小學數學教學中“發現法”的運用探究

北安市健康小學 包婧婧

數學是三大基礎學科之一，是人們從事自然科學研究的基礎，滲透到人們生活的方方面面。 它不僅是一個學習自然科學的工具，同時也能鍛煉人的思維，讓人們掌握正確的認識世界的方法。 在數學教學中，人們進行了深入地探討，刻苦的鉆研，提出了許多行之有效的教學方法，美國心理學家布魯納提出的“發現法”就是其中之一。“發現法”指在教師的指導下，學生通過自己的探索與研究來發現知識的內在聯系，形成概念，獲得原理[1]。 運用“發現法”會使學生在探究中提升自己的能力，享受成功的喜悅，從而大大提高學生對數學的學習興趣，進而提高學習成績。

一、“發現法”運用的優缺點

在教學中運用“發現法”，可以改變以往教師講、學生聽的“填鴨式”教學模式，讓學生從被動地接受中解放出來、從服從命令式的學習模式中解放出來、從機械地照搬照抄前人經驗的僵化思維模式中解放出來， 以培養學生未來走向社會所必須的獨立思考能力。“發現法” 有利于提高學生學習的積極性與主動性， 讓學生在發現的過程中得到激勵，享受到成功的喜悅；“發現法”還有利于加深學生對數學問題的理解，讓學生通過努力發現答案，從而深刻記憶。

“發現法”的不足也是顯而易見的。 第一，容易導致學生忽視對數學知識的系統學習，讓學生忽略數學知識之間的彼此聯系。 第二，運用“發現法”耗時較多，過程較為繁瑣，很多知識點的學習都超出正常課時。第三，運用此種教學方法必須考慮到學情，并不是所有學生都可以輕車熟路地運用“發現法”。第四，運用“發現法”還要有紀律的保證。紀律差、學生學習習慣差的班級不適用。第五，“發現法”并不是所有學科都可以使用（比如需要大量記憶與背誦的文科科目），也不是所有時候都可以運用“發現法”（哪怕是最適合使用的理科類）。

二、“發現法”運用的關鍵點

（一）提前做好問題的預設

教師要讓學生帶著問題去探究、去發現，使學生的探索與發現有方向、有目的，而不至于浪費時間和精力，乃至打擊他們的積極性。 在設定問題時要注意幾點：

問題要有啟發性。例如，在教學一元二次不等式時，就可以設計這樣的問題：請同學們看一看，一元二次不等式與一元一次不等式和一元二次方程有什么異同點？啟發學生去思索、去發現，得出一元二次不等式是升級版的一元一次不等式，也是等號換成了不等號的一元二次方程的結論，最終探究出一元二次不等式的解法。

問題要有目的性。 每一個問題的設計，都要以提高學生的探究能力、解決數學學習中遇到的難題、讓學生享受發現的快樂為目的。例如，在教學解析幾何時，可以讓學生在坐標系上將各點連線， 通過認識到數與圖形的聯系，從而認識到解析幾何就是研究如何用代數式來表示圖形的一門數學分支，引導學生正確看待解析幾何，建立學生的學習自信心。

問題要有針對性。 教師不可漫無目的地亂設計，而是要有的放矢，要針對數學學習中有價值或與今后學習的知識有很大關聯的知識點來設計問題，要讓設計的問題起到“牽一發而動全身”的效果。例如，在教學“多次方程時”，可以設計這樣的問題：通過對一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、三元一次方程、二元二次方程解法的比較，能否看出最終解出方程的根本方法是什么？終極目標是什么？ 讓學生通過比對、通過思考研究，最后得出結論：所有的解方程的根本方法都是降冪消元，其最終目標就是把方程變成一元一次方程，求出方程的一個解，最后逐步求出方程的其他解，解出方程。 教師還可以繼續從這個問題拓展開來，讓學生探究不等式的解法，與方程的解法加以對比，以此達到舉一反三的效果。

