天氣衍生品氣溫預(yù)測(cè)模型探索研究

鄭濤濤,韓笑笑,陶祥興,季彥颋

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,浙江 杭州 310023)

近年來,災(zāi)害天氣的頻發(fā)對(duì)城市及企業(yè)的發(fā)展產(chǎn)生了很多不利影響。我國(guó)每年因氣象災(zāi)害損失慘重。2021年下半年,河南、山西等地日降雨量突破歷史極值,多地遭遇超強(qiáng)暴雨,給城市發(fā)展和人民生活帶來了極大危害。鄭州商品交易所與中國(guó)氣象局簽署戰(zhàn)略合作框架協(xié)議,雙方合作編制氣溫指數(shù)、研發(fā)天氣衍生品。2020年11月27日《應(yīng)對(duì)氣候變化報(bào)告2020:提升氣候行動(dòng)力》顯示:全球變暖的趨勢(shì)仍然存在,全球氣候變化可能會(huì)嚴(yán)重威脅自然生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展和人類健康,要正確認(rèn)識(shí)和防范氣候風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí),非災(zāi)難性天氣變化對(duì)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)造成影響也不容忽視,如能源公司因天氣變化而引起的需求變動(dòng)導(dǎo)致銷量下降等,而天氣衍生品的推出能夠很好地幫助這類公司規(guī)避風(fēng)險(xiǎn),穩(wěn)定收入。

在針對(duì)天氣衍生品的研究中,定價(jià)問題備受關(guān)注。市場(chǎng)上大多數(shù)投資者使用歷史燃燒分析(Historical burn analysis,HBA)的定價(jià)方法[1]。然而,Jewson等[2]研究已表明:HBA方法雖然簡(jiǎn)單易操作,但也易造成極大的定價(jià)錯(cuò)誤。如今,更多的是利用動(dòng)力學(xué)模型直接模擬未來溫度的變化。每日氣溫建模方法較全面地利用了日均氣溫(Daily average temperature,DAT)的歷史數(shù)據(jù),相較于HBA、精算定價(jià)法或指數(shù)建模法等其他方法,其定價(jià)更為準(zhǔn)確[2]。目前的研究中,主要有兩種方法來對(duì)DAT建模,一種是離散過程的建模,如時(shí)間序列模型AR[3]、ARMA[4]、ARIMA[5]、SARIMA[6]、AR-GARCH[7]以及基于溫度的傅里葉變換[8-9]等;另一種則是連續(xù)型隨機(jī)過程建模,根據(jù)DAT歷史數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的均值回復(fù)特征,通常采用奧恩斯坦-烏倫貝克(Ornstein-uhlenbeck,OU)過程建模[5,9-12]。以O(shè)U過程為基礎(chǔ),采用一個(gè)正弦函數(shù)描述氣溫顯著的季節(jié)性變化[10]。同時(shí),在氣溫波動(dòng)中,季節(jié)性變化也較為明顯,根據(jù)氣溫波動(dòng)的特點(diǎn),將氣溫波動(dòng)視為一個(gè)分段連續(xù)函數(shù),每月波動(dòng)為一常數(shù)[10]。Mraoua等[13]將氣溫波動(dòng)同樣也用一個(gè)OU過程進(jìn)行刻畫。然而,分段恒定的波動(dòng)會(huì)低估實(shí)際的波動(dòng),導(dǎo)致天氣衍生品價(jià)格被低估,且模型的正態(tài)性檢驗(yàn)假設(shè)通常不成立[8]。此外,氣溫波動(dòng)表現(xiàn)出顯著的自相關(guān)特性,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(Fractional brownian motion,FBM)能夠刻畫具有長(zhǎng)期依賴性的隨機(jī)過程[14]。由于日均氣溫溫差近似服從正態(tài)分布,故對(duì)于噪聲部分通常采用布朗運(yùn)動(dòng)[3,10,13]或Lévy過程[15]進(jìn)行刻畫。除此之外,CAR過程[6,16]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17]和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Wavelet neural network,WNN)[18]等方法也被用于DAT的建模。天氣衍生品的定價(jià)精度取決于氣溫預(yù)測(cè)模型的精度,筆者采用連續(xù)型隨機(jī)過程建模方法,在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,對(duì)氣溫波動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型部分深入研究,在氣溫波動(dòng)項(xiàng)中增加時(shí)變的均值回復(fù)速度,使模型滿足正態(tài)分布的原假設(shè)。另外,采用已提出的基于時(shí)間序列與隨機(jī)過程方法構(gòu)建的3個(gè)模型,評(píng)估筆者修正后模型的有效性,分析預(yù)測(cè)模型的精度對(duì)期權(quán)定價(jià)準(zhǔn)確性的影響。

