多版本高中數學教材統計思維水平和復雜性的比較研究

李小雙 楊新榮

摘? ? ? 要?培養學生統計思維已成為當前國際統計教育討論的焦點，而教材作為主要的教學資源是培養統計思維的重要載體。采用定量與定性分析結合的方法，基于統計活動視角比較分析人教A版、北師大版、湘教版三版高中新數學教材呈現的統計思維水平和復雜性發現：三版教材都重視“提出統計調查問題”“分析數據”“解釋結果”過程，但在“收集或考慮數據”過程提供的學習機會較少；各過程下不同水平的統計思維均有呈現，但水平分布不均衡；都比較重視各過程統計思維的協同作用，但沒有考慮各過程之間的實質性關聯。據此，提出以下建議：全面均衡各過程統計思維發展機會，均衡統計思維的水平分布，合理、適度配置高復雜性任務，加強信息技術的融入。

關 鍵 詞 統計活動? 統計思維? 復雜性? 高中數學教材

李小雙，楊新榮.多版本高中數學教材統計思維水平和復雜性的比較研究[J].教學與管理，2023（27）：27-32.

一、研究背景

隨著大數據時代的迅猛發展，統計在政治、經濟、文化、日常生活等方面的應用不斷加深，用統計的思維方式思考和解決問題是大數據時代對公民的必然要求。由此，培養學生的統計思維已成為國際統計教育研究的焦點之一。如美國統計教育學（American Statistical Association，以下簡稱ASA） 明確指出美國統計教育的目標在于培養具有統計思維的時代新人[1]。芬蘭2016年正式實施的《國家基礎教育核心課程》也將思考與學會學習的能力確定為七大核心素養之一，其對應到統計領域就是用統計的思維方式思考問題，指向統計思維的培養[2]。學術界對于“統計思維”的探討源于1994年國際統計教育年會[3]。一般而言，當前國內外研究者多從統計活動過程入手描述每個過程的認知特征[4]。如Mooney將統計思維劃分為四個過程：數據描述、數據組織和簡化、數據呈現、數據分析和解釋[5]。ASA在2007年發布的《學齡前至十二年級統計教育評估和教學指南》[Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education（GAISE）Report：A Pre-K-12 Curriculum Framework，以下簡稱GAISE Ⅰ]將統計思維劃分為如下過程：提出問題、收集數據、分析數據、解釋結果、關注變異[6]。GAISEⅠ的這種界定為統計教育提供了比較明晰的指引，不過其數據已不能滿足當前大數據時代的需要。大數據時代背景下，數據已經變的更為動態、復雜和高度結構化（或非結構化）的圖片或聲音合集，數據形態更加多元，數據集龐大且隨時可用[7]。為適應大數據與數字化時代的需要，ASA對GAISEⅠ進行了改進和更新，在2020年發布了《學齡前至十二年級統計教育評估和教學指南Ⅱ》[Pre-K-12 Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education Ⅱ（GAISE Ⅱ）：A Framework for Statistical and Data Science Education，以下簡稱GAISE Ⅱ]。GAISE Ⅱ將統計思維劃分為：提出統計調查問題、收集或考慮數據、分析數據和解釋結果[8]。特別的，GAISE Ⅱ將對變異的關注融入了各個過程，并強調不同問題類型和信息技術的使用，對統計思維的描述變得更為詳細和全面。

由于我國統計教育起步較晚，《全日制普通高級中學數學教學大綱（1996年版）》首次在高中增加了統計內容，2003年《普通高中數學課程標準（實驗）》將統計內容納入必修課程，《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱課標）將概率與統計作為一條主線貫穿必修、選擇性必修和選修課程，同時提出六大核心素養之一的“數據分析素養”[9-10]，而統計思維正是數據分析素養的核心[11]。這充分顯示統計內容的地位在不斷提升，也表明我國當前高中數學課程對統計教育目標的轉變：不僅重視統計概念的理解，更強調用統計思維去分析實際問題的重要性[12]。不過實際上，學校的統計教育并不能滿足現代社會對統計學習的需求[13]。如相關實證研究表明，學生學習高中統計內容后的統計思維水平處于中低層次（知曉術語、概念和過程的水平），不能運用其解決實際問題的現象時有發生[14]。因此，進一步完善和發展統計內容也就成為時代發展和課程發展的新要求[15]。誠然學生統計思維的發展受多種因素的影響，但教材所提供的統計任務是核心因素。然而，當前鮮有研究探尋我國高中統計教材中任務的統計思維水平和復雜性。因此，本文選取2019年出版的人教A版、北師大版、湘教版三版高中數學教材進行探究，以期為我國教材建設和教學實踐提供參考。

