預定時間多導彈三維協同制導律

池海紅，丁棲航，張國良

(1. 哈爾濱工程大學智能科學與工程學院，哈爾濱 150001；2. 中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

0 引 言

隨著各種軍用高速飛行器機動能力的不斷提升,用單枚導彈來打擊這種具有高速高機動特性的目標變得越來越困難[1-3]。由于近年來多智能體一致性理論和信息通信技術的快速發展,使各導彈間的實時信息通信成為可能。在成員間可以進行信息交互的基礎上,多枚導彈協作打擊目標成為一種有效且可行的打擊方法。因此,對協同制導律的研究對于未來戰場具有非常重要的意義。

協同制導律要求打擊系統中的每個成員必須同時命中目標,甚至在此基礎上,要求各導彈以各自不同的視線角來命中目標,以達到對目標更好的毀傷效果[4-6]。

文獻[7]針對反艦導彈,首次提出了攻擊時間可控制導律(ITCG),其將比例導引律結合攻擊時間誤差偏置項得到導引律,通過對各反艦導彈預置相同的攻擊時間,使多枚反艦導彈同時命中目標。文獻[8]根據攻擊時間誤差和視線角誤差設計了一個新型的滑模面,在各導彈同時擊中目標的基礎上,各導彈可以達到各自的期望視線角。協同制導系統采用這類打擊方式時,各個導彈之間沒有通信,等同于每一枚導彈單獨在期望攻擊時間約束下進行打擊,對靜止和慢速移動的目標具有較好的打擊效果,但在突發情況下預設理想攻擊時間是不太現實的。

隨著信息通信技術的發展,導彈之間的信息共享也成為可能。文獻[9]在傳統ITCG基礎上,由各導彈的攻擊時間實時均值與實際攻擊時間的誤差組成ITCG中的誤差反饋項,不再需要預設期望的攻擊時間。伴隨有限時間控制理論和多智能體一致性理論的興起,結合兩種理論的協同制導律也得到了快速發展。文獻[10]根據有限時間控制理論,設計了有限時間一致性協議,并在此基礎上設計了協同制導律,使各導彈可以在有限時間內同時命中固定目標,最后在協同制導系統中增加了擴張狀態觀測器來觀測目標的機動信息,增強了系統的魯棒性。文獻[11]設計了有限時間擾動觀測器來觀測機動目標的加速度,并設計了新型的非奇異快速終端滑模面(NFTSM),兩者結合設計了一種可打擊機動目標的協同制導律。文獻[12]針對大機動目標,設計了基于自適應超螺旋滑模控制理論的一階有限時間一致性協議,在此基礎上在視線方向設計協同制導律,在有限時間內將攻擊時間收斂到一致的同時,有效地保證了系統存在外部擾動時的魯棒性;此外在視線法向設計了基于自適應律和有限時間NFTSM的協同制導律,使視線角在有限時間內收斂到期望值。盡管有限時間協同制導律可以在有限時間內完成各導彈的攻擊時間趨于一致和各導彈的視線角達到期望值的任務,但系統收斂時間上界很大程度取決于系統的初始值,在系統初始值很大或者不可確定的時候,收斂時間上界也可能會變得很大甚至不可預測。

隨著固定時間控制理論的興起,結合了固定時間控制理論的協同制導律得到了快速發展,固定時間控制有著系統收斂時間上界與系統初始狀態無關的優點。文獻[13]設計了二階固定時間一致性協議和固定時間滑模面,并將兩者結合設計了協同制導律,針對固定目標,在三維空間中進行了仿真驗證。文獻[14]在視線方向上設計了基于固定時間多智能體一致性理論的攻擊時間協同制導律,在視線法向設計固定時間NFTSM,針對高機動目標在固定時間內滿足視線角約束下的攻擊時間一致。文獻[15]基于固定時間一致性理論為多個主飛行器設計了協同制導律,使各個主飛行器可以在固定時間內同時命中目標,并為各個主飛行器所在群組中的從飛行器設計協同制導律,使每個組的從飛行器可以與其所在組的主飛行器的攻擊時間在固定時間內達到一致,最后使整個打擊群組在固定時間內同時命中目標。盡管固定時間協同制導律可以使系統收斂時間上界通過控制器參數準確確定,然而兩者之間卻沒有較為明確的關系,大多數情況下都需要經過對控制器參數的復雜運算才能確定具體值。

