聚焦不等式的熱點問題

■趙邦一 李麗娜

不等式的應用非常廣泛,它可以與許多知識交匯,來考查一些熱點問題。下面就不等式的熱點問題進行舉例分析。

一、比較數(式)的大小

例1若x＜y＜0,試比較(x2+y2)(x-y)與(x2-y2)(x+y)的大小。

分析：把(x2+y2)(x-y)與(x2-y2)(x+y)做差比較即可。

解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y)。因為x＜y＜0,所以xy＞0,x-y＜0,所以-2xy(x-y)＞0,所以(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y)。

提醒：比較大小的關鍵是變形,一般來說,變形越徹底,越有利于下一步的判斷。

二、一元二次不等式(組)的解法

例 2 關 于x的 不 等 式 組的整數解的集合為{-2},求實數k的取值范圍。

分析：解答本題容易出錯的是:直接把x=-2代入不等式2x2+(2k+5)x+5k＜0求出k的取值范圍。

解：由x2-x-2＞0,可得x＜-1 或x＞2。由2x2+(2k+5)x+5k＜0,可得(x+k)(2x+5)＜0。因為-2為其解,所以(2+k)(4+5)＜0,解得k＜2,即-k＞-2,所以此時不等式的解為

因為其解集中只有一個整數-2,所以-2＜-k≤-1,所以1≤k＜2。

提醒：一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點的橫坐標。二次函數y=ax2+bx+c的圖像在x軸上方的部分,是由不等式ax2+bx+c＞0的x值構成的,圖像在x軸下方的部分,是由不等式ax2+bx+c＜0 的x值構成的,三者之間相互依存、相互轉化。

三、含參數不等式的解法

例3解關于x的不等式ax2-2(a+1)x+4＞0。

分析：最高項的系數含有字母a,不等式可以是二次不等式,也可以是一次不等式,且影響兩根的大小。

解：當a=0時,原不等式可化為x-2＜0,可得解集為{x|x＜2}。

提醒：解含參數不等式時,容易出現的錯誤是漏掉某一種情況。

四、利用基本不等式求分式函數的最值

例4求函數且a＞0)的最小值。

分析：求分式函數的最值時,可把解析式分拆成的形式,再利用基本不等式求最值。

提醒：分式函數y=f(x)可表示為y=的形式,且g(x)在定義域內恒正或恒負,A＞0,m＞0,則可利用基本不等式求最值。

五、結合條件求代數式的最值

例5已知a＞0,b＞0,且,求a+b的最小值。

分析：由,可得(a-1)(b-9)=9,所以a＞1,b＞9,再將a+b變形即可求出最值。

六、逆向思維求根式函數的最值

提醒：這類問題,一般都給出了x的取值范圍,可根據取值范圍進行逆向轉換求最值。

七、利用不等式的變形證明不等式