二、研究設計

1.研究對象和內容

本文選取2019年出版的三種使用范圍較廣的的教材，所選擇的數學教材和比較的對象見表1。

由于不同教材的欄目設置不盡相同，為研究各版教材問題解決所需要的統計思維水平，本文主要對教材中的例題和習題進行統計分析。統計的教材欄目包括：人教A版的“練習”“習題”“例題”“復習參考題”；北師大版的“例題”“練習”“習題”“復習題”；湘教版的“練習”“習題”“例題”“復習題”。

2.比較框架及編碼

如前所述，統計思維貫穿于統計活動的全過程。本文將GAISEⅡ提出的框架作為統計思維比較框架。GAISEⅡ基于統計活動視角，從過程和水平兩個維度刻畫統計思維[16]（見表2）。

過程維度上統計思維可明確為4個過程：提出統計調查問題、收集或考慮數據、分析數據和解釋結果。其中，提出統計調查問題是指提出探究數據規律的問題；收集或考慮數據是指在考慮到變異來源的基礎上設計數據收集方案，并對獲得的數據進行審視；分析數據是指理解數據的變異性，用統計圖表和數字特征去探索、描述和比較變異，建立統計模型探究變量之間的關系；解釋結果是指允許變異的存在，獲得超出數據之外的解釋[17]。“變異”是統計學中的術語，指總體各單位由于隨機因素引起的某一標志表現的差異[18]。

統計思維的各個過程可進一步劃分為A、B、C三個水平。三個水平主要刻畫統計思維的發展過程，也就是進入后一水平需要理解和經歷前一水平的統計概念和活動[19]，因此本文延用GAISEⅡ提出的A、B、C三水平來分析教材中統計思維的不同發展水平。

在具體編碼時發現當前必修和選擇性必修部分題目的統計思維水平差異較大，分別對應不同年級學生，因此本文將兩部分分開統計以展現不同年級間統計思維水平的差異。此外，當一題目包含多個問題且未拆分成帶編號的小題時，將其作為一個題目統計。由于一個題目可能涉及多個統計活動過程，因此對不同的過程進行編碼，即一個題目可能具有幾個過程的表現。但對于思維水平，當題目涉及某一過程的多個水平時，僅取最高水平編碼。

參照統計思維框架，以下題為例進行具體編碼：人教A版練習題：統計你們班所有同學的鞋號，選擇合適的統計圖進行描述，并分析鞋號的分布有什么特點，能用你們班同學鞋號的分布估計你所在學校全體高中學生鞋號的分布嗎？估計全國高中學生的鞋號分布呢？

上題包含多個小問，但未拆分成編號形式，因此作為一個題目統計。該題目每一小問的問題明確，不需要學生提出問題，在提出統計調查問題過程編碼為A水平；期望的數據收集活動將在班級范圍內開展全面調查，因此在收集或考慮數據過程編碼為A水平；描述數據分布需要學生選擇適當的方式如直方圖等，在分析數據過程編碼為B水平；能否將樣本數據分布推廣到更大的總體，需要學生認識到樣本泛化的局限性，在解釋結果過程編碼為B水平。

為保障編碼的可靠性，盡量降低主觀因素造成的誤差，編碼由兩位數學教育專業的研究生同時進行，并對編碼不一致的題目進行討論統一認識，最終編碼一致性達100%。

3.研究過程

采用定性分析與定量分析相結合的方法，依次分析人教A版、北師大版和湘教版三版高中數學教材統計部分的例習題數量、各過程統計思維占比、各水平統計思維占比和統計思維復雜性。其中，各過程統計思維占比是指涉及某過程統計思維的例習題數量與例習題總數量的比值，占比越高說明教材對該過程統計思維越重視。各水平統計思維占比是指涉及某過程某水平統計思維的題目數與例習題總數的比值，占比越高反映該過程該水平統計思維在統計教材中的考查越多。統計思維復雜性指具體一道題目所需的不同過程統計思維數量，按照所含統計過程數量依次劃分為1、2、3、4四級。

