讓根“常回家看看”
——運(yùn)用一元二次方程根的定義解題的兩種途徑

文／李長(zhǎng)春（正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師）

我們都知道，若已知方程的一個(gè)解，就可以將這個(gè)解代入方程。如果將方程比喻為一個(gè)家，這個(gè)方程就是其解（或根）的“娘家”，讓根“常回家看看”，就是行之有效的解題思路。

一、正向運(yùn)用，直接代入

如果x0是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，則ax02+bx0+c=0。

例1若一元二次方程x2+bx+a=0有一個(gè)根是-a（a≠0），則代數(shù)式a-b的值是________。

解：因?yàn)橐辉畏匠蘹2+bx+a=0有一個(gè)根是-a，所以（-a）2+b×（-a）+a=0，即a（a-b+1）=0。又因?yàn)閍≠0，所以a-b+1=0，則a-b=-1。

【點(diǎn)評(píng)】把根代入方程是解題的關(guān)鍵。運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解是代數(shù)恒等變形的基本功。

例2已知a、b是方程x2-x-3=0 的兩個(gè)根，求代數(shù)式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值。

解：因?yàn)閍、b是方程x2-x-3=0 的兩個(gè)根，所以a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3。所以2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a2+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+（b+3）+3a2-11a-b+5=5a2-5a+8=5（a+3）-5a+8=23。

【點(diǎn)評(píng)】將方程的根代入方程后，得到a2與a、b2與b之間的關(guān)系，然后將a2和b2反復(fù)代入，達(dá)到降次、消元的效果。

例3若m、n是一元二次方程x2+3x-1=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_______。

解：因?yàn)閙、n是一元二次方程x2+3x-1=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以m2+3m-1=0，則3m-1=-m2。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得m+n=-3。所以

【點(diǎn)評(píng)】例3 除了運(yùn)用了例2 達(dá)成目標(biāo)的方法外，還結(jié)合了根與系數(shù)的關(guān)系，整體替換后再約分，從而巧妙求解。

二、逆向運(yùn)用，構(gòu)造方程

如果ax02+bx0+c=0（a≠0），則x0是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個(gè)根。

例4已知a-2b+4c=0，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為_(kāi)_______。

【點(diǎn)評(píng)】為什么將方程兩邊同時(shí)除以4 呢？事實(shí)上，我們只要善于觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：a-2b+4c=0 與ax2+bx+c=0（a≠0），字母c的系數(shù)不同，只需將前者兩邊同時(shí)除以4，即能出現(xiàn)相同的c，再對(duì)比一下，未知數(shù)x就顯現(xiàn)出來(lái)了。

例5實(shí)數(shù)m、n滿足7m2-7m-1=0，7n2-7n-1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值。

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)m、n滿足7m2-7m-1=0，7n2-7n-1=0，且m≠n，所以m、n是方程7x2-7x-1=0 的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根。由根與系數(shù)的關(guān)系，得于是

【點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)m、n滿足的關(guān)系“如出一轍”，就似母親“7x2-7x-1=0”生出的一對(duì)“雙胞胎”，自然就可以看成這個(gè)方程的兩個(gè)根。一般地，若實(shí)數(shù)x1、x2滿足且x1≠x2，a≠0，則x1、x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根。正所謂：“兩個(gè)等式一個(gè)樣，構(gòu)造方程來(lái)相幫。”

例6已知實(shí)數(shù)s、t分別滿足5s2+5s+1=0，t2+5t+5=0，且st≠1。求的值。

【點(diǎn)評(píng)】我們從所求結(jié)論的化簡(jiǎn)變形可以發(fā)現(xiàn)：要找的是s與t之間的關(guān)系。那么，我們逆向思維，即如何構(gòu)造一個(gè)方程，使其兩根分別為s與。結(jié)合已知條件t2+5t+5=0，即5+5t+t2=0，只需兩邊同時(shí)除以t2，即可與等式5s2+5s+1=0“比翼雙飛”！