新體制光學(xué)遙感衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制方法

奚瑞辰，吳 凡，岳程斐，曹喜濱

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)空間科學(xué)與應(yīng)用技術(shù)研究院，深圳 518055)

0 引 言

微小衛(wèi)星技術(shù)為低成本、快響應(yīng)對地遙感提供了有效的解決方案[1]。為了能夠在微小衛(wèi)星平臺上實現(xiàn)超寬覆蓋光學(xué)成像的同時,保證較高的地面分辨率,作為一種新的成像體制,近年來提出了基于圓錐掃描的新體制超寬覆蓋光學(xué)遙感衛(wèi)星(亦即“光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星”)的概念:通過整星繞對地軸自旋,帶動傾斜安裝的面陣光學(xué)相機(jī)在地面形成環(huán)掃條帶,從而實現(xiàn)超寬覆蓋成像[2-3]。文獻(xiàn)[4-5]針對光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星的不同應(yīng)用場景,設(shè)計了快旋模式、慢旋模式和變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式。其中,快旋模式條帶拼接重疊區(qū)域小,減少了圖像數(shù)據(jù)量,但降低了光學(xué)動態(tài)傳函,影響了圖像質(zhì)量[6];慢旋模式提高了光學(xué)動態(tài)傳函,但圖像數(shù)據(jù)量大大增加,對數(shù)據(jù)處理和數(shù)傳系統(tǒng)提出較高要求。前兩種模式下衛(wèi)星繞對地軸勻速自旋,對姿態(tài)控制能力要求不高。而變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式則綜合了前兩種模式的優(yōu)點,在一個環(huán)掃周期內(nèi),相機(jī)開機(jī)期間慢旋以提高成像質(zhì)量,相機(jī)關(guān)機(jī)期間變轉(zhuǎn)速快速環(huán)掃,從而有利于減小條帶拼接重疊區(qū)域,減少圖像數(shù)據(jù)量,但是對衛(wèi)星的姿態(tài)控制提出較高要求。然而,文獻(xiàn)[4]只給出了變轉(zhuǎn)速環(huán)掃的開環(huán)控制方法,顯然無法滿足在有擾動和參數(shù)不確定性條件下的姿態(tài)穩(wěn)定控制要求。因此,本文將針對新體制光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星,設(shè)計控制策略,在實現(xiàn)變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式的同時,確保相機(jī)開機(jī)期間的自旋相位角和自旋角速度的穩(wěn)定性。

(w,z)是Tsiotras等[7-8]提出的一種航天器姿態(tài)參數(shù),通過兩次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)兩個坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。在自旋衛(wèi)星中,可以分別使用參數(shù)w和參數(shù)z來描述垂直于自旋軸和繞自旋軸方向的運(yùn)動[9-10],也可通過缺省z,僅用w來描述欠驅(qū)動控制[12-13]。因此,使用(w,z)參數(shù)來描述光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星這類具有自旋運(yùn)動特征的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動更加直觀,且參數(shù)w的運(yùn)動學(xué)相對參數(shù)z獨(dú)立,有利于實現(xiàn)高精度控制。