三、研究結果

1.例習題數量比較

各版教材的例習題總數量和頁均例習題數量如表3所示。由表3可知，人教A版和湘教版的例習題數量多于北師大版。不過例習題數量與教材篇幅也有一定關系，進一步計算例習題總數量與教材篇幅之比得到頁均例習題數量。從表3可知，湘教版無論是必修還是選擇性必修部分的頁均例習題數量都是最多的，而北師大版則最少。

2.統計思維水平總體比較

三版教材各過程統計思維占比情況如圖1所示。三版教材各過程統計思維占比有以下幾個共同點：（1）分布趨勢大體一致，在必修和選擇性必修部分占比最多的均為“提出統計調查問題”和“分析數據”過程，表明三版教材都更為重視這兩個過程的統計思維；（2）“收集或考慮數據”過程占比都比較低，特別在選擇性必修部分其占比均不足10%；（3）選擇性必修部分“解釋結果”過程統計思維占比高于必修部分，這可能是因為選擇性必修部分更強調建立統計模型解決實際問題，而具備實際背景的題目往往需要結合數據分析的結果進行解釋。

從圖1也可以看出三版教材的各過程統計思維占比呈現出一些差異。如必修部分，在“解釋結果”過程，人教A版和湘教版占比接近，同時遠高于北師大版。這一定程度表明，雖然三版教材都基于相同的課程標準編制，但對各過程統計思維的重視程度略有不同。

（1）“提出統計調查問題”過程的統計思維水平比較

對提出統計調查問題過程各水平統計思維占比（如圖2）進行分析，發現三版教材無論是必修部分還是選擇性必修部分，占比最高的均是A水平統計思維任務，B水平和C水平統計思維任務都幾乎沒有。具體而言，三版教材僅僅讓學生體驗了不同類型的統計問題，但很少提供給學生提出統計問題的機會，也就使得學生很少在統計活動的初始過程對變異有所思考，這樣就制約了學生在該過程上更高水平統計思維的發展。

（2）“收集或考慮數據”過程的統計思維水平比較

對收集或考慮數據過程各水平統計思維占比（如圖3）進行分析，可以看出在必修部分，三版教材都重視B水平統計思維，其中人教A版的占比相對更高。具體而言，B水平任務主要對應理解并使用隨機抽樣，對該水平重視與隨機思想在統計中的重要地位密不可分。此外，三版教材C水平任務占比都相對較低，其中北師大版C水平統計思維占比明顯高于其他兩版。

在選擇性必修部分，各版本教材涉及“收集或考慮數據”過程統計思維的題目都極少，且均沒有涉及C水平統計思維的任務。這表明在高年級階段，各版本教材傾向于提供已組織好的統計數據，忽視了收集或考慮二元數據的統計思維培養。

（3）“分析數據”過程的統計思維水平比較

對分析數據過程各水平統計思維占比（如圖4）進行分析，可知三版教材各水平統計思維占比分布較為一致。必修部分結果表明：三版教材都是B水平統計思維占比最高，其中湘教版更高于其他兩版。具體而言，B水平思維主要涉及對數據分布情況的描述。在A和C水平上，湘教版和北師大版占比相近。在A水平上人教A版占比明顯低于其他兩版，而在C水平上又高于其他兩版教材。具體而言，人教A版對C水平統計思維的重視主要體現在使用合適的數字特征度量數據的可變性。

在選擇性必修部分，三版教材B水平統計思維都占比最低，其中湘教版幾乎沒有。此外，三版教材C水平統計思維占比均最高，也就是說三版教材對通過統計模型研究變量關系的重視程度都非常高。

（4）“解釋結果”過程的統計思維水平比較

對解釋結果過程各水平統計思維占比（如圖5）進行分析，可看出在必修部分，三版本教材對A水平和C水平的統計思維培養都很少，最為重視B水平統計思維。這反映出，在必修部分三版教材的主要目標在于促進學生對隨機思想的理解，認識隨機抽樣是無偏的且基于此進行恰當的統計推斷。

