巧用策略解決問題，善思原理提升能力

◎浙江省湖州市安吉縣教育科學(xué)研究中心 厲金文

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，“問題解決”教學(xué)要關(guān)注對(duì)學(xué)生“信息閱讀與理解、方法策略的選擇與應(yīng)用，過程結(jié)論的回顧與反思”等能力培養(yǎng)。課程標(biāo)準(zhǔn)把傳統(tǒng)的“應(yīng)用題”更名為“解決問題”，這不是簡單的名稱變化，其背后反映的是教育價(jià)值的定位問題，涉及課程體系的編排及具體呈現(xiàn)形式的調(diào)整，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程所追求的價(jià)值目標(biāo)的更好表達(dá)。

“解決問題”原來的價(jià)值追求更偏向于思維的結(jié)果，盡快獲得問題的結(jié)果。而新課標(biāo)對(duì)其的價(jià)值追求是思維過程與結(jié)果的并重。兩者相比，思維過程更為重要，因?yàn)閱栴}的結(jié)果是唯一的，不能反映學(xué)生之間的思維差異，而思維的過程受知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)習(xí)習(xí)慣等影響，是具有個(gè)性化特征的。在班級(jí)授課制下，展現(xiàn)個(gè)性化思維的過程遠(yuǎn)比展現(xiàn)一致性的結(jié)果更重要，它更能促進(jìn)學(xué)生思維的碰撞，繼而在碰撞中進(jìn)階。

一、運(yùn)用列表分析嘗試調(diào)整

列表，就是將問題中的信息以表格的形式進(jìn)行篩選、整理，在此基礎(chǔ)上通過分析信息之間的關(guān)系嘗試解決，在調(diào)整中獲得解決問題的一般方法。這種方法看似“原始”，但對(duì)于解決思維過程比較復(fù)雜的租車（船）、最佳購票方案、得分問題、雞兔同籠等問題往往有著事半功倍的效果。如“一次數(shù)學(xué)競賽共有10道題，計(jì)分規(guī)則為答對(duì)1題得10分，答錯(cuò)1題扣5分。小明在這次競賽中的最終得分是70分，問他做對(duì)的和做錯(cuò)的分別是幾題？”面對(duì)這樣的題目，在沒有任何提示的情況下，學(xué)生一定會(huì)用算術(shù)法解答。殊不知，這類逆向思維的問題用算術(shù)法解決對(duì)高段的學(xué)生來說極具思維挑戰(zhàn)性，怎樣讓中段的學(xué)生也能解答呢？筆者認(rèn)為列表策略是最佳的選擇，它能讓學(xué)生在調(diào)整的過程中看到變化的方向與情況，具體如表1所示。顯而易見，做對(duì)的題數(shù)為8道，做錯(cuò)的題數(shù)為2道。

表1

在運(yùn)用列表法解決問題時(shí)，確定嘗試分析的“切入點(diǎn)”也是有一定的策略的。如上述案例是得分較高的情況，那從做對(duì)的題數(shù)最多開始嘗試會(huì)比較快捷；反之，就從做錯(cuò)的題數(shù)最多開始嘗試；如果得分居中，就從對(duì)的題數(shù)和錯(cuò)的題數(shù)各一半列起，這樣可以最大程度地減少調(diào)整的次數(shù)。為了能讓學(xué)生在嘗試運(yùn)用策略解決問題時(shí)更好地找準(zhǔn)“切入點(diǎn)”，教師要在學(xué)生多次嘗試的基礎(chǔ)上，或是對(duì)不同學(xué)生的嘗試策略進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)嘗試的過程進(jìn)行反思與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)其中隱藏著的數(shù)學(xué)規(guī)律，積累用嘗試法解決問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

相對(duì)于算術(shù)法而言，列表法的思維層次雖然低了一些，但它的思維過程更加直觀與明晰，可以有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)算術(shù)模型的深度理解，進(jìn)而建構(gòu)算術(shù)模型的“腳手架”，特別是對(duì)算術(shù)法中的“（10+5）”理解有困難的學(xué)生，在表格中可以獲得很好的理解。

二、在畫圖比較中拓展化解

小學(xué)生處于皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論的具體運(yùn)算思維階段，他們的思維需要具象事物的支撐，對(duì)抽象的符號(hào)、運(yùn)算性質(zhì)的推理會(huì)存在一定的理解困難。通過畫圖、比較，可以讓抽象、符號(hào)化的信息變得直觀、具體化，能夠幫助學(xué)生更容易地找到解決問題的關(guān)鍵，從而有效地解決問題。以下是筆者用線段圖化解理清關(guān)系之難和用示意圖化解聯(lián)系實(shí)際之難的教學(xué)實(shí)踐。