新體制光學(xué)遙感衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題,關(guān)鍵在于在固定的相機(jī)關(guān)機(jī)時間段內(nèi),通過變轉(zhuǎn)速環(huán)掃,保證在下一次相機(jī)開機(jī)時刻,自旋相位角和自旋角速度均達(dá)到期望值。對于在設(shè)定的終端時刻達(dá)到指定終端狀態(tài)的問題,一種思路是采用最優(yōu)控制的方法,通過建立代價函數(shù),求解最優(yōu)軌跡。然而,通過極大值原理求解最優(yōu)控制問題的開環(huán)控制方法魯棒性較差[4,14-15]。而有限時域的控制方法數(shù)值計算量較大,在軌應(yīng)用難度較大[16]。另一種思路是采用有限時間的終端滑模控制方法。滑模控制常被用來應(yīng)對系統(tǒng)擾動和不確定性[17-18],將其與有限時間控制理論相結(jié)合,從而實現(xiàn)對收斂時間的限定。有限時間控制理論由Bhat等[19]提出,在初始狀態(tài)已知的情況下,可以預(yù)測收斂時間的上界。在有限時間控制理論的基礎(chǔ)上,Polyakov等[20]發(fā)展了固定時間控制理論,其收斂時間的上界與初始狀態(tài)無關(guān)。有限時間控制理論和固定時間控制理論都也已應(yīng)用在航天器姿態(tài)控制中[21-25]。上述終端滑模控制理論只給出了收斂時間的上界,而不是精確的收斂時間。在此基礎(chǔ)上,Sánchez-Torres等[26]發(fā)展了預(yù)設(shè)時間(predefined time或prescribed time)控制理論,給出了精確的收斂時間,相關(guān)理論也已在航天器姿態(tài)控制中有所應(yīng)用[27-30],而對于變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題,較大的角速度容易增大終端時刻的控制誤差。此外,Geng等[31]提出了應(yīng)用于航天器姿態(tài)機(jī)動的精確時間(exact time)穩(wěn)定控制方法,是一種基于SO(3)的終端滑模控制方法,相關(guān)理論僅適用于rest-to-rest姿態(tài)機(jī)動,不能直接應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制。

根據(jù)對上述文獻(xiàn)的研究,針對新體制光學(xué)遙感衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃姿態(tài)控制問題,本文將基于(w,z)參數(shù),并采用固定時間跟蹤控制方法,使衛(wèi)星姿態(tài)在變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段,在固定時間內(nèi)跟蹤上期望的姿態(tài)軌跡。設(shè)計的期望姿態(tài)軌跡滿足相機(jī)變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段結(jié)束時刻對應(yīng)的終端約束條件,即相機(jī)開機(jī)時刻自旋角速度和自旋相位角均達(dá)到期望值。在變轉(zhuǎn)速的初始階段,采用bang-bang控制方法,使執(zhí)行機(jī)構(gòu)以最大力矩加減速,在盡量短的時間內(nèi)完成對自旋相位角的補(bǔ)償,為軌跡跟蹤留出足夠的收斂時間。

本文的后續(xù)內(nèi)容安排如下:第1節(jié)介紹了光學(xué)環(huán)掃成像的原理,并針對變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。第2節(jié)給出了(w,z)參數(shù)描述的航天器姿態(tài)運(yùn)動學(xué)模型,并給出姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程的誤差形式,最后給出了光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星的姿態(tài)動力學(xué)模型。第3節(jié)針對衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題,設(shè)計了基于(w,z)參數(shù)的姿態(tài)控制策略,包含bang-bang控制和固定時間滑模控制兩個階段,并給出了固定時間滑模控制律設(shè)計和穩(wěn)定性證明。第4節(jié)通過數(shù)值仿真校驗了控制策略的有效性。

1 光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題描述

1.1 光學(xué)環(huán)掃成像原理

光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星成像原理如圖1所示。衛(wèi)星以對地心定向的姿態(tài)運(yùn)行在圓軌道上。光學(xué)相機(jī)傾斜安裝,使相機(jī)光軸與衛(wèi)星對地軸成固定夾角。衛(wèi)星保持特征軸(圖1中衛(wèi)星本體坐標(biāo)系ObXbYbZb中的Zb軸,原點位于衛(wèi)星質(zhì)心)對地心指向,通過整星以角速度Ω自旋,帶動相機(jī)繞對地軸旋轉(zhuǎn),隨著衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動,相機(jī)視場會在地面形成螺旋形的環(huán)掃條帶,多圈條帶拼接即可實現(xiàn)寬幅成像。