對于選擇性必修而言，首先，A水平占比相對較多，湘教版依次高于北師大版和人教A版，表明三版教材對基于統計調查背景尋求數據結果解釋的重視程度有所區別。其次，三版教材均是B水平統計思維占比最低。最后，在C水平上，北師大版的占比最高，對理解統計推斷結果的或然性，恰當理解p值的重視程度遠超過其他兩版。

3.統計思維復雜性比較

三版教材統計思維復雜性分布如圖6所示。無論是必修部分還是選擇性必修部分，復雜性2和復雜性3的任務占比都最多，而復雜性為4的任務占比都極少，這也表明三版教材都更重視培養學生利用兩個過程或三個過程的統計思維解決問題的能力，很少培養學生使用全過程統計思維進行完整統計活動的能力。具體而言，復雜性為2級的任務類型組合主要為：“提出統計調查問題”和“收集或考慮數據”過程的組合；“提出統計調查問題”和“分析數據”過程的組合。而復雜性為3級的任務類型組合主要為“提出統計調查問題”、“分析數據”和“解釋結果”過程的組合。同時由于“提出統計調查問題”過程涉及的思維水平較低，復雜性2級的任務實質上也就更側重對單一過程統計思維的訓練，復雜性3級的任務則更為側重對“分析數據”和“解釋結果”這兩個過程統計思維的協同訓練。這表明，三版教材試圖協同發展各過程統計思維，但沒有深入思考各個過程之間的關聯，以及任務在統計思維訓練上的有效性。

四、結論與建議

基于統計活動視角，比較人教A版、北師大版和湘教版高中數學教材統計思維呈現的水平和復雜性，得到以下結論：三版教材都重視“提出統計調查問題”“分析數據”“解釋結果”過程，但在“收集或考慮數據”過程提供的學習機會較少；三版教材各過程下不同水平的統計思維均有呈現，但水平分布不均衡；三版教材都比較重視各過程統計思維的協同作用，但沒有考慮各過程之間的實質性關聯。針對三版教材普遍存在的問題，提出以下建議。

1.重視“收集或考慮數據”過程，全面均衡各過程統計思維發展機會

統計思維貫穿于統計活動的全過程，每一過程對統計思維發展都具有重要價值。但研究結果表明，各版教材都較為缺乏發展“收集或考慮數據”過程統計思維的機會。實際上，重視數據收集過程，使用真實數據的建議，早在2007年就已被提出，且此建議已在國外統計教材中得到了較好的體現[20]。鑒于此，未來我國教材修訂和教學中，應均衡各過程統計思維發展機會，重視“收集或考慮數據”過程，注重真實數據的使用和解讀，提供給學生參與數據收集的機會，注重有利于學生統計思維發展的任務設置，提高學生在“收集或考慮數據”過程的表現。

2.均衡統計思維的水平分布，關注學生統計思維發展的個體差異

總的來說，學生對統計內容的學習理應是一個由淺及深、漸趨全面、從具體到抽象的過程。學生的統計思維發展也是一個漸進的過程且學生統計思維發展過程存在個體差異。由此，教材編寫時應當均衡統計思維的水平分布，為處于不同統計思維水平的學生提供相應的訓練，這樣才能促使學生統計思維在各水平間順利實現過渡。但研究結果表明，在統計思維所涉及的四個過程中，三版教材A、B、C水平任務分布都較為不均衡。因此，在未來教材修訂和教學中，首先，要適當增加提出問題任務的比重，提升學生提出統計調查問題的能力。其次，應注重發揮真實數據的價值，為“收集或考慮數據”過程統計思維提供不同水平的發展機會。最后，可以適當增補非正式統計推理任務，在進行正式統計推理之前培養一種非正式推理的意識，提升學生對統計推理的理解水平。

