基于PDSIPE的微積分課程知識點總結與梳理

［摘 要］隨著教育信息化的發展，項目驅動、數據驅動和系統集成（PDSIPE）的理念逐漸被廣泛應用于微積分課程教學中。將PDSIPE教學模式引入微積分教學中，能夠調動學生學習的積極性，提升學生的合作能力和計算機應用能力。本文通過對PDSIPE理念進行解讀，提出一種以知識點梳理為基礎、項目驅動為導向、數據分析為手段的微積分課程教學方法，旨在探索基于PDSIPE理念下的微積分課程教學，從而提高學生的實際操作能力和培養學生的創新思維，以期為提高微積分課程教學質量提供參考。

［關鍵詞］PDSIPE；微積分課程；教學流程；項目型教學

［中圖分類號］F23文獻標志碼：A

在職業場景項目行動教學理念（PDSIPE）影響下的課堂教學規劃和傳統課堂教學規劃有所不同。首先，教學規劃是以實用型精英培育為基礎設置教學的方案，需要落實到真正的教學場景中。當前，關于“微積分”以及“高等數學”的課程現已普及至各大高校中的非數學專業中，并且對于此類課程的知識系統現已發展得非常完備，除了需要按照不同專業的知識系統對課程內容稍作調整以外，已經無法進行改動。其次，現如今社會信息化、自動化、網絡化等方面飛速發展，微積分在不同范疇中的應用也逐漸加深。與此同時，對學生的數學涵養、對實際問題的抽象建模技能、剖析處理問題的水平的要求也更加嚴格，對于微積分教學改革的限制也更加嚴謹。在進行微積分教學時，史迪沃特（J.Stewart）對于微積分概念的解析需要從幾何、數值、代數以及語言這四個方面并按照其特定的方式進行展示。筆者通過對微積分教學過程的探究，把項目研究法運用至微積分教學過程之中，并且經過實踐證明，學生的學習積極性明顯提高，也豐富了原有的傳統教學方式。

1 PDSIPE理念下的課程教學基本流程

對于PDSIPE（職業場景項目行動教學理念）課堂基礎教學環節大致分為職業含義認識、項目創建、設置項目場景、項目開展、項目產品以及項目測評這六個層面，如圖1所示。

第一，教師和學生是相輔相成、密不可分的。教師在教學過程中主要扮演了項目的領導者和引路人的角色，課堂教學設計的過程不僅包含教師的教，還需要加入學生的學，因為對于課堂教學活動來說，其實質就是教和學的雙邊行為的綜合，教師所實施的每個教學行為都指向的是學生的學，并且都會使學生做出學的行為，而學生的學又都會對教師教的行為產生反作用。因此，教學行為就是將教師的教和學生的學融合到一起的過程，并且二者總是同步的。第二，教師和學生之間的關系能夠表現出主體間性的存在。

上述六個層面將現實的職場作為背景，將開始、實施、結果三個階段融合成一個系統。職業含義認識的開始階段為項目實施階段指引方向；實施階段屬于開始階段的進一步發展；項目的創建、創建項目場景、項目的開展以及項目產品都需要借助相應的學科知識作為理論基礎來幫助項目得以實施；結果階段屬于對上述兩個階段成果的檢驗，培育學生的專業技能以及非專業技能。

2 基于PDSIPE的微積分課程教學探索

基于PDSIPE理念的課堂教學，需要按照課程培育宗旨以及課程計劃，挑選適當的教學素材來實施應用型的教學行為，開展能夠帶來實際效應的課堂教學活動。

2.1 職業意義認知環節

即使自身已經擁有了優異的自我發展技能，但是脫離了地區發展的需要，個人發展也會被禁錮。所以，在職業含義的認識過程中，教師不僅要教授和個人未來發展有關的職業技能，還應該重視所在地區的實際需要。愛好、優勢、個性、知識、能力、智力、情感、思考的方式方法、道德標準等都屬于職業含義認識過程中非常重要的一部分。另外，對于真實職場狀況的認識也十分關鍵。