圖1 光學(xué)環(huán)掃成像原理Fig.1 Principle of conical scanning imaging

從圖1可以看出,不同圈次的環(huán)掃條帶之間存在大量的重疊區(qū)域。為了減少重復(fù)的數(shù)據(jù)量,從而降低數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)的負(fù)擔(dān),在實際工程應(yīng)用中,往往采用相機(jī)間斷開機(jī)的方法。文獻(xiàn)[4-5]分析了快旋模式和慢旋模式下,相機(jī)間斷開機(jī)的拼幅效果:快旋模式下的一個環(huán)掃周期內(nèi),相機(jī)開關(guān)機(jī)各一次,且環(huán)掃條帶重疊區(qū)域較少;慢旋模式下的一個環(huán)掃周期內(nèi),相機(jī)開關(guān)機(jī)各兩次,且環(huán)掃條帶重疊區(qū)域較多。但是由于慢旋模式相比于快旋模式的衛(wèi)星自旋角速度更小,相同曝光時間內(nèi)產(chǎn)生的像移更小,動態(tài)傳函也就更高,圖像質(zhì)量也就更好。為了使環(huán)掃條帶重疊區(qū)域較少,同時又能獲得較高的圖像質(zhì)量,于是就有了變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式。變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式下,按照是否勻轉(zhuǎn)速環(huán)掃,可以將一個環(huán)掃周期分解為兩個階段:

1)定轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段:相機(jī)開機(jī)時衛(wèi)星以較慢的角速度勻速環(huán)掃以獲得較高的圖像質(zhì)量;

2)變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段:相機(jī)關(guān)機(jī)時衛(wèi)星加速、變轉(zhuǎn)速環(huán)掃,使得衛(wèi)星的環(huán)掃周期等于快旋模式周期,從而能夠如快旋模式那樣,減少環(huán)掃條帶的重疊區(qū)域,進(jìn)而減輕了衛(wèi)星數(shù)據(jù)處理與數(shù)據(jù)傳輸?shù)膲毫?同時也簡化了相機(jī)的開關(guān)機(jī)邏輯。

1.2 變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題數(shù)學(xué)描述

變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式的環(huán)掃條帶如圖2所示,由文獻(xiàn)[4-5]可以計算得到相機(jī)開機(jī)時的自旋角速度Ω、環(huán)掃周期T、一個環(huán)掃周期內(nèi)的成像時長τ1以及成像開始時刻的相位角θ0。定義相機(jī)第一次開機(jī)的時刻為t0,經(jīng)過τ1時間對應(yīng)的相位角為θ1。

圖2 變轉(zhuǎn)速環(huán)掃模式的環(huán)掃條帶Fig.2 Conical scanning footprint of variable-speed spin mode

于是,變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題可以描述為:設(shè)計控制策略,滿足下面3個條件。

1)定轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段的角速度和相位角分別為

(1)

2)變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段的初始狀態(tài)為

(2)

式中:t=t0+nT+τ1。

3)變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段的末狀態(tài)為

(3)

式中:t=t0+(n+1)T。對于圓軌道,由于軌道角速度ωo(t)為常值,有ω1(t0+nT)=ω1(t0),ω2(t0+nT)=ω2(t0)。

本問題的主要難點在于,設(shè)計變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制策略,使得給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)(2),經(jīng)過τ2=T-τ1時間后,系統(tǒng)的狀態(tài)恰好達(dá)到終端狀態(tài)(3)。

2 光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星姿態(tài)模型

本節(jié)將基于(w,z)參數(shù)建立光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動學(xué)模型。同時,作為一種自旋軸指向在慣性空間中持續(xù)變化的衛(wèi)星,光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星通常采用整星零動量三軸穩(wěn)定控制方式,通過輪控系統(tǒng)與衛(wèi)星進(jìn)行角動量交換,以便于實現(xiàn)靈活的姿態(tài)機(jī)動和自旋軸指向控制。因此,本文將光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星視作剛體航天器,基于三軸輪控系統(tǒng)建立姿態(tài)動力學(xué)模型。

2.1 (w,z)參數(shù)描述的航天器姿態(tài)運(yùn)動學(xué)模型

首先,參數(shù)w被定義為如下的復(fù)數(shù):