3.合理配置高復雜性任務，注重統計思維發展的全面性

長期以來，各國的統計教育都強調讓學生經歷統計活動的全過程，我國也不例外。然而，本研究結果發現我國2019版的三版教材中復雜性為4級的任務都極少，這也就表明涉及全過程統計思維的任務數量極少。事實上，統計活動的每一個過程并不是割裂的，它們之間相互聯系和影響。如圖7所示，當統計實踐者在解決已有問題之后，可能通過批判性反思提出新的統計調查問題，或認識到所收集數據的局限性而再次收集數據，由此開始一個新的統計活動循環。經歷完整的真實的統計活動，對于培養學生的統計思維具有舉足輕重的意義[21]。因此，教材編寫和教學時應精心設計和選擇高復雜性任務，可以將統計活動的開展與核心統計概念（如分布、變異）的理解關聯起來，在積累統計活動經驗的同時促進核心概念的理解，為學生建立連貫的心理概念結構提供機會，讓學生循序漸進地經歷統計活動的全過程，提高統計意識和統計應用能力。

4.加強信息技術的融入，豐富統計思維培養的技術手段

隨著現代科技的發展和統計軟件功能的日趨強大，當前世界各國的統計教育都越來越強調使用信息技術輔助教學以提高統計教育質量、發展學生統計思維[22]。信息技術的使用不僅為認識高度信息化時代下豐富的數據提供途徑和載體，同時也能讓學生從大數據集下繁復的計算中解脫出來，從而更關注和理解統計方法的本質，還可以為非正式統計推斷提供可視化、具體化的實現途徑，為正式統計推斷鋪墊，由此技術支持下的統計教育有助于統計知識理解、活動經驗積累和探索能力培養[23]。然而我國2019版三版教材任務的信息技術融入水平普遍很低。鑒于此，未來教材改編和教學都應加強信息技術的融合，增強利用信息技術培養統計思維的思考，豐富統計思維培養的技術手段，以促進統計教育質量的有效提升。

參考文獻

[1][6] Franklin et al .Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education （GAISE） Report：Pre-K-12 Curriculum Framework.http：//www.amstat.org/education/gaise/

[2] 王羅那，唐彩斌，毛耀忠.芬蘭初中數學《國家基礎教育核心課程》評價及啟示[J].數學教育學報，2020，29（04）：62-67+90.

[3] Wild C J，Pfannkuch M . Statistical thinking in empirical enquiry （with discussion）[J].International Statistical Review，1999，67（03）： 223-248.

[4] 李紅云，朱文芳，伍春蘭.學生統計思維發展水平劃分探究[J].數學教育學報，2019，28（05）：41-46.

[5] Mooney E S.Development of a middle school statistical thinking framework[D].Illinois State University，1999.

[7][8][16][17][19][21] Christine Franklin et al.The Pre-K–12 Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education II（GAISE II）.[EB/OL].（2020-10-29）.American Statistical Association.https：//www.amstat.org/asa/education/Guidelines-for-Assessment-and-Instruction-in-Statistics-Education-Reports.aspx.

[9] 史寧中，呂世虎，李淑文.改革開放四十年來中國中學數學課程發展的歷程及特點分析[J].數學教育學報，2021，30（01）：1-11.

[10][15] 邢田宇，孫小軍.中學概率與統計內容的變化歷程及啟示[J].教學與管理，2021（21）：87-91.

[11] 李化俠，宋乃慶，楊濤.大數據視域下小學統計思維的內涵與表現及其價值[J].數學教育學報，2017，26（01）：59-63.

[12] 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020：131-135.

[13][14] 賀睿杰. 統計活動視角下的高中生統計學習研究[D].上海：華東師范大學，2020.

[18][23] 李俊. 中小學概率統計教學研究[M].上海：華東師范大學出版社，2018：21，41-48，146-160.

[20] Peter K.Dunn et al.Introductory Statistics Textbooks and the GAISE Recommendations[J].The American Statistician，2017，71（04）：326-335.

[22] Carmen Batanero and Gail Burrill and Chris Reading.Teaching Statistics in School Mathematics-Challenges for Teaching and Teacher Education[M].Springer，Dordrecht，2011：53-56.

[作者：李小雙（1996-），女，重慶人，西南大學教師教育學院，碩士生；楊新榮（1979-），男，湖南益陽人，西南大學教師教育學院，副教授，博士。]【責任編輯? 郭振玲】