一個(gè)基本圖形在相似三角形中的運(yùn)用

楊樹(shù)芳

【摘要】平面幾何圖形中識(shí)圖（認(rèn)識(shí)基本圖形）、悟圖（領(lǐng)會(huì)基本圖形）、用圖（運(yùn)用基本圖形研究復(fù)雜圖形）是基本圖形教學(xué)的三個(gè)階段。其中解讀基本圖形是前提，運(yùn)用基本圖形研究復(fù)雜圖形是關(guān)鍵。相似三角形中涉及的基本圖形主要有平行截線型、交錯(cuò)截線型、旋轉(zhuǎn)平移型。文章將針對(duì)其中的旋轉(zhuǎn)平移型，談?wù)勗摶緢D形在相似三角形中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】相似三角形；基本圖形；分離；構(gòu)造；應(yīng)用

平面幾何圖形的基本教學(xué)一般分為三個(gè)階段：用典型例題解讀基本圖形；對(duì)基本圖形進(jìn)行變化，在變中突出不變；用基本圖形研究復(fù)雜的圖形，從復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形或者是構(gòu)造基本圖形。相似三角形圖形千變?nèi)f化，因此在教學(xué)中需要豐富和完善學(xué)生關(guān)于基本圖形的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生分析構(gòu)成基本圖形的基本元素及其關(guān)系，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形或者是構(gòu)造基本圖形，進(jìn)而利用基本圖形的性質(zhì)研究復(fù)雜圖形，并以此為切入點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。本文將針對(duì)其中的旋轉(zhuǎn)平移型，談?wù)勗摶緢D形在相似三角形中的應(yīng)用。

一、旋轉(zhuǎn)平移型基本圖形的特征及變式圖形

旋轉(zhuǎn)平移型基本特征之一：三個(gè)垂足在同一直線，所以也叫三垂型；基本特征之二：兩個(gè)三角形有一對(duì)相等的內(nèi)角，且可以利用外角定理說(shuō)明另一對(duì)內(nèi)角相等，其形狀似大寫(xiě)M，所以也可叫M型。根據(jù)這兩個(gè)基本特性，分別弱化直角的特征和強(qiáng)化直角的位置就衍生出以下兩個(gè)變式圖形。

把握基本圖形，理解變式特征是運(yùn)用好基本圖形的重要條件。

二、旋轉(zhuǎn)平移型基本圖形的應(yīng)用

1.直接應(yīng)用

【安徽省中考試題】如圖3，直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線l的距離分別是1和2，則正方形的邊長(zhǎng)是 。

【簡(jiǎn)析】本試題是對(duì)旋轉(zhuǎn)平移型基本圖形的直接運(yùn)用，如果熟悉該基本圖形，學(xué)生就能快速利用兩直角三角形全等，對(duì)應(yīng)邊相等或兩直角三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，再利用勾股定理求出正方形的邊長(zhǎng)為。

2.學(xué)會(huì)分離

【天津市中考試題】如圖4，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，G、F分別為AD、BC邊上的點(diǎn)，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，則GF的長(zhǎng)為。

【簡(jiǎn)析】本試題將旋轉(zhuǎn)平移型基本圖形與正方形巧妙結(jié)合，學(xué)生如果能在正方形中分離出該基本圖形，就能利用△GAE和△EBF相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出線段AE、BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出線段GE、EF、GF的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題。

3.領(lǐng)悟變式

（1）強(qiáng)化邊的條件。【試題】如圖5，直角三角形ABC中，∠BAC=90°，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E。

①當(dāng)AB=AC時(shí)，探究AD與EC的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；②當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，探究AD與EC的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；③當(dāng)AB：AC=k時(shí)，求AD：EC的值。

【簡(jiǎn)析】本試題基于基本圖形的條件變式，通過(guò)強(qiáng)化邊的條件，引導(dǎo)學(xué)生在全等形和相似形中都能靈活運(yùn)用該圖形，進(jìn)一步掌握該圖形的特性，提高解決問(wèn)題的能力。

（2）弱化角的條件。【廣東省中考試題】如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是等腰梯形，BC//OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)O、A重合，聯(lián)結(jié)CP，過(guò)點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D。

①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△OCP為等腰三角形，求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使得∠CPD=∠OAB，且BD：AB=5：8，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【簡(jiǎn)析】①過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，由等腰梯形的性質(zhì)可知：AB=OC=4，∠COA=∠BAO=60°，利用三角比可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，）；②分類(lèi)討論點(diǎn)P的位置：當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，△OCP為等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，△OCP為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）；③由△OCP∽△PAD可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）。本試題∠CPD=∠OAB =

