發生改變;②折疊到什么樣的一個程度，都是由DM的長度決定的，因此可聯想到垂直關系，再通過勾股定理的逆定理解決問題.

綜上分析，這位教師并不了解學生的實際認知水平，所提出的問題也參差不齊，完全沒有顧及學生的思維發展規律，導致學生難以理解知識的本質. 該如何改變這個現狀呢？

章建躍教授提出的“三個理解”理念，其中一點就是要“理解學生”，要充分了解學生的認知與情感發展規律，用適合學生的教學方式因材施教，以提升學生的數學綜合素養[1]. 在踐行“三個理解”的過程中，筆者做了不少嘗試，現用一個案例進行說明.

案例分析

1. 了解學生的實際認知水平

本節課研究的主題為“含兩個絕對值的不等式解法”. 教學重點是解決“x-a+x-b≥c”型不等式問題.

為了了解學生的實際認知水平，筆者要求學生各自舉一個包含一個絕對值的不等式的例子，并說明解法. 預設學生提出以下五種解法：①直接用絕對值不等式的公式解題;②用絕對值的幾何意義解題;③通過平方變形解題;④用分類討論法解題;⑤用函數圖象解題.

學生舉出了大量例子，筆者選擇其中的“x-6>3”作為例題，要求每一個學生用自己的方法求解. 學生共出了四種解法，以下兩種解法具有典型意義：

【解法1】

如圖2所示，學生在草稿紙上先畫一條數軸，然后在相應的位置標上實數±3所對應的點，同時將“x-6”視為整體. 根據x-6>3可知，點“x-6”位于-3與3的兩側，從而可得“x-6”的取值范圍，經化簡，可得x的取值范圍.

學生的解題思維與筆者的預設有所出入. 觀察學生的思維過程，他們用“換元法”將不等式x-6>3轉化為y>3，根據y>a（a>0）的解法解題，最終獲得正確答案. 雖然答案是正確的，但這種解題思路對“含兩個絕對值的不等式”問題的研究并沒有什么幫助.

學生雖然知道a的幾何意義，但對a-b的幾何意義卻不了解（a-b的幾何意義是數軸上點a，b之間的距離），這將導致后續學習不穩定. 鑒于此，筆者根據學生的實際認知水平，及時調整教學方案，利用問題引導的方式，強化學生對a-b的幾何意義的認識.

師：誰來說說x的幾何意義？

生1：x是指點x與原點之間的距離.

師：很好，原點對應的數為0，如何用含x與0的式子來表達這個距離呢？

生2：可以用式子x-0來表達x.

師：也就是說x是x-0的簡化，對嗎？

（學生點頭）

師：請大家思考a-b具有怎樣的幾何意義，并動手解x-6>3這個不等式.

學生解題，筆者巡視，并點撥如下：遇到不等式問題時，常從相等著手去分析，如本題就可以先在數軸上找出方程x-6=3的根3與9，這兩個數將數軸分成了三部分，我們可以將x分別安排到這三部分中進行檢驗（如圖3所示）. 在筆者的點撥下，學生很快就得到了答案：x<3或x>9.

【解法2】

生3：因為x-6>3，所以-x+6>3或x-6>3，可得x<3或x>9. （投影）

這位學生的解題書寫具有一定的代表性，從中可以看出學生對分類討論的表達過程并不了解，這是亟須解決的實際問題. 因此，筆者要求該生將自己的想法全部表達出來.

生3：當x-6<0時，x-6=6-x>3;當x-6>0時，x-6=x-6>3. 然后化簡可得問題的答案.

師：大家說說這位同學的解題思路與書寫格式對嗎？請以小組合作學習的方式來探討這個問題. 若覺得生3的解題書寫完整正確，請說明每一步的理由;若認為生3的解題書寫不規范，請展示規范正確的書寫.

（學生合作交流）

各組學生經過激勵討論，逐漸認識到了分類討論的規范步驟.

投影生4的解題過程：因為x-6>3，所以x-6<-3或x-6>3，所以x<3或x>9.

師：比較生3與生4的解題書寫，大家能看出他們的區別嗎？

設計意圖 讓學生從答案一樣的兩種方法中感知解題思維的不同，顯然，生4的解題書寫應用到了公式“x>a（a>0）?x<-a或x>a”.

在學生順利完成以上問題探索的基礎上，筆者組織學生反思：此題究竟該如何分類？為什么要通過分類討論來解題？

以上教學過程從本質上來說，即帶領學生“再認識”絕對值不等式，其關鍵點在于引導學生自主獲得x的幾何意義，從而正確理解絕對值不等式的解集.

2. 例題教學

通過對學生認知水平的了解，在及時補救所發現的缺陷后，進入新的探索階段——解不等式x-1+x+2≥5.

師：解這個不等式時，還能用含一個絕對值的不等式的解法嗎？若可以，應注意哪些問題？

雖然筆者有所提醒，但學生并沒有按照預設解題，不少學生呈現出了以下解題方法：因為x-1+x+2≥5，所以x-1+x+2≥5. 所以2x+1≥5. 所以2x+1≤-5或2x+1≥5. 所以x≤-3或x≥2.

顯然，第一個“所以”就錯了. 為了讓學生發現自己的問題，并解決問題，筆者將這種解題方法投影出來，要求學生說說這樣解題的理由.

