例析不等式問題的六個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

■石漢榮

易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視字母的取值范圍致錯(cuò)

例1(多選題)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,下列四個(gè)命題中的真命題是( )。

A.若a＞b,c≠0,則ac＞bc

B.若a＞b,則ac2＞bc2

C.若ac2＞bc2,則a＞b

D.若a＞b＞0,c＞d＞0,則ac＞bd

錯(cuò)解：對(duì)于A,若a＞b,當(dāng)c＜0 時(shí),則ac＜bc,A 錯(cuò)誤。對(duì)于B,若a＞b,則ac2＞bc2,B正確。對(duì)于C,若ac2＞bc2,則c2＞0,所以a＞b,C正確。對(duì)于D,若a＞b＞0,c＞d＞0,則ac＞bc＞bd,D 正確。應(yīng)選BCD。

錯(cuò)因：對(duì)于B,忽視了c=0的情況。

正解：對(duì)于A,若a＞b,當(dāng)c＜0 時(shí),則ac＜bc,A 錯(cuò)誤。對(duì)于B,若a＞b,當(dāng)c=0時(shí),ac2=bc2,B 錯(cuò)誤。對(duì)于C,若ac2＞bc2,則c2＞0,所以a＞b,C正確。對(duì)于D,若a＞b＞0,c＞d＞0,則ac＞bc＞bd,D 正確。應(yīng)選CD。

易錯(cuò)點(diǎn)2：多次運(yùn)用不等式性質(zhì)致錯(cuò)

例2已知-1＜2a+b＜2,3＜a-b＜4,求5a+b的取值范圍。

錯(cuò)因：由已知條件單獨(dú)求出a,b的范圍,會(huì)導(dǎo)致它們的范圍變大。

正解：令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,則解得所以5a+b=2(2a+b)+(a-b)。

因?yàn)?1＜2a+b＜2,所以-2＜2(2a+b)＜4。又3＜a-b＜4,所以1＜2(2a+b)+(a-b)＜8。

故5a+b的取值范圍為(1,8)。

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)的討論致錯(cuò)

例3若不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x對(duì)任意x都成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )。

A.(-2,2) B.(2,+∞)

C.(-2,2] D.[-2,2]

錯(cuò)解：mx2+2mx-4＜2x2+4x可化為(2-m)x2+(4-2m)x+4＞0。由題意得解得-2 ＜m＜2。故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2,2)。應(yīng)選A。

錯(cuò)因：上述解法沒有對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)2-m進(jìn)行討論。

正解：mx2+2mx-4＜2x2+4x可化為(2-m)x2+(4-2m)x+4＞0。

當(dāng)m=2時(shí),不等式為4＞0,這時(shí)不等式恒成立,滿足題意;當(dāng)m≠2 時(shí),由題意得解得-2 ＜m＜2。

綜上可得,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-2,2]。應(yīng)選C。

易錯(cuò)點(diǎn)4：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),忽視不等式成立的條件

例4當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+4＜0恒成立,則m的取值范圍是( )。

A.m≤-5 B.m＜-4

C.m＜5 D.m≥5

錯(cuò)因：令,即x2=4,而x∈(1,2),所以x2=4 不成立,即應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),沒有考慮不等式取等號(hào)的條件。

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視一元二次不等式中兩根的大小致錯(cuò)

例5已知集合A={x|x2-(3a-1)x+2a2-a＜0},B={x|x2-4x+3＜0},命題P:x∈A,命題Q:x∈B,若P是Q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：已知P:x∈A,Q:x∈B,若P是Q的充分條件,則A?B。

錯(cuò)因：由參數(shù)a的范圍不確定,可知a與2a-1 的大小關(guān)系不確定,故需對(duì)兩根的大小分類討論。

正解：已知P:x∈A,Q:x∈B,若P是Q的充分條件,則A?B,所以對(duì)A分情況討論求解。

綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,2]。

易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視一元二次方程根的分布條件致錯(cuò)

例6若方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。