(4)

式中:(a,b,c)表示從慣性坐標(biāo)系經(jīng)過一次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)后,中間坐標(biāo)系的Z軸在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系下單位球面上的投影坐標(biāo),從而有a2+b2+c2≡1[8]。

根據(jù)上述定義方式,衛(wèi)星本體坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

Cbi=C(w,z)=C2(w)C1(z)

(5)

式中:C1(z)和C2(w)表征兩次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn),定義如下:

(6)

(7)

(w,z)參數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動學(xué)方程如下[8]:

(8)

(9)

用(wr,zr)表示航天器本體相對慣性系的期望姿態(tài),用ωr表示航天器本體相對慣性坐標(biāo)系的期望角速度。在本文后續(xù)的分析與設(shè)計中,不妨取式(1)～(3)中的t0=0,于是對于光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星,有

(10)

對上式求導(dǎo)有

(11)

定義誤差w參數(shù)為

(12)

式中:ae,be和ce可以通過下式計算得到。

ae=Cbr(1, 3),be=Cbr(2, 3),ce=Cbr(3, 3)

(13)

(14)

式中:ξe=atan2(Ce1(1, 2),Ce1(1, 1)),函數(shù)atan2(y,x)表示以x和y的符號決定象限的反正切值,即

(15)

定義誤差角速度為

ωe=ω-Cbrωr

(16)

于是,式(12)和(14)定義的誤差(w,z)參數(shù)同樣滿足如下形式的運(yùn)動學(xué)方程:

(17)

(18)

2.2 航天器姿態(tài)動力學(xué)模型

光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星的姿態(tài)動力學(xué)模型為

(19)

(20)

如前文所述,光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星通常采用整星零動量三軸穩(wěn)定控制,因此應(yīng)滿足如下的假設(shè)條件:

假設(shè) 1.衛(wèi)星的姿態(tài)角速度ω有界,從而動力學(xué)方程中的叉乘項ω×(Jbω+hw)也有界,且接近于0。

假設(shè) 2.干擾力矩Td是有界的。

假設(shè) 3.令Jb=Jb0+ΔJb,式中:Jb0是衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量矩陣的已知部分,ΔJb是衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量的未知部分,且未知部分是有界的。

將誤差角速度ωe的定義式(16)代入姿態(tài)動力學(xué)方程(19)可以得到

(21)

根據(jù)假設(shè)3,上式可改寫為

(22)

3 變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制方法

針對光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題,本節(jié)將設(shè)計控制策略,并基于(w,z)運(yùn)動學(xué)參數(shù),設(shè)計相應(yīng)的固定時間滑模控制律。

3.1 控制策略

變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制策略首先要設(shè)計出期望的變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段的姿態(tài)軌跡,然后確保在變轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段結(jié)束前實現(xiàn)對軌跡的穩(wěn)定跟蹤。于是將衛(wèi)星的一個環(huán)掃周期按照控制律分解為兩個控制階段,分別是bang-bang控制階段和固定時間滑模控制階段。其中,bang-bang控制階段從定轉(zhuǎn)速環(huán)掃階段結(jié)束時開始,即相機(jī)關(guān)機(jī)時刻開始,以最大的控制力矩使衛(wèi)星加減速自旋,目的在于使衛(wèi)星在最短的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過最多的角度,為固定時間控制階段留有更多的收斂時間;固定時間滑模控制階段在bang-bang控制結(jié)束開始,目的在于使衛(wèi)星在下一次相機(jī)開機(jī)前抵消bang-bang控制階段的開環(huán)控制誤差,實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤。