1.用線段圖化解理清關(guān)系之難

線段圖能夠直觀地表征出數(shù)量之間的關(guān)系，所以其在傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)中的地位是非常重要的，對(duì)解答分?jǐn)?shù)問題的作用更是明顯，小學(xué)高段的數(shù)學(xué)教師如果能夠堅(jiān)持讓學(xué)生運(yùn)用線段圖來解答分?jǐn)?shù)問題，那將會(huì)大大提升他們解決問題的能力與信心。而且，線段圖在解決涉及關(guān)系較為復(fù)雜的多個(gè)數(shù)量的問題時(shí)更能顯現(xiàn)其直觀、形象的價(jià)值。如筆者曾在四年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組選拔試卷上設(shè)計(jì)了這樣一道附加題：“被減數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是401，被除數(shù)是除數(shù)的5倍還多3，求除數(shù)是多少?！贝舜芜x拔共有160名四年級(jí)學(xué)生參加，其中做對(duì)這道題的同學(xué)僅有10名左右。筆者對(duì)他們解決問題的方法進(jìn)行了分類，主要有以下四種：

方法1：根據(jù)有余數(shù)除法各部分之間的關(guān)系進(jìn)行推理解決。具體為：

因?yàn)椤氨怀龜?shù)÷除數(shù)=5……3”，所以“被除數(shù)=除數(shù)×5+3”。又因?yàn)椤氨怀龜?shù)+除數(shù)+商+余數(shù)=401”，結(jié)合“商是5，余數(shù)是3”，得到“除數(shù)×5+3+除數(shù)+5+3=401”，整理為“除數(shù)×6=401-5-3-3”，結(jié)果“除數(shù)=390÷6=65”。

可以看出這種方法的推理過程非常清晰嚴(yán)謹(jǐn)，但很抽象，理解起來仍比較吃力。

方法2：直接寫出答案，沒有思考的過程，結(jié)果是拼湊出來的或試出來的。

方法3：也得到了解法1中的“除數(shù)×5+3+除數(shù)+5+3=401”，但沒有算出最終結(jié)果，原因在于四年級(jí)學(xué)生對(duì)有余數(shù)除法各部分之間的關(guān)系很熟悉，也能進(jìn)行簡單的等量代換，所以他們能夠?qū)懗錾鲜龅仁剑麄儗?duì)復(fù)雜等式的化簡能力不足，對(duì)等式守恒的理解還不夠，所以無法得到最終的結(jié)果。

方法4：借助線段圖理清關(guān)系再解決。雖然只有一名學(xué)生采用了該種方法，但是直觀、易懂，思維非常清晰。

批閱之后，筆者在課堂上和學(xué)生對(duì)這道題進(jìn)行了分析與討論。首先讓學(xué)生自主看了方法1，接著讓做對(duì)的同學(xué)講解解題的過程，經(jīng)過2名學(xué)生的講解和筆者的補(bǔ)充后，也只有四分之一的學(xué)生勉強(qiáng)理解，很多學(xué)生仍然不明白。于是筆者請(qǐng)采用方法4的學(xué)生來為大家進(jìn)行講解。他把線段圖展示在黑板上，剛剛畫完，大部分同學(xué)的臉上就露出了明白的表情。可見抽象的純數(shù)學(xué)推理雖然思維層次高，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生跳得再努力還是摘不到桃子。而線段圖僅僅是簡單的幾筆卻勝過了近百句的語言，這就是線段圖化抽象為直觀、化錯(cuò)綜復(fù)雜為簡單明了的價(jià)值。將抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀可視，為學(xué)生理解問題、分析問題與解決問題提供了思維可視化的“腳手架”。

2.用示意圖化解聯(lián)系實(shí)際之難

數(shù)學(xué)源于生活，但學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中容易忽略對(duì)“實(shí)際”的考慮。借助示意圖呈現(xiàn)實(shí)際問題中量與量之間的關(guān)系，可以達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，更好地促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際、理解實(shí)際、解決實(shí)際問題的能力。

在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的面積之后，筆者設(shè)計(jì)了一道這樣的練習(xí)：“醫(yī)院要用長方形白布制作包扎用的三角巾，三角巾是底和高均為8分米的等腰三角形。一塊長74分米，寬16分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？”

學(xué)生有兩種不同的解決方法：

方法1：74×16÷（8×8÷2）=1184÷32=37（塊）。

大部分同學(xué)從題意理解，這是一個(gè)包含除法的問題，其數(shù)量關(guān)系為“長方形白布的面積÷每塊三角巾的面積=可制作的三角巾的數(shù)量”，所以在這部分同學(xué)看來，他們的解決方法有理有據(jù)，是很有道理的。

方 法2：74÷8=9（塊）……2（分 米）；16÷8=2（塊）；（9×2）×2=36（塊）。

個(gè)別同學(xué)結(jié)合生活實(shí)際，考慮到了制作過程中可能會(huì)出現(xiàn)邊角料的問題，所以需要先從長邊和寬邊的角度分別考慮，再綜合。

學(xué)生獨(dú)立完成后，筆者將兩種方法整體呈現(xiàn)，先讓學(xué)生觀察、比較，看懂兩種方法；再讓這兩部分學(xué)生互相思辨，各說各的道理；最后讓方法2的學(xué)生畫出示意圖，學(xué)會(huì)正確的解決方法。

