空集，一個不容忽視的集合

■王佩其

空集,是集合家族中一個最不起眼的成員,常常被人忽視。但你一旦把它忽視,你就會被它“耍了”。因此,在學(xué)習(xí)集合時,同學(xué)們一定要重視空集。

一、空集?雖然不含任何元素,但它是客觀存在的

例1給出下列關(guān)系式:①若A=?,B=?,則A=B;②?={?};③?={0};;⑤設(shè)全集U=R,則?UR=?。其中正確關(guān)系式的序號是____。

解：空集是不含任何元素的集合,所有的空集都是相等的,①正確。?和{?}都是集合,其中?不含任何元素,而{?}是含有一個元素?的集合,故?≠{?},②錯誤。同理③錯誤。顯然方程=0無解,即?,④正確。全集U=R,?UR 是一個不含任何元素的集合,即?UR=?,⑤正確。正確關(guān)系式的序號是①④⑤。

空集是不含任何元素的集合,故不能用列舉法或描述法把它表示出來,只能用一個專用符號?來表示空集。

二、空集是任何集合的子集

例2設(shè)全集U=R,M={x|3a＜x＜2a+5},P={x|-2≤x≤1}。若M??UP,求實數(shù)a的取值范圍。

解：因為全集U=R,P={x|-2≤x≤1},所以?UP={x|x＜-2或x＞1}。

因為M??UP,所以分M=?,M≠?這兩種情況討論。由題意畫出數(shù)軸,如圖1所示。

圖1

對于此類問題,忽視空集是一種常見錯誤,請同學(xué)們切記。在研究集合之間的關(guān)系時,Venn圖和數(shù)軸是兩個常用的工具,用它們反映集合之間的關(guān)系直觀、形象,便于發(fā)現(xiàn)和研究問題。

三、空集是任何非空集合的真子集

例3設(shè)集合,則集合A的真子集的個數(shù)為____。

解：要使,且x∈Z,需滿足2+x=1,2+x=2,2+x=3 或2+x=6,所 以x=-1,x=0,x=1或x=4。所以集合A={-1,0,1,4}。

集合A={-1,0,1,4}的子集為?,{-1},{0},{1},{4},{-1,0},{-1,1},{-1,4},{0,1},{0,4},{1,4},{-1,0,1},{-1,0,4},{-1,1,4},{0,1,4},{-1,0,1,4},共16個子集。

去掉集合{-1,0,1,4},則集合A的真子集的個數(shù)為16-1=15。

一個共有n個元素的集合A的子集個數(shù)為2n;去掉其本身,即得集合A的真子集的個數(shù)為2n-1;去掉空集,即得集合A的非空子集的個數(shù)為2n-1;兩個都去掉,即得集合A的非空真子集的個數(shù)為2n-2。