∠COA的條件就是旋轉(zhuǎn)平移型基本圖形弱化直角條件的變式，是不改變圖形的基本形狀和相似結(jié)論的綜合運(yùn)用。

（3）變換圖形，強(qiáng)化三垂足一線。【上海市黃浦區(qū)中考模擬試題】如圖7，已知點(diǎn)P是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，垂

足為點(diǎn)A，交函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)

P作PB⊥y軸，垂足為點(diǎn)B，交函數(shù)的圖像于點(diǎn)N（點(diǎn)M、N不重合）。

①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求△PMN的面積；②證明：MN//AB；③試問(wèn)：△OMN能否為直角三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【簡(jiǎn)析】①利用數(shù)形結(jié)合的思想，分別求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)為（2，1），M的坐標(biāo)（2，），N的坐標(biāo)

（1，1），從而求出△PMN的面積為；②設(shè)點(diǎn)P的

坐標(biāo)為（2a，a）（a＞0），那么點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，0）、

B的坐標(biāo)為（0，a）、M的坐標(biāo)為、N的坐標(biāo)為，因?yàn)椋訫N//AB；③如圖

8，當(dāng)∠ONM=90°時(shí)，△OBN∽△NPM，所以，于是得到，解得，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為；如圖8，當(dāng)∠OMN=90°

時(shí)，△OAM∽△MPN，所以，于是得到

，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為。

本題問(wèn)題②的解決過(guò)程中，運(yùn)用到了平行截線型，問(wèn)題③的求解過(guò)程運(yùn)用到了旋轉(zhuǎn)平移型以及其變式的三垂足一線型。在這樣的問(wèn)題解決過(guò)程中，有些基本圖形是顯而易見(jiàn)的，有些則是隱藏在復(fù)雜圖形之中的，只要能將其完整地分離出，那么問(wèn)題就迎刃而解了。

4.嘗試構(gòu)造

添輔助線是教好、學(xué)好平面幾何的關(guān)鍵問(wèn)題，是平面幾何教與學(xué)的難點(diǎn)。構(gòu)造基本圖形添輔助線的實(shí)質(zhì)就是將基本圖形補(bǔ)充完整，添輔助線問(wèn)題不應(yīng)聚焦在作為圖形局部的“線”上，而是一個(gè)完整的“圖形”上。

【南京中考模擬試題】如圖10，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG。

（1）設(shè)AE=x，△EGF的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）P是MG的中點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)。

【簡(jiǎn)析】（1）如圖11，作HG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易得△AEM≌△DFM，由勾股定理可得EM=，根據(jù)構(gòu)造的基本圖形，得△AEM∽△HMG，，所以MG=2EM=

2，于是可得；

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為2。

本試題中添垂線段的方法構(gòu)造該基本圖形在中考試題中較為常見(jiàn)，其往往出現(xiàn)在問(wèn)題條件中有互余角產(chǎn)生，且有垂直條件等特征的情況下。其實(shí)，構(gòu)造基本圖形添輔助線，其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是一個(gè)補(bǔ)圖的問(wèn)題，是一個(gè)基本圖形完整化的問(wèn)題。

三、結(jié)論

幾何問(wèn)題千變?nèi)f化，而基本圖形則是解決幾何問(wèn)題的關(guān)鍵所在，所以教師在進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)不僅要注重思想方法的培養(yǎng)，還要注重基本圖形的應(yīng)用。在基本圖形的教學(xué)過(guò)程中，如果總是習(xí)慣于在簡(jiǎn)單或者常見(jiàn)的圖形中識(shí)別、運(yùn)用基本圖形，容易產(chǎn)生思維定式，在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分離或者是構(gòu)造基本圖形，進(jìn)而運(yùn)用基本圖形研究復(fù)雜圖形或新的圖形，是打破思維定式的關(guān)鍵，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，教師教學(xué)的重點(diǎn)。某種意義上，走進(jìn)了運(yùn)用基本圖形研究復(fù)雜圖形的境界，也就是走進(jìn)了素養(yǎng)立意的境界。在今后的幾何教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注圖形本身的教學(xué)，更要重視基本圖形的直接應(yīng)用、分離、變換和構(gòu)造。

【參考文獻(xiàn)】

[1]上海市教育委員會(huì).上海中學(xué)數(shù)學(xué)[J]，2022（12）.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.