根據(jù)上述控制策略,衛(wèi)星Zb軸的期望角速度軌跡如圖3所示,bang-bang控制階段經(jīng)過τ3時間加速,執(zhí)行機(jī)構(gòu)角動量達(dá)到飽和,于是以最大角動量運(yùn)轉(zhuǎn)τ5時間,再減速下來,總計持續(xù)2τ3+τ5時間;固定時間滑模控制階段需要確保系統(tǒng)在不超過τ4=τ2-2τ3-τ5的時間跟蹤上期望軌跡。特別地,如果執(zhí)行機(jī)構(gòu)角動量足夠大,在bang-bang控制階段不會發(fā)生飽和,則圖3中τ5的時長將退化為0。固定時間滑模控制階段期望姿態(tài)和姿態(tài)角速度軌跡變化速度小,容易實現(xiàn)高精度跟蹤,并且在相機(jī)開機(jī)時刻期望姿態(tài)和姿態(tài)角速度軌跡光滑無折點,不會影響跟蹤精度。

圖3 衛(wèi)星Zb軸的期望角速度軌跡Fig.3 Reference angular velocity track of Zb axis of satellite

接下來給出圖3中τ3和τ5時長的計算方法。設(shè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)能為Zb軸提供的最大控制力矩為Tm,z(方向與Zb軸的環(huán)掃角速度方向相同),執(zhí)行機(jī)構(gòu)能為Zb軸提供的最大角動量為hzm,Zb軸轉(zhuǎn)動慣量的已知部分為Jbz0,于是最大角加速度的理論值為aω=Tm,z/Jbz0,最大角速度的理論值為ωzm=hzm/Jbz0。首先判斷bang-bang控制階段執(zhí)行機(jī)構(gòu)角動量是否飽和,若不飽和,則應(yīng)滿足如下條件:

Ω+aωτ3≤ωzm

(23)

(24)

式(24)的解為

(25)

將式(25)計算得到的τ3值代入不等式(23),如果不等式成立,則認(rèn)為bang-bang控制階段執(zhí)行機(jī)構(gòu)角動量不飽和,τ3直接按照式(25)取值,τ5=0;如果不等式不成立,則認(rèn)為bang-bang控制階段執(zhí)行機(jī)構(gòu)角動量會飽和,τ3的值取為

(26)

然后根據(jù)控制策略,可以得到下式:

ΩT+aωτ3(τ5+τ3)=2π

(27)

由上式可以解得τ5的值為

(28)

此外,由于Xb軸和Yb軸的角速度分量較小,最大不超過軌道角速度,無需單獨(dú)設(shè)計控制律。因此bang-bang控制階段Xb軸和Yb軸的控制律不妨直接沿用下面的固定時間滑模控制階段的控制律。

3.2 變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制器

定理 1.對于動力學(xué)模型如式(19)～(22)的光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星,采用如式(29)～(31)所示的變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制器(設(shè)初始時刻t0=0),能夠?qū)崿F(xiàn)在一個環(huán)掃周期T內(nèi),相機(jī)開機(jī)期間以角速度Ω定轉(zhuǎn)速環(huán)掃,相機(jī)關(guān)機(jī)期間變轉(zhuǎn)速環(huán)掃,并且在下一次相機(jī)開機(jī)時刻轉(zhuǎn)到特定的相位并保持環(huán)掃轉(zhuǎn)速為Ω,即給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)(2),經(jīng)過τ2=T-τ1時間后,系統(tǒng)的狀態(tài)恰好達(dá)到終端狀態(tài)(3),并保持姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤。式(29)中,u(t)=[u1(t),u2(t),u3(t)]T,前3行用來描述bang-bang控制階段,Zb軸以最大力矩Tm,z加減速,Xb軸和Yb軸沿用固定時間滑模控制律,第4行用來描述固定時間滑模控制階段,三軸均使用固定時間滑模控制律。

(29)

K1sig(s)α3-(K2+Θ)sgn(s)

(30)

(31)

sgn(x)=[sgn(x1), sgn(x2), sgn(x3)]T

(32)

sig(x)v的定義如下:

sig(x)v=[sgn(x1)|x1|v,sgn(x2)|x2|v,

sgn(x3)|x3|v]T

(33)

abs(x)v的定義如下:

abs(x)v=[|x1|v,|x2|v,|x3|v]T

(34)