2.2 項目創設和項目情景創設環節

在項目創建以及項目情景創建過程中，教師處在中心位置，所需要擔任的職責也是十分關鍵的，其挑戰和壓力都是比較大的，教師需要經歷此教學理論形式的整體化的練習，還需要具備專業范疇內的真實工作閱歷。需要教師斟酌所選項目的標題并且創建真正的職業情景，找到真正的項目并設置項目的一些細節，同時還要斟酌課程系統能否幫助學生提高自身的學習技能等問題。在項目創建以及項目情景創建過程中，教師還應該重視文化環境的養成，此處所提到的文化環境指的是物質以及人文文化環境在內的文化環境的總和［1］。在物質文化環境中，項目標題、項目情景都是根據現實的職場環境設置的，應該顧及學校環境以及地點、企業環境等相關的物質環境，這些物質環境是否貼合項目自身，以及物質文化環境是否可以促進項目制定和項目發展。

2.3 項目實施環節

項目的開展程序和上一程序的相似之處在于，二者都屬于項目教學過程中至關重要的一部分，并且都需要在真正的職場情景中實施，教師和學生在兩個流程中所扮演的角色以及所處的位置有所區別。二者的不同之處是前者更為細致，比較重視的是知識的存儲和利用、計劃的擇優使用、項目實踐過程的監管制度，以上流程都可以被稱為知識的匯總使用過程。

在項目開展過程中，不僅要關注知識的匯總使用，還需要關注學生在開展項目時對于精神層面的升華，比如在項目開展時使用自主和小組協作的方法培養學生的外化能力。外化指教育人員幫助及指引受教育者將思想道德觀念轉變為行動，它的本質就是受教育者對于思想道德標準的實踐。學生使用自主以及小組協作的方法，按照項目開展流程，借助在項目開展過程中形成的團隊協作、分享資料、互相尊重、平等交流、誠信友愛等精神品質在實際場景中的運用，來促進自身的全面發展。

2.4 項目產品和評估環節

項目產品的展示和測評程序屬于PDSIPE教學理論最終的流程［2］。以上兩個環節能夠同時開展，項目產品的展示歷程也就是開展項目測評的歷程。關于PDSIPE的“評定”具體指的是對于項目的產品、開展流程、戰略和方式、專業技能、態度的養成及改變、教學目標等多種因素的價值判定。

在美國著名高等教育家克拉克·科爾（Clark kern）看來，在一個社會之中最少要存在三種高等教育學校。一種是X形式，學校的辦學宗旨就是學問，主要職責就是培育研究生、進行科學探究，達到國家或者是國際水準的層次。另一種是Y形式，學校的只要職責就是按照社會職業的需求對本科生實施相應的技能培訓以及一般的教育素養的形成，達到國家和地區的水準即可。還有一種就是Z形式，學校的主要職責就是按照社會的所有需求及客戶的需要，培育實用型學生，只需達到地區以及地方水準就可以。根據克拉克·科爾的課題研究能夠得出，PDSIPE注重的是Y形式，利用真正的職場項目工作，按照社會的需要以及客戶的需求，培育實用型學生，只需達到地區以及地方水準就可以。

2.5 實際教育環節

第一，在眾多學科中存在一門抽象學科那就是微積分，其重點展現在對直觀的抽象定義、條理化的符號語言以及嚴謹論證［3］。舉例說明，就像函數“ε-δ”的概念，所有針對微積分知識的學習都要將其當作基礎，可是其中抽象的內容是學生學習的“絆腳石”。第二，微積分教學的實質眾多，并且課時存在限制，同時在教學進程中依然以教師的講授為主，師生以及生生之間交流極少，學生沒有參與感。第三，微積分的授課形式大多為大班式講授，因為學生較多，所以教師很少注意到學生對學習的個性化要求，造成教學成果不明顯。

