一元二次不等式的恒成立的基本類型與解題技巧

■孫新曉

一元二次不等式的恒成立及綜合應(yīng)用問題,是高考中比較常見的熱點(diǎn)題型之一。解決這類問題,可以合理聯(lián)系一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)這三個(gè)“二次”問題,實(shí)現(xiàn)三個(gè)“二次”問題之間的相互轉(zhuǎn)化。下面就一元二次不等式的恒成立問題中最常見的三種基本類型,結(jié)合實(shí)例加以剖析,意在總結(jié)解題技巧與應(yīng)試策略,探索解題規(guī)律與解題方法。

一、一元二次不等式在R上的恒成立問題

涉及一元二次不等式在R 上的恒成立問題,可將一元二次不等式問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像問題,利用不等式與二次函數(shù)圖像的開口情況,并結(jié)合判別式的取值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

例1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0對(duì)一切x∈R 恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

A.{a|a≤2}

B.{a|-2≤a≤2}

C.{a|-2＜a≤2}

D.{a|a＜-2}

分析：在解決一元二次不等式在R 上恒成立時(shí),將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像問題,通過二次函數(shù)圖像的開口情況與判別式的取值范圍進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化,列出不等式來確定參數(shù)的取值范圍。

解：當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),原不等式可化為-4＜0,顯然對(duì)一切x∈R 恒成立;當(dāng)a≠2時(shí),則整理得解得-2＜a＜2。

綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-2＜a≤2}。應(yīng)選C。

在解決一元二次不等式在R 上恒成立問題時(shí),往往涉及以下兩種情況:一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R 恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c＜0(a≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R 恒成立需要特別注意的是,只要二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù),必須分類討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況。

二、一元二次不等式在給定自變量范圍上的恒成立問題

涉及一元二次不等式在給定自變量范圍上的恒成立問題,可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定自變量范圍上的最值問題來處理。在實(shí)際解題時(shí),要注意自變量范圍對(duì)二次函數(shù)圖像的影響,可結(jié)合分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行直觀處理,凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合運(yùn)用。

例2已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對(duì)于任意x∈{x|1≤x≤3},f(x)＜5-m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____。

分析：利用所給不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)在給定自變量范圍上的圖像與性質(zhì)的特征,確定相應(yīng)參數(shù)的取值范圍。

解：要使不等式f(x)＜-m+5對(duì)任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,只需不等式對(duì)任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立。解決此題有下面兩種方法。(函數(shù)法)令函數(shù)

當(dāng)m=0時(shí),顯然-6＜0恒成立;

當(dāng)m＞0時(shí),函數(shù)g(x)在{x|1≤x≤3}上是增函數(shù),所以g(x)max=g(3),則g(3)=7m-6＜0,解得m＜,這時(shí)0＜m＜;

當(dāng)m＜0時(shí),函數(shù)g(x)在{x|1≤x≤3}上是減函數(shù),所以g(x)max=g(1),則g(1)=m-6＜0,解得m＜6,這時(shí)m＜0。

綜上所述,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是

解決一元二次不等式在給定自變量范圍上的恒成立問題,有兩種常見的求解方法:函數(shù)法,若f(x)＞0在給定自變量范圍上恒成立,可利用一元二次函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為不等式(組)求范圍;分離參數(shù)法,即轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閧y|m≤y≤n},則f(x)≥a恒成立,可得f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立,可得f(x)max≤a,即n≤a。

三、一元二次不等式在給定參數(shù)范圍上的恒成立問題

涉及一元二次不等式在給定參數(shù)范圍上的恒成立問題,可通過變換自變量與參數(shù)之間的關(guān)系,結(jié)合主元的變換,利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解。

例3若不等式x2+px＞4x+p-3,當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )。

A.{x|-1≤x≤3}

B.{x|x≤-1}

C.{x|x≥3}

D.{x|x＜-1}∪{x|x＞3}

分析：利用參數(shù)的取值范圍,變換主元,構(gòu)建相應(yīng)的不等式,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖像問題求解;也可借助特殊值法來處理,即通過端點(diǎn)的選取,實(shí)現(xiàn)巧妙排除,即可得解。

(特殊值法)當(dāng)x=-1 時(shí),由不等式x2+px＞4x+p-3,代入得p＜4,即x=-1不符合條件,排除A、B。當(dāng)x=3 時(shí),由不等式x2+px＞4x+p-3,代入得p＞0,即x=3不符合條件,排除C。應(yīng)選D。

解決一元二次不等式在給定參數(shù)范圍上的恒成立問題,一定要清楚區(qū)分主元與參數(shù)。一般情況下,知道參數(shù)范圍的,就選為主元,求參數(shù)范圍的,就選為參數(shù)。在實(shí)際解題過程中,就是把變?cè)c參數(shù)交換位置,構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),變換主元后得到一次函數(shù)或二次函數(shù),進(jìn)而根據(jù)原變量的取值范圍求解。

若不等式kx2-6kx+k+8≥0 的解集為R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )。

A.0≤k≤1 B.0＜k≤1

C.k＜0或k＞1 D.k≤0或k≥1

提示:由于不等式kx2-6kx+k+8≥0的解集為R,分以下兩種情況討論:①當(dāng)k=0時(shí),則8≥0,符合題意;②當(dāng)k≠0 時(shí),則解得0＜k≤1。綜上所述,0≤k≤1。應(yīng)選A。