（二）發揮直觀教具的作用

通過對圖形的實際觀察和分析促進學生由直觀（具體）向主觀（抽象）轉化，由特殊到一般，得出具有普遍意義的結論來。 例如，在教學求多邊形內角和時，教師可以在PPT 上放映將多邊形分割成n 個三角形的動畫，讓學生自己去觀察、思考、研究、發現、總結、歸納。 最后得出多邊形內角和的公式（n-2）×180°（n≥3 且n∈z）。 再如，在教授“對稱圖形”時，教師可以在PPT 上播放五角星、蝴蝶等生活中常見的對稱圖形或自然界中的實物，讓學生初步理解對稱的概念，再用動畫演示轉動的車輪，自傳中的地球等，讓學生明確什么是軸對稱。再比如，教學“平移和旋轉”時，教師可以用視頻或動畫來演示發生平移和旋轉的物體，如飛行中的飛機、被推動的木箱、滾動的車輪，等等，引導學生直觀地感受到什么叫平移，什么叫旋轉。

（三）調動學生的積極性

“發現法”應用到教學中一段時間后，一些學有余力、主動性強的學生就會自己去尋找問題，主動探索，但由于學生的年齡、經驗的局限，他們可能會出現方向性錯誤，甚至得出錯誤的結論。例如，三角形的內角和定理，即三角形的內角和等于180°。 這個定理的成立實際上是有前提的：三角形內角和在平面中才等于180°。而在凹面上三角形內角和小于180°，在凸面上則大于180°。 這很容易被學生忽略或遺漏， 從而想當然地認為三角形的內角和就是180°。這就需要教師要糾正他們的錯誤，把他們的思路引導到正確的方向上來，同時也要少批評，多鼓勵，不要打消他們學習的積極性，還要鼓勵他們勤思考、勤鉆研，去主動學習、探索、發現。

（四）擺正教師的位置

教師只是一個“引領者”，在教學過程中，要啟發和鼓勵學生發現問題、探究問題、解決問題。 培養學生的自信心，讓他們相信自己不但可以發現問題，而且完全可以憑借自身的知識與智慧解決問題。在運用“發現法”進行教學時，教師又是不可或缺的，是學生學習的引領者，主導著學生的學習過程； 也是學生學習過程中的一個重要的參與者，是學生的“合作伙伴”，與學生一起享受成功的喜悅。總之，在運用“發現法”時，教師既不能越俎代庖，忽視學生學習的主體地位，剝奪學生獨立思考、獨立探究、獨立解決問題的權力， 又不能讓自己在學生的學習過程中被“邊緣化”，成為一個“多余人”。

（五）結合其他的方法

“發現法”不能孤立地使用，必須和其他方法結合一起才會有良好的效果。 例如，在教學“對數”時，就可以運用“啟發法”，讓學生觀察冪運算，復習冪運算的一些知識點后，教師提出問題：冪運算是求一個數的乘方的結果，那么反過來，如果求一個數開方的結果該怎么辦呢？ 引導學生去探究發現，從而聯系到對數的知識，即對數實際上是冪運算的逆運算。再如，在教學“數軸”時，教師可以與“讀讀、議議、講講、練練”這種教學方法結合，讓學生閱讀教材，弄懂數軸的定義，明白數軸的組成與性質，指導學生討論，再由每個小組代表發言，說明其探究的結果，最后做練習鞏固所學。 盡管數學的教學方法多種多樣，但是講授法是最基本的，無論什么樣的方法，最終還是以講授法為基礎。