1 天氣衍生品概述

天氣衍生品(Weather derivatives,WD)是組織或個(gè)人為了降低不利或意外天氣條件相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)而衍生出來的金融產(chǎn)品,對(duì)于對(duì)沖因天氣變化導(dǎo)致商品需求變化而產(chǎn)生的成交量風(fēng)險(xiǎn)來說是一種有效的工具[19]。天氣衍生品對(duì)氣象進(jìn)行量化,將溫度、降雨和風(fēng)等氣象指數(shù)作為標(biāo)的物,收益取決于這些氣象指數(shù),主要面向于非災(zāi)難性的天氣事件,其標(biāo)的資產(chǎn)沒有價(jià)值,不能被存儲(chǔ)或交易。

目前,氣溫指數(shù)相關(guān)的衍生品在國(guó)外市場(chǎng)上最為常見,CME主要以氣溫期貨與期權(quán)交易為主,交易期限通常為月度或季度。溫度指數(shù)主要有積溫指數(shù)(Cumulative average temperature,CAT)、制熱指數(shù)(Heating degree day,HDD)以及制冷指數(shù)(Cooling degree day,CDD)。CAT主要適用于溫度季節(jié)性變化不明顯的地區(qū),根據(jù)中國(guó)的氣溫變化特點(diǎn),采用HDD與CDD對(duì)衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。HDD定義為日均氣溫低于基準(zhǔn)溫度的度數(shù),此時(shí)認(rèn)為人們會(huì)產(chǎn)生取暖需求。芝加哥商品交易所(Chicago mercantile exchange,CME)目前將基準(zhǔn)溫度定為65 ℉(18.33 ℃),筆者研究中杭州市DAT數(shù)據(jù)的均值為18.3 ℃,故考慮取基準(zhǔn)溫度為18 ℃。HDD在一段時(shí)間的累加值,記為HDDs。CDD定義為日均氣溫高于基準(zhǔn)溫度的度數(shù),此時(shí)認(rèn)為人們會(huì)產(chǎn)生制冷需求。CDD在一段時(shí)間的累加值,記為CDDs。計(jì)算式分別為

(1)

(2)

式中:Hi為HDD;H為HDDs;Ci為CDD;C為CDDs;Tδ為基準(zhǔn)溫度;Ti為第i天的日均溫度。

2 模型建立

日均氣溫的變化表現(xiàn)為自然氣候規(guī)律的季節(jié)性變化以及近年來由于全球變暖而出現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)的趨勢(shì),同時(shí)由于其他氣象因子的綜合影響,氣溫變化表現(xiàn)出隨機(jī)性,且個(gè)別氣溫出現(xiàn)極高或極低的現(xiàn)象。以氣溫指數(shù)作為標(biāo)的物的天氣衍生品主要關(guān)注的是非極端天氣的變化,故在描述氣溫變化時(shí),參數(shù)方法可作為有效的建模工具。

2.1 模型構(gòu)建

由于差分后的DAT近似服從正態(tài)分布,且DAT表現(xiàn)出明顯的均值回復(fù)的特征,故采用OU過程進(jìn)行建模,模型為

(3)

St=a1+b1t+αsin(ωt+φ)

(4)

氣溫方差時(shí)序圖如圖1所示。由圖1可知:氣溫波動(dòng)長(zhǎng)期回復(fù)到一均值,且無明顯的趨勢(shì),經(jīng)ADF檢驗(yàn)可知序列平穩(wěn)。氣溫方差A(yù)CF圖如圖2所示。

圖1 氣溫方差的時(shí)序圖

圖2 氣溫方差的ACF圖

由圖2可知波動(dòng)率中存在季節(jié)性和周期性。故σt同樣采用OU過程表示為

(5)

Yt=a2+βsin(ωt+φ)

(6)

(7)

