類比學習，讓方程自然生長

文／崔恒劉

第一章 一元二次方程

領銜人：崔恒劉（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省東臺市實驗中學高階思維課題組

我們首先一起來回顧方程的學習歷程。我們先從實際問題出發，抽象出數學問題，得到一系列含有未知數的等式，在分類比較中逐步生成一元一次方程的概念并研究其解法，最后再回歸實際問題。接著，我們學習了二元一次方程組和可化為一元一次方程的分式方程，兩者的研究過程如出一轍。以此類推，聰明的你一定能預想到一元二次方程要學什么，怎么學。這里，我們換個視角，從生長的觀點來感知將要學習的一元二次方程。

一、概念的生長

只含有一個未知數（元），并且未知數的次數都是1（次）的方程叫作一元一次方程。我們不難發現，一元一次方程的概念是用“元”和“次”來表達的，其中“一元”代表未知數的個數，“次”代表未知數的最高次數。“元”的生長形成了二元一次方程組、三元一次方程組等，而“次”的生長則形成現在學習的一元二次方程，繼續生長，還會生成一元高次方程。一元二次方程概念中，“未知數的最高次數”的表述，說明方程中所含的代數式是整式。因此，一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程都屬于整式方程。

同樣，類比一元一次方程的一般式，一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數，a≠0）。

二、解法的生長

我們再回憶“解二元一次方程組”的學習過程，通過消元化歸的數學思想，把二元一次方程組轉化為一元一次方程。那么，我們遵循化歸的數學思想，可以把一元二次方程降次轉化為熟悉的一元一次方程。

一元二次方程的4 種解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，也是逐漸生長的。其中，公式法是通法，適用于所有的一元二次方程。得到公式法的過程是配方法，配方后用到的方法又是直接開平方法。因式分解法的本質是利用“ab=0，則a=0 或b=0”的性質，先將方程化成一般形式，再對左邊因式分解，最后寫出方程的根。解一元二次方程，我們首選因式分解法或直接開平方法，若行不通再使用公式法。當方程滿足一些特殊條件時，用配方法也可以輕松獲解。雖然有4 種解法，但最后都是為了達到“降次轉化為一元一次方程”的目的。

在運用配方法得到公式后，我們通過觀察，發現一元二次方程的實數根與系數也有著密切的聯系。由此，我們又生長出新知：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1、x2，則

三、應用的生長

學以致用是體現數學價值的一種方式。每學完一類方程知識，我們都要回到用方程解決實際問題。

例 公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定。某種品牌頭盔的進價為30元/個，當售價為40 元/個時，月銷售量為600 個。經市場調查發現，如果售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10 個。為使月銷售利潤達到10000 元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？

解：設該品牌頭盔的實際售價為y元/個。

根據題意，得（y-30）［600-10（y-40）］=10000。

解這個方程，得y1=80，y2=50。

為盡可能讓顧客得到實惠，應舍去y1，所以y=50。

答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個。

用方程解決實際問題是按照“設未知數→找相等關系→列方程→檢驗方程的解是否符合方程和實際問題→答”的步驟進行的。對于不同方程，唯一不同的是問題中含有相等關系的個數以及列出方程的次數。

從一元到二元，從一次到二次，知識在生長，難度在加大，我們在學習時要抓住本質類比和化歸的數學思想，努力做到化繁為簡、有的放矢。