厘清要點 突破難點

文／趙軍（正高級教師，江蘇省特級教師）

在學習本章內容時，同學們偶爾會遇到一些困惑。那么，我們該如何找準方法，突破難點，解除困惑，使自己的思維和能力得以提升呢？下面，我們一起來盤點本章的難點問題，并對這些典型問題進行剖析與歸納，希望對大家的學習有所幫助。

一、配方法和根與系數關系的靈活應用

例1已知關于x的方程x2-（2k+1）x

（1）求證：無論k為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若方程的兩個實數根x1、x2滿足x1-x2=3，求k的值。

【問題剖析】（1）首先表示出根的判別式b2-4ac=2k2+4k+9，然后運用配方法證明這個代數式大于0，即證明2k2+4k+9=2（k2+2k+1-1）+9=2（k+1）2+7 大 于0，因為（k+1）2≥0，所以2（k+1）2+7＞0，問題得證。

（2）由根與系數之間的關式，得x1+。將x1-x2=3 的等號兩邊平方，得（x1-x2）2=9，再將其轉化為（x1+x2）2-4x1x2=9，最后把兩根之和、兩根之積代入，即可求得k=0或-2。

【方法歸納】運用配方法的第一步是處理二次項系數，如果二次項系數不為1，則要提到括號外，然后在括號內完成配方。其關鍵是根據一次項系數配出“尾平方”，即配出的常數項是一次項系數一半的平方，所以難點是如何找出這個“常數項”。運用根與系數之間的關系時，要將條件向兩根之和、兩根之積轉化，最終還要注意檢驗方程是否有實數根。

二、含字母系數的因式分解

例2已知△ABC的兩邊AB、AC的長分別是關于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0 的兩個實數根，第三邊BC=5。當k為何值時，△ABC是直角三角形？

【問題剖析】仔細分析，常數項為k2+3k+2=（k+1）（k+2），故可運用“十字相乘”法進一步因式分解，即［x-（k+1）］［x-（k+2）］=0，所以x1=k+1，x2=k+2。因為k+1＜k+2，所以斜邊可能是k+2 或5。①當（k+1）2+52=（k+2）2時，k=11，此時k+1=12，k+2=13，符合題意；②當（k+1）2+（k+2）2=52時，k1=2，k2=-5，經檢驗：k=-5 不符題意。所以k=11或2時，△ABC是直角三角形。

【方法歸納】本題中，我們視k為常量，以“我的眼中只有你（x）”進行拆分，觀察能否運用“十字相乘”法進行因式分解，在用含k的代數式表示出方程的根之后，再依據條件列方程求k，同時要注意將所求結果代到題目中進行檢驗。

三、應用題中的“每……每”問題

例3某公司8 月份銷售A品牌汽車，在一定范圍內，每輛汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1 輛汽車，則該汽車的進價為27 萬元，每多售出1 輛，所有售出的汽車每輛的進價均降低0.1萬元。月底廠家根據銷售量一次性返利給公司，銷售10 輛以內（含10輛），每輛返利0.5 萬元；銷售10 輛以上，每輛返利1 萬元。若每輛汽車的售價為28 萬元，該公司計劃當月盈利12 萬元，則需要銷售多少輛汽車？

【問題剖析】所謂“每……每”問題，即題目中的條件：“每多售出1 輛，所有售出的汽車每輛的進價均降低0.1 萬元。”若設售出x輛汽車，則售出的汽車每輛進價為［27-0.1（x-1）］元，結合返利，分兩種情況列方程。

①當x≤10 時，［28-27+0.1（x-1）］x+0.5x=12，解得x1=6，x2=-20（舍去）；

②當x＞10時，［28-27+0.1（x-1）］x+x=12，解得x1=5，x2=-24（均不符題意，舍去）。

所以，當銷售6 輛汽車時，當月盈利12萬元。

【方法歸納】解決“每……每”問題的關鍵有兩點：一是理清進價與銷量之間的關系，當銷量為x輛時，如何用含x的代數式表示進價；二是如何計算利潤。而在列出方程、解出方程后，我們還要注意檢驗方程的解是否符合實際意義。

事實證明，只要我們對疑難問題剖析深刻，理解到位，那么，“原本的問題”將不再成為問題，而會變成我們成長的階梯。