首先給出關(guān)于固定時間控制理論的兩條引理。

引理 1[20].對于如下的非線性系統(tǒng):

(35)

式中:x∈Rn,f:R+×Rn→Rn是一個非線性時變函數(shù),并且在原點x=0附近的開放鄰域U0內(nèi)連續(xù)。如果該系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定的,并且存在連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:Rn→R+∪{0}滿足對任意的x(t),有下式成立:

D*V(x(t))≤-(αVp(x(t))+βVq(x(t)))k

(36)

(37)

如果所定義的李雅普諾夫函數(shù)的初值滿足V(x(0))≤1,則收斂時間τ滿足

(38)

引理 2[22].對于系統(tǒng)(35),如果該系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定的,并且存在連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:Rn→R+∪{0}滿足對任意的x(t),有下式成立

(39)

式中:α,β,η,p,q>0,并且p<1,q>1,則系統(tǒng)(35)在固定時間內(nèi)全局收斂至原點x=0,則且系統(tǒng)(35)到達(dá)V(x)≡0的時間τ滿足

(40)

如果所定義的李雅普諾夫函數(shù)的初值滿足V(x(0))≤1,則收斂時間τ滿足

(41)

下面只需證明通過設(shè)計控制參數(shù),能夠使固定時間滑模控制律(30)在不超過τ4的時間內(nèi)消除bang-bang控制階段的開環(huán)控制誤差。

證.固定時間滑模控制的收斂時間可以分為兩部分:到達(dá)時間和滑動時間。其中,到達(dá)時間是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)滑模面的時間,滑動時間是指系統(tǒng)從在滑模面上滑動到姿態(tài)穩(wěn)定的時間。因此,固定時間滑模控制器收斂性證明也分為到達(dá)階段和滑動階段兩部分來考慮[32]。

1)到達(dá)階段

對式(31)求一階微分,在等號兩邊同乘Jb0,并代入式(22)可得

(42)

定義關(guān)于滑模變量s的李雅普諾夫函數(shù)如下:

(43)

對上式求一階微分,有

(44)

引理 3[22].對于任意的xi∈R,i=1,2,…,n,如果v>1,則

(45)

引理 4[25].對于任意的xi∈R,i=1,2,…,n,如果0

(46)

推論 1.根據(jù)引理4可以得知,對于任意的xi∈R,i=1,2,…,n,用x表示矢量[x1,x2,…,xn]T,則

(47)

根據(jù)引理3和推論1,式(44)滿足

(48)

式中:?=min{e|e=Θi-|di|(i=1,2,3)},λmin(·)和λmax(·)分別表示矩陣奇異值的最小值和最大值。根據(jù)引理1可知,滑模變量s是固定時間收斂的。

2)滑動階段:

當(dāng)滑模面滿足s=0時,有下式成立:

ωe=

μ4sig(ζe)α2

(49)

針對誤差參數(shù)we定義如下的李雅普諾夫函數(shù):

(50)

式中:|we|表示復(fù)數(shù)we的模。式(50)對時間求一階微分,并將誤差運(yùn)動學(xué)方程(17)和式(49)代入微分方程可以得到

μ2(|we1|+|we2|)-μ2|we|2·

(|we1|+|we2|)

(51)

根據(jù)推論1有|we|≤|we1|+|we2|,將其代入式(51)有

(52)

根據(jù)引理2可知,誤差參數(shù)we是固定時間收斂的。

注意到,當(dāng)we→0時有ωe→0,于是關(guān)于ze的運(yùn)動學(xué)方程(18)可以簡化為

(53)

針對誤差參數(shù)ze定義如下的李雅普諾夫函數(shù):

Vze=|ze|

(54)

上式的右導(dǎo)數(shù)為

(55)

式中:sign(·)函數(shù)定義如下:

(56)