為了克服有限時間控制和固定時間控制的缺點,文獻[16]首次提出了預定時間控制理論,其最大的優點在于系統收斂時間的上界可以通過一個控制器中的顯式參數直接設置,不再需要對控制器中的多個參數進行復雜運算。文獻[17]根據預定時間控制理論,在二維空間中在切換通信拓撲下設計了基于預定時間一致性的協同制導律,使得各導彈的攻擊時間在預定時間內收斂到一致。

受以上文獻啟發,針對三維空間中的機動目標,設計基于視線角約束和攻擊時間約束的預定時間三維協同制導律。貢獻如下,設計了一個新的預定時間收斂的非線性系統,其收斂時間上界可以通過顯式參數直接進行設置。基于此系統設計了新的預定時間多智能體一致性協議,在此基礎上設計了視線方向的協同制導律,使各導彈的攻擊時間在預定時間內收斂到一致。此外設計了新型預定時間收斂非奇異快速終端滑模面,在此基礎上設計了視線法向的協同制導律,使各導彈的視線角可以在預定時間內達到期望值。

1 預備知識和問題描述

1.1 代數圖論

在本文中,假設各導彈之間可以相互共享信息,既通信方式為雙向通信,所以導彈之間通信拓撲圖可以用無向圖G=(v,ζ,A)來表示,v=(v1,v2, …,vn)是無向圖G的所有節點的集合;ζ代表了無向圖G中節點之間的連線;A=[aij]∈Rn×n為權重系數矩陣。在本文中,如果導彈i和j可以實現相互通信,則aij=aji=1,否則aij=aji=0。如果無向圖中任意兩個節點都可以通過一條無向路徑連接起來,則稱此無向圖是連通的。

引理1.[18]設LA=[lij]∈Rn×n為與無向圖G相對應的拉普拉斯矩陣,矩陣定義為

(1)

且LA具有如下性質:

1)0是LA的一個特征值,且其對應特征向量為1N=[1,…,1]T∈Rn。

3)如果無向圖G是連通的,λ2(LA)>0是LA的第二大特征值。

引理2.[19]設x1,x2,…,xn≥0,有如下性質:

(2)

1.2 固定時間穩定和預定時間穩定

考慮如下一類非線性系統

(3)

式中:x∈Rn為系統狀態;f(x;ρ):Rn→Rn是一個非線性函數,ρ∈Rb為系統的常量參數,假設原點為系統的平衡點,所以f(0;ρ)=0。系統的初始狀態為x0=x(0)∈Rn。

定義1.[20]如果系統(3)是全局漸近穩定的,并且對于?x0∈Rn,存在0≤T<∞,當t>T時,系統(3)的解滿足Φ(t,x0)=0,且系統狀態收斂到原點的收斂時間函數T(x0)=inf{T≥0:Φ(t,x0)=0, ?t≥T},其中T:Rn→R+∪{0},此時稱系統(3)為全局有限時間穩定。

定義2.[21]如果系統(3)是全局有限時間穩定的,并且收斂時間的上界是與系統初始狀態無關的,即?Tmax>0,對于?x0∈Rn,滿足T(x0)≤Tmax<∞,此時稱系統(3)為全局固定時間穩定。

注1.對于?x∈R,且k>0,定義sigk(x)=|x|ksgn(x)。對于?x=[x1,…,xn]T∈Rn, sigk(x)=[sigk(x1),…,sigk(xn)]T。

引理3.[22]考慮如下受到擾動的二階非線性系統

(4)

對系統(4)設計固定時間擾動觀測器

(5)

(6)

定義3.[23]對于系統(3),如果參數ρ和預定的參數Tp滿足關系:Tp=Tp(ρ)>0。如果系統(3)是固定時間穩定的,且對于?x0∈Rn,收斂時間T(x0)滿足T(x0)≤Tp<∞,此時稱系統(3)為全局預定時間穩定,即系統的收斂時間上界可以由系統中的一個參數直接獲得。

定理1.設計一個新的預定時間收斂系統

(7)

式中:x∈R為系統狀態,對于?x0=x(0)∈R,Tp>0, 0<α<1,k>0為系統參數,則系統(7)是全局預定時間穩定的,且收斂時間滿足supx0∈RT(x0)=Tp。

證.設Lyapunov函數為

V=x2

(8)

對上式求導得

(9)

進一步得

(10)