除了上面介紹的兩種畫圖方法外，在解決問題時(shí)還會(huì)用到集合圖，也是非常直觀的，同時(shí)也對(duì)學(xué)生滲透集合的思想。學(xué)生的解題思路往往沒有任何束縛，他們會(huì)根據(jù)自己的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、思維特點(diǎn)和習(xí)慣，創(chuàng)造性地畫出一些讓老師意想不到，但學(xué)生之間互相明白的圖示，我們都可以稱之為示意圖，教師也應(yīng)該及時(shí)鼓勵(lì)表揚(yáng)。

三、在模擬演示中推導(dǎo)探究

模擬演示是通過模擬問題情景進(jìn)行實(shí)際動(dòng)手操作，在操作過程中解決問題的一種策略。模擬演示能夠讓幾個(gè)靜態(tài)的信息變成動(dòng)態(tài)的量與量之間的關(guān)系，更好地幫助學(xué)生理解量的變化過程，從而有效解決問題。

“火車過橋（山洞）”問題是基本行程問題的拓展，其難點(diǎn)是確定火車所行駛的“路程”。筆者曾讓學(xué)生解決這樣一道“火車過橋”問題：“一列車身長120米的火車，以每秒15米的速度經(jīng)過一座長1500米的橋。那么這輛火車經(jīng)過這座橋需要多長時(shí)間？”

大部分學(xué)生在自主嘗試解決的過程中寫了“1500÷15”這個(gè)算式。學(xué)情診斷之后，筆者沒有立刻作出評(píng)價(jià)，而是讓學(xué)生自己再想一想。此時(shí)，課堂上出現(xiàn)了這樣一幕：一名學(xué)生把鉛筆盒當(dāng)作長1500米的橋，把鉛筆當(dāng)作車身長120米的火車，將鉛筆從鉛筆盒的左端平移至右端，模擬火車過橋的過程。模擬演示3遍后，他興奮地舉手回答：“正確的過橋時(shí)間應(yīng)該是把橋的長度加上車身的長度作為路程，然后除以速度?！惫P者請(qǐng)這位學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行演示，同學(xué)們恍然大悟，紛紛表示認(rèn)同。

通過模擬、操作，把一些源于生活的實(shí)際問題進(jìn)行情景“再現(xiàn)”，讓不清晰的數(shù)量關(guān)系直觀地呈現(xiàn)出來，問題也就迎刃而解了。

四、在分析轉(zhuǎn)化中推理分解

除了以上介紹的這些策略外，我們經(jīng)常會(huì)用到“逆推的策略”，即“從問題出發(fā)思考，選擇需要的信息進(jìn)行解決”；還會(huì)用到“順推的策略”，即“從已有信息出發(fā)思考問題”，也就是所謂的“分析法”和“綜合法”，兩者皆可看作推理、分析的策略。主要包括：

第一，從問題情景中提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)，再用算式表征數(shù)學(xué)本質(zhì)的轉(zhuǎn)化策略。如“在校門前擺了3行菊花，每行7盆，共要擺多少盆菊花？”第一次將這個(gè)問題情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)本質(zhì)“求3個(gè)7是多少？”第二次將“求3個(gè)7是多少？”轉(zhuǎn)化為算式表征“7×3”。

第二，找出復(fù)雜問題中各簡單問題之間的聯(lián)系，從而總結(jié)解決問題的分解策略。如“兩山超市第一天上午賣出15瓶飲料，下午賣出的飲料比上午多20瓶，第二天賣出的飲料比第一天少3瓶。兩山超市兩天共賣出飲料多少瓶？”根據(jù)“第一天賣出的飲料數(shù)量+第二天賣出的飲料數(shù)量=兩天賣出的飲料總數(shù)”，將問題分解為“第一天賣出多少飲料”和“第二天賣出多少飲料”。再根據(jù)“第一天上午賣出的飲料數(shù)量+第一天下午賣出的飲料數(shù)量=第一天賣出的飲料數(shù)量”，將問題分解為“第一天上午賣出的飲料數(shù)量”和“第一天下午賣出的飲料數(shù)量”。

其實(shí)，每一個(gè)數(shù)學(xué)問題解答的切入點(diǎn)不是唯一的。每一個(gè)學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，其思維的路徑是多端的。唯有問題的切入點(diǎn)與學(xué)生的思維路徑能夠完美對(duì)接時(shí)，才能有效地解決問題。因此，教師要組織學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題解決的過程，不斷體驗(yàn)、感悟、理解、內(nèi)化、表達(dá)與運(yùn)用，積累更多的經(jīng)驗(yàn)，掌握更多、更具體的方法與思維，以豐富其思維的廣度。

總之，在解決問題的教學(xué)過程中要避免單一的對(duì)結(jié)果的追求，應(yīng)該把學(xué)生在解決問題過程中個(gè)性化的思維方式和解題策略展示出來，還要賦予學(xué)生更多解釋和評(píng)價(jià)自己以及他人思維過程和思維結(jié)果的權(quán)利。當(dāng)解決問題成為課堂教學(xué)的一部分，學(xué)生能夠主動(dòng)關(guān)注知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解問題本質(zhì)，并能在解決問題過程中體驗(yàn)到成功，在思維的激發(fā)與碰撞中解決問題。