2.2 參數(shù)估計(jì)方法

對(duì)于St與Yt,首先將式(4,6)簡(jiǎn)化,然后采用最小二乘法估計(jì)其參數(shù),計(jì)算式分別為

St=a1+b1t+c1sinωt+d1cosωt

(8)

Yt=a2+c2sinωt+d2cosωt

(9)

式中:c1=αcosφ;d1=αsinφ;c2=βcosφ;d2=βsinφ。

氣溫的月波動(dòng)雖然同比差異不大,但是環(huán)比差異較大,故認(rèn)為σt為一分段連續(xù)函數(shù)[10]。氣溫月波動(dòng)率的計(jì)算式為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

3 模型仿真

對(duì)St與Yt進(jìn)行擬合,擬合結(jié)果分別如表1,2所示。

表2 Yt參數(shù)估計(jì)結(jié)果

考察Yt的殘差,由Yt殘差的ACF圖3可知:季節(jié)性基本消除,且序列不存在自相關(guān)。將式(5)離散化為

圖3 Yt殘差的ACF圖

(15)

圖4 氣溫波動(dòng)的月波動(dòng)

圖5 氣溫的月波動(dòng)

考察σt的殘差,由ACF圖6可知式(6)基本消除氣溫波動(dòng)序列的季節(jié)性。σt殘差的QQ圖和直方圖分別如圖7,8所示。由圖7,8可知:經(jīng)過Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn),P顯著大于0.05,殘差序列服從正態(tài)分布。

圖6 σt殘差的ACF圖

圖7 σt殘差的QQ圖

圖8 σt殘差的直方圖

由上述結(jié)果估計(jì)κt及λt,參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表3估計(jì)結(jié)果可知:κt夏季較低,冬季較高,λt則相反,表明氣溫波動(dòng)較大時(shí),氣溫被拉回的速度更快,且在等價(jià)鞅測(cè)度下,風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格更高。結(jié)合以往相關(guān)文獻(xiàn)可以得出:數(shù)據(jù)中的有效信息提取得越充分,估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格就越低。

4 模型評(píng)估

基于上述模型,對(duì)杭州市2021年的DAT進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果如圖9所示。由圖9可知時(shí)變OU模型可以很好地模擬杭州市DAT的基本走向。

圖9 氣溫預(yù)測(cè)結(jié)果

為了評(píng)估筆者模型的有效性,采用Svec等[8]提出的時(shí)間序列模型與Benth等[3]提出的隨機(jī)過程模型作對(duì)比。其中,時(shí)間序列模型中DAT的長(zhǎng)期趨勢(shì)、季節(jié)性變化和氣溫波動(dòng)項(xiàng)分別由一次線性函數(shù)、低階傅里葉級(jí)數(shù)以及ARCH模型刻畫,該模型記為M1。然而在仿真氣溫變化的過程中發(fā)現(xiàn):DAT的波動(dòng)項(xiàng)中存在明顯的季節(jié)性、自相關(guān)特征以及ARCH效應(yīng),單一的ARCH模型無法充分提取這些信息,故對(duì)其進(jìn)行修正,加入低階傅里葉級(jí)數(shù)描述波動(dòng)項(xiàng)的季節(jié)性,采用ARMA-GARCH描述自相關(guān)特征并消除ARCH效應(yīng),修正后的模型記為M2。隨機(jī)過程模型則是采用OU模型在刻畫氣溫波動(dòng)部分,均值回復(fù)速度為恒定不變的常數(shù),該模型記為M3。在M3模型的基礎(chǔ)上,修正氣溫波動(dòng)的均值回復(fù)速度為隨時(shí)間變動(dòng)的函數(shù),解決了模型殘差項(xiàng)不能通過正態(tài)性檢驗(yàn)的問題,模型記為M4。

基于上述4個(gè)模型,進(jìn)一步結(jié)合蒙特卡洛(Monte carlo,MC)模擬方法,模擬氣溫指數(shù),并通過相對(duì)誤差評(píng)估4個(gè)模型的精度。經(jīng)計(jì)算,杭州市2021年1月至2021年3月的HDDs以及2021年5月至2021年7月的CDDs的真實(shí)值分別為1 251.0和1 251.2,MC模擬對(duì)比結(jié)果如表4所示。