進而可得系統狀態收斂到原點的時間T(x0)

(11)

可得系統收斂時間滿足

supx0∈RT(x0)=Tp

(12)

由定義3可知,系統為預定時間穩定,預定的收斂時間上界為Tp。

注2.文獻[23]設計了一個預定時間收斂系統,考慮到其設計的預定時間收斂系統中的各項不能以各自不同的倍數進行放縮,本文定理1在其設計的系統基礎上增加了這一功能,設計了一個新的預定時間收斂系統,相較于原有系統,新系統提升了系統的可調整性的同時保留了預定時間收斂特性。

1.3 協同制導問題描述

在三維空間中,多個導彈協作打擊敵方目標,在末制導階段單枚導彈與目標的三維幾何關系如圖1所示。OXYZ為慣性坐標系,OXLYLZL為視線坐標系;M為導彈,T為目標;R,θL和ψL分別代表彈目相對距離、視線傾角和視線偏角;AMx,AMy,AMz和ATx,ATy,ATz分別為導彈的加速度AM和目標的加速度AT在視線坐標系下的分量。

圖1 導彈目標攔截示意圖Fig.1 Missile-target engagement geometry

由圖1可以得到彈目三維相對運動模型為式(13)～(15)

(13)

(14)

(15)

式中:amx,amy,amz和atx,aty,atz分別為AMx,AMy,AMz和ATx,ATy,ATz的大小,皆為標量。將第i枚導彈的彈目相對運動模型分為視線方向和視線法向建立狀態空間模型。

與式(13)～(15)結合可以得到第i枚攔截彈的彈目相對運動狀態空間模型為

(16)

式中:

第i枚導彈的剩余攻擊時間tgoi可近似得

(17)

攻擊時間tfi可以近似為

tfi=t+tgoi

(18)

將式(18)求導并與式(16)聯立,得到包含視線角約束的協同制導模型為

(19)

(20)

2 預定時間協同制導律設計

在本節中,將會分別設計視線方向的協同制導律ari和視線法向的協同制導律ai,其中ari使各導彈的攻擊時間在預定時間內收斂到一致,ai使各導彈在預定時間內達到各自的期望視線角。

假設1.存在0≤dr,d1,d2<∞,使得|di(1)|

2.1 視線方向預定時間協同制導律設計

為了提升對目標打擊的成功率,本文采用多枚導彈協作同時命中目標的打擊方案。本節基于預定時間控制理論,針對一階多智能體系統,設計一種新的預定時間多智能體一致性協議,在此基礎上,基于本文的協同制導問題,以各導彈的攻擊時間tfi為協調狀態,結合固定時間擾動觀測器式(5)設計視線方向的協同制導律ari,引入固定時間擾動觀測器目的在于觀測目標加速度在視線方向上分量的大小,設T*為預先設定的不變常數,使各導彈的攻擊時間在預定時間內達到一致,并通過設計相應的Lyapu-nov函數嚴格證明了本文提出的預定時間協同制導律可以使協同制導系統達到預定時間穩定。

視線方向協同制導模型為

(21)

根據定理1設計一種新的預定時間一階多智能體一致性協議

(22)

式中:Tc>0, 0<αr<1,kr>0,i=1,…,n,λ2(LA)min為無向通信拓撲圖為連通情況下λ2(LA)的最小值,n為智能體的個數。

設視線方向的預定時間協同制導律ari

(23)

定理2.在假設1和各導彈的通信拓撲始終為連通的前提下,針對系統(21),基于預定時間一致性協議(22)設計的預定時間協同制導律(23)可以使各導彈的攻擊時間在預定時間T*+Tc內趨近于一致。

證.將協同制導律(23)代入到系統(21)中可得:

(24)

(25)

設Lyapunov函數為

(26)

式中:tf=[tf1,tf2,…,tfn]T,tf的初值tf0=tf|t=0。

(27)

根據引理2,可得

(28)

各導彈的通信拓撲圖G始終是連通的,所以LA始終是對稱的半正定矩陣。可得

LA=P-1ΛP

(29)

(30)

從式(30)可知,滿足引理1中性質(4)的應用條件,根據引理1可得

(31)

因為

(32)

將式(31)和式(32)代入式(28)中可得

(33)

設Vr1=2λ2(LA)Vr,則上式轉化為

(34)

將上式進一步展開

(35)

對上式積分可得

(36)

