從古溯今探秘一元二次方程

文／朱明慧

一、買椽多少

例1我國古代著作《四元玉鑒》記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽。每株腳錢三文足，無錢準與一株椽?！逼浯笠鉃椋含F請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210 文。如果每株椽的運費是3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢。求這批椽的數量。

【解析】這是古人的生活問題，解決問題的關鍵在于分析等量關系，正確列出一元二次方程。我們可以按照如下步驟：

審：審清題意。文中“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽”其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文。

設：設買了x株椽，根據“如果每株椽的運費是3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢”,得到每株椽的價錢為3（x-1）文。

列：列出方程為3（x-1）x=6210。

解：解得x1=46，x2=-45。

驗：椽的個數不能為負數，故x2=-45舍去。

答：這批椽的數目為46株。

【點評】從生活出發，提出問題，并用一元二次方程的知識來解決，找準等量關系、建立方程模型是解題的關鍵。

二、執竿進屋

例2古算趣題：“笨伯執竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角。笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。借問竿長多少數，誰人算出我佩服?！逼浯笠馐牵罕坎弥窀瓦M屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門寬4 尺，豎著比門高2 尺。他的鄰居教他沿著門的對角線斜著拿竿。笨伯一試，剛好進去。問：竹竿有多少尺？

【解析】古題文字很有趣，讀題理清題意是關鍵。

審：審清題意，等量關系為“沿著門的對角線斜著拿竿。笨伯一試，剛好進去”。

設：設竿長x尺，則門寬（x-4）尺，門高（x-2）尺。

列：根據勾股定理，列出方程為（x-2）2+（x-4）2=x2。

解：解得x1=2，x2=10。

驗：當x=2 時，x-2=0，x-4=-2，故舍去。所以x=10。

答：竹竿長10尺。

【點評】知識點和知識點之間是相通的。我們在學習時需要將所學過的知識融會貫通，建立知識框架，在讀題審題的過程中運用數學方法，建立數學模型解決問題。

三、長闊幾何

例3《算學寶鑒》中記載了我國南宋數學家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長十二步，問長闊各幾何?！弊g文：一塊矩形田地的面積等于864 平方步，且它的寬比長少12步，長與寬各是多少步？

【解析】同樣按照解決問題的程序分析求解。

審：審清題意。條件“矩形田地的面積等于864 平方步”暗示等量關系：矩形的面積等于長乘寬。

設：由條件“寬比長少12 步”，設矩形長為x步，則寬為（x-12）步。

列：根據矩形面積公式，得x（x-12）=864，即x2-12x-864=0。

解：解得x1=36，x2=-24。

驗：矩形的邊長不能為負數，所以x2=-24舍去。

答：該矩形長36步、寬24步。

【點評】本題仍然是從實際問題中抽象出一元二次方程，解題的關鍵是從古題中理清題意，選擇恰當的未知數表示出長和寬，再根據矩形的面積公式，得出關于x的一元二次方程，解之取正值即可。

古代人能從生活中發現問題、提出問題并解決問題，我們也應該立志奮發，努力自強，觸類旁通。這些古題跟我們的生活也息息相關，我們不妨嘗試找幾道與生活息息相關的題目進行解答。