生5：解題時，我將“x-1”理解為x，將“x+2”理解為y，不等式x-1+x+2≥5就轉化為x+y≥5. 若將不等式左側的兩個絕對值轉化為一個絕對值，解題就沒有問題了. 因此，我就想利用絕對值三角不等式x+y≥x+y來轉化x+y≥5，可得x+y≥5，即x-1+x+2≥5.

筆者要求學生以分組合作的方式討論生5這部分學生的解題過程. 在討論中，一些學生發現問題的根源在于：5和x+y均小于x+y，因此5與x+y不可比大小.

師：那在什么情況下，這種推理方式可行呢？

生6：若絕對值不等式x+y≥x+y恒取等號，則這種推理方式具有可行性. 但對任意實數x，y，絕對值不等式x+y≥x+y不可能恒取等號，所以這種推理方式不可行.

至此，本題教學接近尾聲，隨著筆者循循善誘的引導與點撥，學生的思維有種豁然開朗之感，并在掌握解題技巧的基礎上逐漸獲得了一定的思考能力.

3. 教學反思

本節課看似完美，但細細琢磨，筆者發現教學過程中還是有些瑕疵. 鑒于此，筆者反思如下：

（1）在復習的基礎上，為什么學生仍然沒有想到用絕對值的幾何意義解題呢？

經訪談發現，由于學生剛剛接觸絕對值三角不等式，因此優先選擇剛學過的知識解題，這是典型的思維定式. 從這一點也能看出，學生對絕對值三角不等式的理解尚不深刻，對其應用把握還不準確. 這也是課堂開始階段，了解學生認知水平時應該解決的問題之一.

（2）為什么學生用不嚴謹的解法也能獲得正確答案？

學生的解題方法顯然存在一些問題，但為什么還能獲得正確答案呢？是偶然還是必然？如果能探索出在什么情況下用這種方法解題是正確的，在什么情況下用這種方法解題是不可行的，那就是一個新的突破. 教學本就是不斷發現、提出與解決問題的過程，若組織學生對這個問題繼續探討與辨析，則更利于激發學生的學習熱情，幫助學生積累學習經驗.

4. 教學再設計

（1）從“數”的角度進行分析.

①當（x-1）（x+2）≥0時，即當x≤-2或x≥1時，x-1+x+2=（x-1）+（x+2）=2x+1. 此時，x-1+x+2≥5，也就是2x+1≥5，則2x+1≤-5或2x+1≥5. 解得x≤-3或x≥2. 結合x≤-2或x≥1，可得x≤-3或x≥2.

②當（x-1）（x+2）<0時，即當-2

結合①②易得x-1+x+2≥5的解集為{x

x≤-3或x≥2}.

（2）從“形”的角度進行分析.

從絕對值不等式的幾何意義來看，不等式x-1+x+2≥5的解集，實際上就是數軸上到點1和-2的距離之和大于等于5的點的集合.

如圖4所示，通過數軸不難發現，在-32時，x-1+x+2>5;在x=2或-3時，x-1+x+2=5. 由此可得不等式x-1+x+2≥5的解集為{xx≤-3或x≥2}.

繼續觀察發現，區間[-2，1]的長度是3，區間[-3，2]的長度是5，兩個區間的中點均為-. 從對稱性來看，可知2x+1≥5與x-1+x+2≥5的解集相同，且只要c>（x-1）-（x+2）=3，不等式x-1+x+2≥c與（x-1）+（x+2）≥c的解集就是相同的.

如果將x-1+x+2≥5中的5換成小于3的數，如2，那么該如何解決不等式x-1+x+2≥2呢？對于任意x∈[-2，1]，均有x-1+x+2=3>2，當x>1或x<-2時，x-1+x+2>3，因此可以確定x-1+x+2≥2的解集是R.

將以上情況推廣到一般，可獲得不等式x-a+x-b≥c（c>0）的新解法：

①當（x-a）-（x-b）=a-b≥c（c>0）時，不等式x-a+x-b≥c（c>0）的解集是實數集.

②當（x-a）-（x-b）=a-b0）時，不等式x-a+x-b≥c（c>0）與（x-a）+（x-b）≥c（c>0）的解集相同，為x x≥或x≤.

同理可知，對于不等式x-a+x-b≤c（c>0）而言：

①當（x-a）-（x-b）=a-b>c（c>0）時，不等式x-a+x-b≤c（c>0）的解集是空集.

②當（x-a）-（x-b）=a-b≤c（c>0）時，不等式x-a+x-b≤c（c>0）與（x-a）+（x-b）≤c（c>0）的解集相同，為x≤x≤.

若在教學中與學生進行以上解法的探討，則學生的思維會經歷“被否定（解法不對，但結果對）—追根溯源—解釋”的過程，從而積累思考與思辨經驗，為后續解題奠定基礎.

總之，思考能力的形成與發展，離不開學習經驗的積累，而學習經驗的獲得可借鑒他人，更多的是自身的感悟[2]. 教師應利用各種教學手段充分了解學生的認知水平，順應學生的思維去教學，激發學生的思考能力，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1] 曹才翰，章建躍. 數學教育心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2006.

[2] 馬復. 設計合理的數學教學[M]. 北京：高等教育出版社，2003.