由上式積分可得各導彈的攻擊時間收斂到一致所需的收斂時間T(tfo)滿足

(37)

由上式可知

suptf0∈RnT(tf0)=Tc

(38)

對于?t>T*+Tc,Vr=0,即tfi=tfj,其中i,j=1,…,n,即各導彈的攻擊時間在預定時間內達到一致。

注 3.通過在協同制導律(23)中加入λ2(LA)min,就會滿足不等式(36),所以,在制導過程中發生通信拓撲切換但保持連通的情況下,系統的收斂時間上界并不會發生任何改變,依然是在設定的預定時間內穩定。

綜上所述得到結論,系統(21)在協同制導律(23)的控制下,各導彈的攻擊時間可以在預定時間T*+Tc內收斂到一致。證明完畢。

2.2 視線法向上協同制導律設計

在本節中,基于實際打擊任務,期望導彈以不同的視線角直接命中目標,以達到對目標的最大毀傷效果,本節基于預定時間控制理論,設計一個新的預定時間非奇異快速終端滑模面和預定時間滑模趨近律,針對視線角約束問題,在視線法向設計由引理3中的擾動觀測器和本文設計的新型預定時間非奇異快速終端滑模面組合的預定時間協同制導律ai,使各導彈在預定時間內達到期望的攻擊角,同樣的,引入擾動觀測器的目的在于觀測目標加速度在視線法向上的分量。

根據文獻[24]設計非線性函數w(x),同時定義非線性函數f(x)

(39)

f(x)=sig1+α2i(x)

(40)

式中:x∈R, 0<α2i<1, 0<δ<1,w0=(1+α2i)δ-α2i,σ0=-α2iδ-(α2i+1)。

w(x)和f(x)的導數為

(41)

(42)

根據定理1設計預定時間非奇異快速終端滑模面

(43)

式中:T2i>0,k2i>0,Si=[Si(1),Si(2)]T,Si的初值Si0=Si|t=0,w(x3i)=[w(x3i(1)),w(x3i(2))]T,f(x3i)=[f(x3i(1)),f(x3i(2))]T,i=1,…,n,n為導彈的個數。

定理3.針對系統(20),在系統到達了式(43)所示的預定時間非奇異快速終端滑模面后,各導彈的視線傾角θLi和視線偏角ψLi均可以在預定時間T2i內達到期望值。

證.系統到達滑模面(43)后,即Si=0。

在系統剛到達滑模面時,如果系統狀態x3i滿足|x3i(j)|>δ,j=1,2。此時滑模面Si為

(44)

由上式可得

(45)

設Lyapunov函數為

(46)

對上式求導得

(47)

根據引理2可得

(48)

根據定理1,在到達滑模面(43)之后,x3i可以在預定時間T2i內到達零附近得小鄰域內,這個小鄰域為|x3i(j)|≤δ,j=1,2。

當|x3i(j)|≤δ,j=1,2,滑模面Si滿足

(49)

由上式可知

(50)

根據式(46)可得

(51)

由式(51)可知,系統(50)會在|x3i(j)|≤δ的范圍內,j=1,2,x3i會繼續向系統原點進行收斂,且滿足漸進收斂條件。

注4.從后文可知,由于預定時間協同制導律(54)中存在負冪次項(1-α2i)|x3i(j)|-α2ix4i(j),j=1,2,在系統接近平衡點時式(54)會存在奇異現象,所以借鑒文獻[24],通過設計w(x)對滑模面進行分段處理,當系統狀態進入到平衡點附近的小鄰域時,用非奇異的項將負冪次項替換掉,其中w(x)中系數設計原則在于,在解決奇異問題且保證系統穩定的基礎上,使w(x)的一階導數連續,防止因滑模面分段造成控制律的不連續,從式(49)～(51)可知,在進入到滑模面的第二階段后,系統滿足漸進收斂條件,盡管系統并不是直接收斂到平衡點,但本文通過設定小的滑模面分段值δ=0.01,其對應到本問題中的視線角誤差約為0.57°,這就是說在預定時間內可以使視線角誤差達到0.57°,且通過后文的仿真驗證可知,視線角是可以在預定的收斂時間上界內,與期望值的差值達到(10-3)°級別。

證明完畢。

進一步地,對式(43)求導得

Ai+Biai+di

(52)

設計預定時間滑模趨近律為

(53)