三、“發現法”運用的過程

第一階段，創設問題情境，使學生在這種情境中產生矛盾，提出要求解決和必須解決的問題。 例如，利用“發現法”來學習“小數和分數”時，教師不應直接引入小數和分數的概念，可以讓學生們用尺子去測量數學書和練習冊的長度，學生在測量的過程中遇到了用整數和自然數無法表示的“零頭”時，學生就會感到困惑：用任意一個整數都是無法表達這個數量的，這該怎么辦？此時，教師可進一步要求學生思考怎樣來表示測量的過程中遇到的“零頭”？這就很自然地提出了必須解決的問題。學生根據教師提出的要求做了多種假設，最后，經過師生們的集體鉆研和探究，學生們“發現”了“小數”可以表示“零頭”的方法，也就深刻地記住了關于“小數”的概念。 至于分數，教師可以先讓學生拿出自己的書本，把它們平均分成幾份后，問學生：“教師把書本平均分成了幾份？ 每份是多少？ ”學生作出回答之后，接著問：“這在數學中應當用什么數來表示？”讓學生帶著問題提出假設，進一步驗證、檢驗，最后引入“分數”的概念。從情境入手，有利于提高學生的學習興趣，也利于激發他們探索、求證的積極性，而在探索與求證成功之后，學生又會受到極大地鼓勵，越發喜愛數學這門學科。

第二階段， 促使學生利用教師所提供的某些材料，針對教師所提出的問題，提出解答的假設。 例如，在教學“等腰三角形和等邊三角形”時，教師在利用情境提出什么是等腰三角形這個問題之后，可以在多媒體上播放等腰三角形的圖片，讓學生仔細觀察：這些三角形有什么特點？學生們仔細觀察后得出結論：它們三條邊中有兩條相等。 有些細心的學生會發現：三個角中有兩個角是相等的，由此學生們了解到兩個底角相等的三角形是等腰三角形。 緊接著，教師可再出示等邊三角形的圖片，讓學生辨認這些等腰三角形與前邊的等腰三角形有什么不同？學生們經過仔細的觀察，提出了自己的假設：這些等腰三角形三個邊都相等，而且，三個內角都相等，都等于60 度，由此，學生真正地掌握了等腰三角形和等邊三角形的特征，并能夠在此基礎上總結出兩種三角形的概念。

第三階段，從理論上或實踐上檢驗自己的假設。例如，在教學“全等三角形和相似三角形”的時候，在給出兩種三角形的定義之后，學生可以總結出全等三角形與相似三角形的證明定理。 為了進一步驗證假設是否正確，教師可以引導學生用橡皮泥做成兩個三條邊都相等的三角形（SSS）、 兩個角及它們的中間所夾的邊都對應相等的三角形（ASA）、兩條邊和它們的夾角都相等的三角形（SAS）、兩個角和任意一邊都對應相等的三角形（AAS）、兩個直角邊對應相等的三角形（HL）等，以此論證了證明定理的正確性，并排除了三個角都相等的情況（AAA）。 進一步通過按比例來塑造三角形后， 又證實了如果對應線段成比例、對應角相等的五種情況：SSS、ASA、SAS、AAS、HL 也可以證明兩個三角形相似。

第四階段，根據實驗獲得的一定材料，在仔細評價的基礎上得出結論[2]。 例如，在教學“勾股定理”時，學生測量了許多直角三角形， 發現了其中的規律并得出了結論：在直角三角形中， 兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2。再比如學習對數的時候，學生經過計算、反復的練習，最后得出結論：對數求指數的運算，即當ax=N（a＞0，且a≠1），那么數x 叫作以a 為底N 的對數，記作x=logaN。

第五階段，反思與評價。 為了幫助學生提煉所學的知識點，教師要有意地鼓勵學生反思問題解決的過程，幫助學生概括和理解新知識[3]。 例如，在教學“直角三角函數”時，在學生通過探究，假設等階段，得出正切、余切、正弦、余弦等概念，了解特殊角的函數值之后，引導學生回憶：三角函數最初是如何被提出來的？又是通過什么方法來證明的？教師可以指導學生通過繪制表格或思維導圖來歸納整理相關的知識。 這樣做有利于學生將碎片化的知識系統化，利于學生的記憶和應用。