壓電陶瓷驅動定位平臺自適應偽逆控制算法及計算機仿真研究

吳盛彬

摘 要：本文以壓電陶瓷驅動微定位平臺為研究對象，針對壓電陶瓷這種智能材料驅動器中固有的遲滯非線性，構建改進型Prandtl-Ishlinskii（MPI）遲滯模型，提出一種含偽逆補償器的自適應控制方法，避免了直接求解復雜的遲滯逆模型，通過對設計的臨時控制信號應用搜索算法，建立一種近似控制信號的在線搜索機制。最后，通過MATLAB/Simulink對比仿真分析表明了該控制方法的有效性。

關鍵詞：壓電陶瓷；微定位；自適應；偽逆

1 前言

壓電陶瓷驅動的微定位平臺具有低耗能、驅動力大、定位精度高、響應速度快等優點，目前被廣泛應用于高精度微納米級加工制造領域[1]。但這種智能材料驅動器存在固有的遲滯非線性，而遲滯具有不可微分、多值映射、非平滑及記憶性的特點，嚴重限制了其應用[2]。

如何獲得最佳的定位精度，最小化智能材料中存在的遲滯現象是一巨大挑戰。前饋逆補償方法原理簡單易懂，對遲滯的處理非常有效[3]，但只有在逆模型存在且所構建的逆模型十分精確才能表現出良好的性能。此外，所構建的估計模型和實際遲滯之間總是存在建模誤差。因此，遲滯逆補償模型將產生補償誤差且會增大控制系統的跟蹤誤差，設計一種偽逆補償的控制方法是智能材料驅動微定位平臺控制的難點。

2 壓電陶瓷驅動微定位平臺遲滯非線性建模

2.1系統動力學模型

壓電陶瓷驅動微定位系統可簡化為質量－彈簧－阻尼系統與驅動器（PEA）。結構圖如圖1所示。

微定位系統的動力學模型表示為：

（1）

其中，m、c、k分別表示質量、阻尼系數、彈簧剛度，y（t）為驅動器位移。ω（t）是系統輸入及遲滯輸出，可定義為：

（2）

表示滯后算子，u為要設計的控制輸入。在本文中，改進Prandtl-Ishlinskii （MPI）模型將用于描述遲滯現象。對于（1），令x1=y，x2=x＆1，那么系統（1）可轉換為：

（3）

其中，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?   ? ?表示系統未知動態，? ? ? ? ? ? ? ? 。

2.2 MPI模型

對于輸入u，定義函數? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如下：

（u，w）=max（γp（u）-r，min（γd（u）+r，w））? ? ?（4）

其中，γp、γd：? ? ? ? ? ? ? 為嚴格遞增的連續包絡函數，r為閾值，w可為任意值。則MPI模型為：

（5）

其中，? ? [u]（t）定義為：

[u]（0） =? ? ?（u（0），0） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

[u]（t）=? ? ?（u（t），? ? [u]（tτ））

for tτ﹤t﹤tτ+1 and 0≤τ≤N-1

由于積分形式在實際應用中不易實現，可被轉化為疊加形式：

圖2為式（9）中的MPI遲滯模型。

其中：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，γd=3tanh（0.2u）+0.01，γp=3tanh（0.2u），ri=0.2i，L=10，以及 u=2sin（2πt）+3cos（6t），t∈[0，30]。

3 控制器設計

未知動態? ? ? ? ? 為有界的連續函數，因此，可利用神經網絡進行估計。

其中，W=[W1，W2，…，Wm]T∈? ? ? ?為理想權重向量，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 為神經網絡基向量，δ為有界的近似誤差。將（9）代入系統（3），得：

其中pg=[pg1，pg2，…，pgL]T∈? ? ? ，pgj=gpj，j=1，2，…，L。

3.1臨時控制器設計

遲滯臨時控制器意味著（11）中的項? ? ? ? ? ? ? ? ? ?將被視為臨時控制輸入信號。為便于控制設計，將參考軌跡定義為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，跟蹤誤差為：