將式(53)代入式(55)可以得到

D*Vze=sign(ze)ωe3=-μ3|ze|α1-μ4|ze|α2

(57)

根據(jù)引理1可知,誤差參數(shù)ze是固定時間收斂的。

此外,在本問題中,bang-bang控制階段的開環(huán)控制誤差主要來源于動力學(xué)方程叉乘項、衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量誤差和干擾力矩,根據(jù)假設(shè)1～3,這些誤差都是有界的,且誤差值不會太大,從而可以滿足下面的假設(shè)。

假設(shè) 4.從bang-bang控制階段切換到固定時間滑模控制階段時,式(43)、(50)和(54)所定義的李雅普諾夫函數(shù)的值均不大于1。

在假設(shè)4的條件下,根據(jù)引理1和引理2,所設(shè)計的固定時間滑模控制器總的收斂時間滿足:

(58)

式中:twe,tz和ts分別是we,ze和s的收斂時間。

綜上所述,通過設(shè)計控制參數(shù),使得收斂時間twz≤τ4成立,可以保證固定時間滑模控制律在不超過τ4的時間內(nèi)消除bang-bang控制階段的開環(huán)控制誤差。

證畢。

(59)

式中:ε是一個小正數(shù)。

注3.為了防止在誤差姿態(tài)趨近于0時,控制律中的負(fù)數(shù)指數(shù)項出現(xiàn)奇異或?qū)е缕谕剡^大,當(dāng)誤差姿態(tài)參數(shù)ze接近于0時,設(shè)置能滿足姿態(tài)控制精度的姿態(tài)誤差參數(shù)絕對值的下限:

(60)

4 仿真校驗

4.1 仿真條件

本節(jié)將選取文獻(xiàn)[4]使用的光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星任務(wù)模型(見表1)和像質(zhì)評價標(biāo)準(zhǔn)。

表1 任務(wù)參數(shù)Table 1 Mission parameters

根據(jù)文獻(xiàn)[4]所述的像質(zhì)評價標(biāo)準(zhǔn),為了使像質(zhì)能夠適用于詳查任務(wù),應(yīng)使單次曝光時間內(nèi)的像移不超過1個像元分辨率,從而可以得到成像期間的自旋角速度Ω應(yīng)不超過8.211 (°)/s。將其代入文獻(xiàn)[4]中的計算公式可以得到,在一個環(huán)掃周期內(nèi),相機(jī)開機(jī)時的環(huán)掃相位角θ0=73.763°,相機(jī)開機(jī)時長τ1=25.544 s。由于相機(jī)幀頻為4 Hz,故對τ1向上取0.25 s的整數(shù)倍,即τ1=25.750 s,對應(yīng)一個環(huán)掃周期內(nèi)相機(jī)關(guān)機(jī)時長τ2=9.861 s。

衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)參數(shù)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制能力如表2所示。根據(jù)衛(wèi)星工程參數(shù)可以得到角加速度的理論值aω=8.594 (°)/s2。此外,干擾力矩Td的組成包括重力梯度力矩、氣動力矩和太陽光壓力矩等。根據(jù)衛(wèi)星軌道參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù),將式(22)中的集總不確定性d的上界取為Θi=2×10-6N·m(i=1,2,3)。

表2 衛(wèi)星參數(shù)Table 2 Satellite parameters

上表中,氣動力壓心和太陽光壓壓心坐標(biāo)是在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系ObXbYbZb下描述的。

