圖像表征，從“抽象”走向“形象”

王紅

【摘 要】圖像表征是契合小學生年齡特征的、能促進學生理解數學的活動。借助圖像表征實現文字與圖像之間的相互轉譯，幫助學生理解題意、厘清算理算法、優化策略等，最終促進學生數學理解能力的發展，提升其數學學習能力。

【關鍵詞】數學教學 圖像表征 抽象 形象

表征是認知心理研究領域中的一個核心概念。“一般地，表征是指可反復指代某一事物的任何符號或符號集，它可以用某一種形式將一種事、物、想法、知識重新表現出來。”在教學中，我們常用的數學表征有圖像表征、動作表征、符號表征等。“圖像表征是學生運用已有經驗，將腦中‘心里圖畫’用示意圖、草圖等圖式形式表現出來，是對動手操作的糾正、補充、細化和深化，是對數學理解有意義的心智活動。”而小學生因年齡因素，其心智發展還不成熟，在數學學習的過程中較為抽象的知識對他們來說理解較為困難。圖像表征則是小學數學教學的重要路徑，借助圖像表征可以幫助學生理解概念、厘清算理算法、優化策略等，是學生理解數學知識的重要方式。學生可以借助圖像，用直觀的形式幫助理解，圖像表征讓數學知識從“抽象”走向“形象”。

一、圖像表征助力題意解析

在數學學習中，正確理解題意是解決問題的基礎，學生需要從文字中獲取信息、分析信息，然后處理信息。學生在解決問題的過程中出錯或者找不到解題思路，多是因為其對題意的理解不到位，不能準確獲取所需信息或分析信息。此時，學生如果能借助圖像表征把復雜的題目用圖像直觀形象地表現出來，就會有較為清晰的解題思路。蘇霍姆林斯基曾說，如果哪個孩子學會畫應用題，可以有根據地說，他一定能學會解應用題。由此可見，圖像表征在幫助學生理解題意方面起到了不可或缺的作用。例如，教學蘇教版數學六年級上冊的“解決問題的策略——轉化”的例2時，教師可以引導學生借助圖像來表示大盒和小盒內球的數量關系，從而順利解決問題。

【教學片段1】

出示例題：在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。大盒比每個小盒多裝8個，大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？

師：經過昨天例1的學習，你有什么想法嗎？能說說你的解題思路嗎？

生：可以依據大、小兩個盒子容量之間的關系把兩種盒子假設成同一種盒子，再計算。

師：嗯，看來你已經學會舉一反三了，那請同學們試一試吧。

出示學習要求：

①先自行在導學單上畫一畫，再獨立解答；

②小組交流，組長組織交流，統計方法；

③全班交流。

呈現學生資源。（圖略）

該例題是一個稍復雜的實際問題，兩種大小不同的盒子且不滿足平均分，面對這類純文字的描述且數量關系復雜的題目，部分學生無法厘清題中的關系并選擇正確的數量關系解題。此時帶領學生回顧例1的學習，引導其想到可以把兩個不同的量依據兩者之間的關系假設成同一種量，再借助圖像來分析題目，不管是盒子圖還是示意圖學生都能準確地在圖中表示題意。借助圖像的直觀性，大多數學生都能找到正確的數量關系解題。

小學生對較為抽象的問題不能快速反應，需要教師提供一定的輔助。圖像表征就可以發揮其作用，能夠幫助學生更好地理解題意、厘清關系。圖像表征在學生的學習過程中應用也比較廣泛，如解決長方體和正方體的實際問題、行程問題中的相遇問題、追及問題等都可以借助圖像表征幫助學生理解，讓數學題目從“抽象”走向“形象。”

二、圖像表征助力算理掌握

小學階段，計算能力是數學學習的基礎。而數學算式是數學問題的高度概括，是抽象化、形式化、符號化的語言，體現了簡潔美。算式作為一種符號語言是較為抽象的，在教學中如果只是讓學生掌握算法而不理解算理是不恰當的，教師要讓學生不僅知其然更要知其所以然，所以算理的掌握尤為重要。有效運用圖像表征，把算式轉化為圖像，可讓學生在圖像中理解算理、掌握算理。例如，蘇教版數學六年級上冊的“分數除法”，分數本身就較為抽象，且學生在平時的生活中較少運用分數，所以分數的計算學生學習時就有難度。算法的應用大多數學生都能掌握，但是分數除法的算理理解卻不盡然，因此，在教學時可以借助圖像讓學生充分體驗、表達，從而掌握算理。