其中Λ為正常數，對s求導，得：

由此，可設計臨時控制器為：

其中K1＞0是反饋增益。

自適應率設計為：

和? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

Γρ＞0，Γw＞0為學習增益，σρ＞0，σw＞0為修正系數。

3.2偽逆補償器設計

在本文中，將通過偽逆的方法來設計補償器，搜索出最優控制信號對系統中的遲滯非線性進行補償，克服了逆模型構造困難。首先，定義ud（t）為臨時控制信號并令：

ud（t）=? ? ? ? ?[u]（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

對于指定的可接受誤差h，搜尋逆u*（t），使得：

不失一般性，假設ud（t）對于tτ﹤t≤tτ+1，0≤τ≤N-1單調遞增。令[umin，umax]為遲滯算子實際輸入范圍，定義最大值Umax和最小值Umin： Umax（t）=? ? ? ? [umax]（t）和Umin（t）=? ? ? ? [umin]（t）。因? ?＞0，對于umin≤u≤umax，滿足：Umin（t）≤? ? ? ?[u]（t）≤Umax（t）。

定義新變量? ? ? ? ?和? ? ? ? ?，并滿足u0（t）=u*（tτ），其中? ? ?的范圍為? ?∈[0，umax-umin]。則? ? ? =u0（t）+? ? 以及? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ?。若ud（t）＞Umax（t），則u*（t）=umax；若ud（t）﹤Umin（t），則u*（t）=umin。否則（即：Umin（t）≤ud（t）≤Umax（t）），u*（t）將通過以下步驟獲得。

步驟1：讓? ?從零開始增加。

步驟2：計算? ? ? ? 和? ? ? ? ，若|? ? ? ? ?-ud（t）|≤? ?，則轉步驟3，否則? ?繼續增加并回到步驟2。

步驟3：停止? ?，并記此時? ?為? ?， u*（t）=? ? ? ? 。

因此，通過使用上述搜索方法，可以得到實際的自適應控制輸入：u（t）=u*（t）? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

4穩定性分析

在下文中，假設Umin（t）≤ud（t）≤Umax（t），令：

（t）=? ? ? ? [u]（t）-ud（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

從（14）和（15）可以看出：|? ? |≤? ?。利用（13）和（16），可得：

（17）

將（17）代入（11），? ? ? ? 可改寫為：

（18）

其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表示集總殘差，滿足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為正常數。

定理1：對于系統（1），考慮自適應偽逆控制，若Umin（t）≤ud（t）≤Umax（t）則：s以及e收斂到零附近緊集。

證明? 選擇 Lyapunov函數為：

（19）

對V求導，得：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。利用楊氏不等式，則：

（20）

其中：

當k1＞1/2，α和β均為正常數。據Lyapunov定理可知，V是一致最終有界，故s、e、? ? 及? ? 均有界。

5 仿真研究

考慮壓電陶瓷微定位系統中，? ? ? ? ?=-x1-x2表示未知有界連續函數，g=1/m=1為未知參數。參考軌跡為：yd=1.2sin（t）+cos（0.5t）。為了說明本方法的有效性，將其與無偽逆補償和PID進行了比較。設計參數為k1=8，Λ=3，Γw=Γρ=6，σw=σρ=0.5，[umin，umax]=[-15，15]。? =0.005。初始值x（0）=[0，2]T。選用RBF神經網絡，m=10。對于PID，Kp=6，Ki=5，以及Kd=1。

圖3和4為跟蹤性能和誤差的對比圖，結果表明：提出的控制方法具有最佳的跟蹤性能和最小的跟蹤誤差，從而驗證了所提出的控制方案的有效性。

6 結論

本文以壓電陶瓷驅動微定位平臺為研究對象，構建MPI模型，利用RBF神經網絡逼近系統未知動態，提出一種自適應偽逆控制方法。該偽逆控制方法是一種在線搜索機制，避免了直接構建復雜遲滯逆模型，將提出的控制方法與無偽逆補償以及PID進行比較，表明本方法能有效地對遲滯進行補償，能獲得更好的跟蹤控制效果。

參考文獻

[1]許兆山.基于智能材料驅動器的非線性系統魯棒自適應控制算法研究[D].東北電力大學，2018.

[2]王舟，陳遠晟，王浩，黃勤斌.壓電陶瓷驅動器遲滯建模與自適應控制[J].壓電與聲光，2020，42（04）：523-528.

[3]楊輝，劉俊輝，譚暢.高速列車自適應制動控制[J].計算機仿真，2021，38（11）：138-142.