4.2 基于(w,z)參數(shù)的控制策略仿真分析

首先根據(jù)表2給出的執(zhí)行機(jī)構(gòu)最大角動量,代入式(26)可以得到τ3=1.541 s。根據(jù)式(28),bang-bang控制階段執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和時長τ5=0.909 s。從而可以得到固定時間滑模控制階段的收斂時間不應(yīng)超過τ4=τ2-2τ3-τ5=5.869 s。根據(jù)3.1節(jié)設(shè)計的控制策略,可以得到期望角速度和期望(w,z)參數(shù)的軌跡如圖4所示。從圖4(a)中可以注意到,Xb和Yb軸的角速度為軌道角速度ωo的分量,因此其變化軌跡類似于以環(huán)掃周期為周期的正(余)弦函數(shù)。由于參數(shù)wr表征垂直于自旋軸的運(yùn)動,因此從圖4(b)可以看出,其變化軌跡也類似于以環(huán)掃周期為周期的正(余)弦函數(shù)。由于參數(shù)zr表征繞自旋軸的運(yùn)動,因此在圖4(c)中,其變化軌跡以環(huán)掃周期為周期在[0, 2π)范圍內(nèi)運(yùn)動。

圖4 期望角速度和期望(w,z)參數(shù)軌跡Fig.4 Reference angular velocity and (w,z) parameter’s tracks

將上述控制參數(shù)代入控制器(29),給出兩個環(huán)掃周期內(nèi)的姿態(tài)仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)可以看出,滑模量在不超過1.5 s的時間內(nèi)收斂到滑模面s=0附近的鄰域內(nèi);圖5(b)顯示了姿態(tài)角速度變化曲線,姿態(tài)角速度控制精度優(yōu)于2×10-4(°)/s;由圖5(c)可以注意到,由于bang-bang控制階段產(chǎn)生的開環(huán)控制誤差主要體現(xiàn)在Zb軸上,而誤差w參數(shù)反映的是Xb和Yb軸的控制誤差,因此在從bang-bang控制階段切換到固定時間滑模控制階段的時刻前后,誤差w參數(shù)的量級變化不大,誤差w參數(shù)的控制精度優(yōu)于2×10-7,根據(jù)文獻(xiàn)[9],在小偏差的情況下,w參數(shù)的偏差值約為偏差角弧度值的一半,因此Xb和Yb軸的姿態(tài)控制精度(亦即自旋軸的指向精度)約為4×10-7rad(即2.292×10-5(°));誤差參數(shù)z的值即為自旋相位角偏差的弧度值,如圖5(d)所示,Zb軸的姿態(tài)控制精度優(yōu)于2×10-8rad(即1.146×10-6(°))。根據(jù)圖5(b)～(d),誤差角速度和誤差姿態(tài)的實際收斂時間均不超過1.5 s,實現(xiàn)了在不超過τ4的時間內(nèi)收斂。

圖5 姿態(tài)仿真結(jié)果Fig.5 Attitude simulation results

從仿真結(jié)果可以看出,基于(w,z)參數(shù)的控制策略將衛(wèi)星的對地軸定向和自旋運(yùn)動分開描述,使得垂直于自旋軸和繞自旋軸的運(yùn)動在控制過程中的相互影響較小,在抖振抑制較好的情況下,能夠?qū)崿F(xiàn)較高的控制精度。

5 結(jié) 論

為了實現(xiàn)新體制光學(xué)遙感衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃的閉環(huán)控制,本文給出了變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制問題的數(shù)學(xué)模型,基于(w,z)參數(shù)設(shè)計了bang-bang控制與固定時間滑模控制相結(jié)合的控制策略,給出了期望的姿態(tài)軌跡,并且證明了設(shè)計的控制策略能夠在下一周期相機(jī)開機(jī)時達(dá)到期望的自旋角速度和自旋相位角。仿真結(jié)果表明,所提出的控制策略能夠有效地實現(xiàn)光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制。在抖振抑制效果較好的情況下,基于(w,z)參數(shù)的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)較高的控制精度。本文所提出的控制策略對于光學(xué)環(huán)掃成像衛(wèi)星變轉(zhuǎn)速環(huán)掃控制具有工程指導(dǎo)價值。在本文所提出的控制策略的基礎(chǔ)上,也可結(jié)合星載計算機(jī)算力、姿態(tài)確定誤差等其它工程技術(shù)指標(biāo),對控制策略和控制律進(jìn)行適應(yīng)性改進(jìn)。