【教學片段2】

出示例題：量杯里有升果汁，平均分給兩個小朋友喝，每人能分到多少升？

師：你能根據數量關系列式嗎？

生1：總的果汁量÷兩人=每人喝的果汁量，則列式為÷2。

師：÷2這個算式你會解答嗎，在本子上寫一寫你的思考過程。

生1：是4個，把4個平均分成2份，是。

生2：÷2，分子4÷2=2，結果等于。

生3：為什么只需要分子除以2，而分母不除以2呢？

生2：可以用第一位同學的方法驗證，結果是正確的。

師：看來同學們都很會思考，為什么在計算分數除以整數的時候只要分子除以整數，而分母不用除以整數呢？你們能畫個圖來表示這個算式嗎？

學生嘗試畫圖，有些學生畫圓，也有些學生畫長方形或者正方形，先畫出圖形的，再把圖形的平均分成兩份，每1份則是圖形的。（見圖1）

師：借助圖形一下就看清了，把升果汁平均分成2份，每1份是升。

生：根據圖形我還知道把升果汁平均分成兩份，其實也就是求升的。

師：你真會舉一反三，把分數除法和已經學過的分數乘法聯系起來了。

師：如果量杯里的升果汁要平均分給3個小朋友，每人喝多少升？÷3，4÷3除不盡怎么辦？

生：可以把的分子和分母同時擴大，化成。

師：你能把這個過程畫一畫嗎？

生畫圖。（見圖2）

生：通過圖像我得出÷3=（升）。

師：根據圖像可以發現把升平均分成3份，也就是求升的。

師（小結）：分數除以整數等于分數乘這個整數的倒數。

在上述教學片段中呈現的是一個較為簡單的教學情境，學生都能在理解數量關系的基礎上列式，而掌握分數除以整數的算理與算法是本節課的重點。本節課中把算式轉化為圖形，更加直觀形象地幫助學生理解了分數除以整數。在教學÷2時，學生能從分數的意義出發，也能借助圖形理解÷2的意義，并且借助圖形勾連了分數除法與分數乘法，初步感知到可以把分數除法轉化為分數乘法來計算。在探究÷3的過程中，教師引導學生再次借助圖形加以鞏固理解，并在此過程中優化了分數除以整數的計算方法。學生經歷了把抽象的算式轉化為形象的圖形的過程，加深了對計算算理和算法的理解。

計算方法的掌握可以依靠練習，但算理的掌握才是計算教學的本質，算理相較于算法更加抽象，教師若能借助形象的圖像幫助學生理解，相信能讓算理從“抽象”走向“形象”。

三、圖像表征助力策略內化

華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。”數學中，數和形是兩個非常重要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化、相互滲透。在某種意義上，這里的“形”也是圖像表征的一種。例如，教學蘇教版數學五年級下冊的“解決問題的策略——轉化”時，教師引導學生從數與計算的角度體會轉化策略的應用過程和特點。學生在解決問題的過程中，初步領會轉化的過程和特點，體會轉化的作用，進一步增強解決問題的策略意識。課堂上，教師引導學生計算一組分數的和，運用轉化策略把較復雜的計算轉化成簡單計算，為了便于學生更加直觀地理解，設計了以下三次圖像表征活動。

【教學片段3】

初步感悟：你能用不同的方法計算嗎？先觀察算式特征，再思考你有幾種方法計算。

交流算式特征（每個加數分子都是1，后一個加數的分母是前一個加數分母的兩倍；后一個加數的大小是前一個加數的一半）。

學生上臺展示自己的方法（通分、化小數、畫圖）。

師（評價）：有的同學能想到畫圖的方法真是與眾不同，在平時的學習中我們就發現借助圖形可以使一些信息更直觀。

學生畫圖、交流。

師（追問）：你是怎么得到的？

學生借助圖形（見圖3）講解思考過程：把圖形平均分， 就是整個圖形的一半， 就是剩下圖形的一半，依次類推，剩下的那部分就是，只要用單位1減去就是最后的結果。

師（評價）：聽了你的講解真是讓人豁然開朗，除了可以畫正方形，還可以畫其他圖形來表示這個算式嗎？

生：還可以畫線段圖，更加簡便。

師：你給了同學們一個很好的啟發，每位同學選擇一個自己喜歡的圖形來表示這個算式，再算一算，并和你的同桌說說你是怎么畫的、怎么想的。

鞏固應用：你能用畫圖的方式計算=（ ）嗎？請在方框里畫出你的思考過程！

學生交流。

小結規律：從圖形中可以看出最后剩下的一部分與最后一個分數所表示的大小相同，所以可以把這個復雜的算式轉化成1-，借助圖形更有助于我們理解。

拓展提升：計算++++=

（ ）。在腦中想象一個圖，計算結果是多少？

學生交流思考過程。

小結：有些復雜的算式可以轉化成簡單的算式，借助圖形還能幫我們找到轉化的方法，使計算更加簡便。

此次教學在初步感悟中讓學生用不同方法解決問題，初步感知用畫圖的方法也可以解決這類問題，并且在對比的過程中感受通分和化小數方法的不足，優化畫圖的方法。鞏固應用中又讓每個學生嘗試用畫圖的方法解決，將圖像與算式中每一個分數勾連，通過直觀的圖像，可以將復雜的算式轉化成簡單的算式，找出其中的計算規律，更加有助于學生計算和理解。除了動筆畫圖，動腦想圖也是圖像表征的一種形式，動腦想圖就是在腦子里畫圖，這種方式不僅提高了學生解決問題的效率，還促進了學生思維能力的提升。在拓展提升中讓學生借助腦中的圖像再次解決問題，是學生對規律、方法的再次鞏固與內化。通過這一系列圖像表征活動，找出其中所蘊含的規律，把復雜的算式通過圖像轉化成簡單的算式，學生經歷了從抽象到形象的過程，進行了深層次的思考，形成了深刻的、個性化的認識并豐富了體驗，進一步加深了對轉化策略的理解。

圖像表征是小學數學教學中的一種重要方法，把抽象難懂的數學概念、算理算法、策略等與直觀形象的圖像相結合，使復雜問題簡單化、抽象問題形象化，從而幫助學生理解數學知識，促進學生在數學上的發展，為今后的數學學習奠基。

【參考文獻】

[1]葛素爾.通過圖像表征促進小學數學理解教學[J].課程教學研究，2012（12）.

[2]李軍.“畫數學”：給學生一個形象的數學[J].小學數學教師，2017（9）.