表4 氣溫指數(shù)MC模擬對(duì)比結(jié)果

由表4的模擬結(jié)果可以看出:M4在該數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)優(yōu)于其他3個(gè)模型,且HDDs和CDDs具有相近相對(duì)誤差,結(jié)果較為穩(wěn)定,表明連續(xù)型模型更能反映氣溫的變化情況;即使優(yōu)化后的M2精度有所提升,其在該數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)整體來說也并沒有比連續(xù)型模型M3,M4更優(yōu)秀,尤其在對(duì)HDDs擬合時(shí)偏差較大。

M1,M2殘差的QQ圖和直方圖如圖10,11所示。由圖10,11可以看出:模型M2的殘差項(xiàng)雖然得到了修正,但是并未滿足正態(tài)性假設(shè)條件。

圖10 M1殘差的QQ圖和直方圖

圖11 M2殘差的QQ圖和直方圖

5 期權(quán)定價(jià)

以氣溫期權(quán)季度交易為例,利用上述4個(gè)模型100 000次HDDs與CDDs的MC模擬結(jié)果,采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法,對(duì)氣溫期權(quán)進(jìn)行定價(jià)研究。以CDD歐式看漲期權(quán)為例,合約如表5所示。

表5 CDD歐式看漲期權(quán)合約

C(t+1,T)-K,0),U]}t∈[0,T]

(16)

式中:rf為無風(fēng)險(xiǎn)利率,rf取為2.576%(取自2021年5月的3月期SHIBOR利率);T為合約到期日;t為現(xiàn)在時(shí)刻;Np為單位氣溫指數(shù)名義價(jià)值,設(shè)為10 CNY;K為執(zhí)行價(jià);U為合約上限值,設(shè)為10 000 CNY;C(t1,t2)為從t1到t2時(shí)刻的CDDs;C(0,t)為實(shí)際值;C(t+1,T)為蒙特卡洛模擬的預(yù)測(cè)值。基于上述4個(gè)模型,根據(jù)式(16),2021年5月1日該合約的價(jià)格分別為1.65,5.50,9.61,16.89 CNY。然而事實(shí)上,當(dāng)日真實(shí)合約價(jià)格為85.26 CNY,基于M4的期權(quán)定價(jià)偏差較M1,M2,M3分別下降了17.87%,13.36%,8.54%,因此,高精度的氣溫預(yù)測(cè)模型能夠有效改善期權(quán)定價(jià)錯(cuò)誤被放大的問題,減小因模型精度不高等問題帶來的經(jīng)濟(jì)損失。

6 結(jié) 論

筆者首先在已有研究的基礎(chǔ)上,對(duì)氣溫預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn),將氣溫波動(dòng)的均值回復(fù)速度修正為隨時(shí)間變動(dòng)的函數(shù),通過對(duì)杭州市氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行仿真,結(jié)果顯示模型殘差項(xiàng)滿足正態(tài)分布的假設(shè);然后通過與前人提出的模型以及修改后的模型作對(duì)比來評(píng)估筆者模型的有效性,蒙特卡洛模擬結(jié)果表明筆者模型精度高于其他3個(gè)模型;最后以筆者模型的預(yù)測(cè)結(jié)果為基礎(chǔ),對(duì)天氣期權(quán)進(jìn)行合理定價(jià),結(jié)果顯示筆者模型有效改善了期權(quán)定價(jià)錯(cuò)誤被放大的問題。氣象變化是多因素的,參數(shù)方法建模雖然能夠捕捉到有規(guī)律的氣溫變化,但是對(duì)于夏季氣溫過低或冬季氣溫過高等異常天氣的不規(guī)則變化,預(yù)測(cè)則會(huì)出現(xiàn)偏差。另外,當(dāng)前的模型不夠精簡(jiǎn),這為模型的應(yīng)用及推廣造成了一定困難,后續(xù)將尋找既簡(jiǎn)單又行之有效的建模方法,如非參數(shù)方法,這將作為下一步研究的主要方向。目前,針對(duì)國(guó)內(nèi)現(xiàn)存的天氣衍生品發(fā)展問題,提出以下建議:1) 提高氣象測(cè)量水平,降低數(shù)據(jù)壁壘;2) 因地制宜,加快主要城市氣溫指數(shù)的編制;3) 加強(qiáng)專業(yè)人才的培養(yǎng),拓展天氣衍生品種類。

本文得到了浙江科技學(xué)院研究生教學(xué)改革項(xiàng)目(2021yjsjg09)的資助。