式中:T1i>0, 0<α1i<1,k1i>0。

將式(53)和式(52)聯立可得系統(20)的預定時間協同制導律

(54)

定理4.針對系統(20),協同制導律(54)可以使系統在預定時間T*+T1i內到達滑模面。

證.將協同制導律(54)代入式(52)可得

(55)

選取Lyapunov函數為

(56)

對其求導得

(57)

(58)

根據引理2,可得

(59)

根據定理1,可知系統(20)在預定時間內到達滑模面,滑模面收斂時間T(Si0)滿足

supSi0∈R2T(Si0)=T1i+T*

(60)

進一步地,系統(20)的系統狀態收斂時間T(x3i(0))滿足

supx3i(0)∈R2T(x3i(0))=T1i+T2i+T*

(61)

綜上所述,本節通過設計合理的Lyapunov進行了的嚴格的穩定性證明,本文設計的協同制導律ari和ai,可以使各導彈的攻擊時間在預定時間內收斂到一致,且可以使各導彈的視線角在預定時間內達到期望值。

3 仿真校驗

在本節中,以在三維空間中三枚導彈攔截一個機動目標為背景,驗證本文提出的預定時間協同制導律的有效性,由于在2.1節中得出了本文的協同制導律可以保證各導彈在切換通信拓撲但保持連通的情況下,各導彈的攻擊時間也可以在預定時間內收斂到一致的結論。所以本文直接在如圖2所示的切換通信拓撲條件下進行數學仿真。

圖2 通信拓撲圖切換過程Fig.2 Communication topology change process

圖2中M1,2,3分別代表導彈1,2,3。表1中x,y和z為目標以及各導彈在慣性坐標系下的位置坐標,θ,ψ和v分別為彈道傾角、彈道偏角和速度值。

表1 初始參數Table 1 Initial parameters

協同制導系統的初始條件見表1。

假設各導彈的法向加速度最大為10g,軸向加速度最大為5g,g=9.8 m·s-2,目標在三維空間中做機動規避的加速度在其速度坐標系下的表示見表2。

表2 目標加速度Table 2 Acceleration of the target

在上述一系列數學仿真背景的設定下,進行了對本文設計的預定時間協同制導律的數學仿真校驗。將仿真校驗分為兩部分,3.1節為驗證預定時間制導律(23)和(54),并將其與目前主流的如文獻[14]中所設計的固定時間協同制導律進行對比分析,仿真結果如圖3所示。3.2節對比了不同的預定時間參數設定對協同制導系統的影響,仿真結果如圖4所示。

圖3 第一組參數下的仿真結果Fig.3 Simulation results of the first set of parameters

圖4 第二組參數下的仿真結果Fig.4 Simulation results of the second set of parameters

3.1 預定時間和固定時間協同制導律對比分析

具體的協同制導系統的預定時間協同制導律參數設計為:視線方向協同制導律參數:Tc=55,n=3,λ2(LA)min=1,kr=20,αr=0.5。視線法向上協同制導律參數:δ=0.01,T2i=30,α2i=0.7,k2i=3,T1i=25,α1i=0.4,k1i=3,i=1,2,3,固定時間擾動觀測器的收斂時間上界T*=10,簡要來講,各導彈攻擊時間的預定收斂時間上界為T*+Tc=65 s,各導彈達到期望視線角的預定收斂時間上界為T*+T1i+T2i=65 s,各導彈的脫靶量如表3所示,仿真圖像如圖3所示。

在文獻[14]中,基于固定時間一致性協議在視線方向上設計了協同制導律,又在視線法向上設計了基于固定時間非奇異快速終端滑模的協同制導律,文獻[14]中設計的協同制導律具體內容如下。

根據文獻[14],基于本文的背景下,針對系統(21),設計了視線方向協同制導律為

(62)

各導彈攻擊時間的收斂到一致的收斂時間上界具體表達式為

(63)

針對系統(20),設計了固定時間非奇異快速終端滑模面

Sci=x4i+k1cisiga1ci(x3i)+k2cisiga2ci(x3i)

(64)

式中:a1ci>1,00,k2ci>0。

在滑模面(64)的基礎上設計了視線法向的協同制導律為

(k1cia1cidiag(|x3i(1)|a1ci-1, |x3i(2)|a1ci-1)+

k2cia2cidiag(|x3i(1)|a2ci-1,

|x3i(2)|a2ci-1))x4i]

(65)

系統到達滑模面時間上界滿足

(66)

系統狀態x3i到達系統原點時間上界滿足

(67)

由于篇幅有限,不在文中展示此固定時間協同制導律的仿真圖像,文中將只針對預定時間收斂和固定時間收斂這兩種系統收斂方式的特點進行分析對比。

從表3、圖3(a)～(b)可知,本文設計的預定時間協同制導律可以使三枚導彈同時命中機動目標,且從脫靶量來看,打擊的準確度達到了厘米級別。從圖3(c)可知,本文設計的預定時間協同制導律可以使各導彈的剩余攻擊時間在7.32 s時達到一致,滿足預期設定的在預定時間65 s內各導彈的攻擊時間收斂到一致的設計目標。從圖3(d)～(e)可知,視線角速率可以在25.10 s之前穩定到零附近極小鄰域內,滿足在預定時間65 s內收斂到零附近極小鄰域的要求。

從圖3(f)～(g)也可知,在25.27 s之前,θL和ψL與期望值的差值已經達到了(10-3)°級別,滿足了在預定時間65 s內達到預定時間穩定的要求。由于篇幅原因,以第一枚導彈的視線方向控制輸入為例來分析制導系統控制輸入的變化過程,從圖3(h)可知,控制輸入是連續無抖振無奇異的,控制輸入飽和持續時間較短,這對于實際協同制導系統來說,有利于維持制導系統的穩定性。以第一枚導彈對目標視線方向機動信息的觀測情況為例來分析觀測器的觀測效果,從圖3(i)可知,擾動觀測器分別可以在6.89 s之前準確地觀測外部擾動,滿足其固定時間10 s內準確觀測外部擾動的要求。

綜上所述,本文設計的預定時間協同制導律在確定協同制導系統的收斂時間上界方面更具優勢,因為可以通過協同制導律中的顯式參數直接確定系統收斂時間上界,而從式(63)和式(66)～(67)可知,文獻[14]中系統收斂時間上界盡管與系統初始條件無關,但收斂時間上界的表達式構成復雜,系統收斂時間上界和某個參數之間沒有太直接的聯系,這也體現了預定時間協同制導律的優勢。

3.2 不同預定時間參數下的對比仿真

在3.1節中協同制導律參數的選取原則為預定的系統收斂時間上界接近于整個協同制導系統的工作時間,由于預定的時間本身就是系統的收斂時間上界,所以這樣的參數設計是可以完成任務要求的。為了對比不同預定時間參數下協同制導系統的動態表現,由于篇幅有限,只為預定時間協同制導律設置第二組參數,其選擇原則為追求更短的協同制導系統的收斂時間上界,具體協同制導律參數為Tc=20,T2i=30,T1i=5,T*=15,i=1,2,3,其余參數與3.1節中相同,同樣的,簡要來講,各導彈攻擊時間的預定收斂時間上界為T*+Tc=35 s,各導彈達到期望視線角的預定收斂時間上界為T*+T1i+T2i=50 s,同樣由于本文篇幅有限,圖4中僅展示第二組參數下的部分仿真圖像。

從圖4中各圖分析可知,同第一組參數設定下的仿真相比,第二組參數下的制導系統攻擊時間收斂過程中的動態表現變差,且控制輸入飽和持續時間更長,視線角速率和視線角等收斂速度提升不是非常明顯。綜上所述,將預定收斂時間上界設置的過短,由于導彈自身的過載限制,對系統實際的收斂速度提升有限,但控制輸入飽和持續時間變長,進而影響了擾動觀測器的收斂速度,最后影響了各導彈攻擊時間收斂的速度和動態表現。

4 結 論

本文針對在三維空間中多枚導彈協同打擊機動目標的問題進行研究,首先在視線方向上,基于新設計的預定時間一致性協議設計了視線方向的協同制導律,可以使各導彈的攻擊時間在預定時間內收斂到一致;此外,在視線法向上,基于新設計的預定時間非奇異快速終端滑模面和趨近律,設計了視線法向的協同制導律,使各導彈的視線角可以在預定時間內達到期望值。最后,對本文設計的預定時間協同制導律進行了相應數學仿真驗證,并與固定時間協同制導律進行對比分析,又對不同預定時間參數設定下的協同制導系統的仿真表現進行了分析。綜上所述,表明本文設計的預定時間協同制導律是有效的。