從學習層面來講，在基礎教學時期，數學學習內容比較零碎，往往通過習題訓練的方式來了解數學知識點，可是微積分作為一門比較系統的學科，其具備知識結構嚴謹并且邏輯性超強的特點。習題訓練是數學學習的必經流程，可是一味地尋求難題以及反復練習不僅會使浪費時間，還會對知識結構的整體掌握極其不利。所以，引起學生對微積分的興趣，提高學生對微積分知識結構的掌握程度，在微積分的教學進程中特別關鍵。

本文根據筆者幾年以來微積分教學的現實經驗，從而引進項目教學，其目的是調動學生學習的興趣，提升學生分析問題、構建模型以及應用微積分的能力，進而為之后的學科學習奠定堅實的基礎。

3 基于PDSIPE的微積分課程項目型教學知識點梳理

項目的類型可以劃分為三類，即運用型、研究型以及實驗型。以下對這三類項目進行介紹。

3.1 應用型項目

應用型項目的目的是激發學生的想象力，從而鞏固知識，讓學生意識到微積分的關鍵性，掌握它的直觀背景，為后續學習奠定基礎。如果導數的學習進展到“高階導數”階段，那么學生需要完成下列學習任務。

項目1 設計最佳的過山車。假設你要為一個新的過山車設計第一個升降，通過研究你最喜歡的過山車的照片，你決定讓上升道的斜率為0.8，下降道的斜率為-1.6。你決定使用一條拋物線y=f（x）=ax2+bx+c來連接上升和下降道。為了讓軌道做到平滑，不可以有突然的方向改變，以此你需要線性軌道L1和L2與拋物線軌道f（x）分別在轉接點P和Q相切（如圖2所示）。假設點P和Q的水平距離為30米。為簡化問題，可假設點P為原點。

（a）為了能夠確保軌道在轉接點處的平滑度，明確拋物線f（x）；（b）利用計算機做出f（x），L1與L2的圖形，從而驗證轉接點是否平滑；（c）求P與Q的高程差。

問題1中的處理方案或許看起來平滑，可是它的體驗感并不完美，由于由L1，f和L2定義的分段函數并不存在連續的二階導數。因此，應當改良你的設計：在10≤x≤90時使用二次函數q（x）=ax2+bx+c的公式，之后運用下列兩個三次函數把g（x）分別與L（x）和L，（x）連接一起：

g（x）=kx³+lx²+mx+n 0≤x<10

h（x）=px³+qx²+rx+s 90

（a）寫出一個涵蓋11個未知數的方程組，保證上述函數以及導數與二階導數在轉接點相同；（b）求解（a）中的方程組，求出函數q（x），g（x）和h（x）：（c）運用計算機做出L1，g（x），q（x），h（x）和L2的圖形，與1（b）的圖形進行對比。

和普通的習題存在差異，項目1需要運用計算機軟件制作函數圖像，以及求解涵蓋11個未知數的線性方程組。這對大一首次學習微積分科目的學生而言存在較大難度，所以團隊之間共同合作具有必要性。項目1不但能夠使學生夯實導數的概念，還可以更加深入地了解導數的幾何意義。為了能夠進一步完善此模型，使其變得更為“平滑”，進而增添了兩個三次函數銜接拋物線和兩條直線，并且使其擁有一個連續的二階導數。通過對比完善前后的差別，學生需要思考下面兩個問題：連續的二階導數為什么會使軌道變得更為平滑？為什么通過添加兩個三次函數的方式讓軌道存在連續的二階導數？學生思考并解決諸多問題可以為之后的微積分學習打下堅實的基礎。

3.2 探索型項目

探索型項目通常會涉及沒有開始講授的內容，激勵學生探索現實情況，從而發現其中的定律并且歸納匯總，這順應科學探究的普通工序。比如，在學習微積分基礎定義之前，下列項目能夠協作學生更好地掌握變上限積分。

項目2面積函數。（a）畫出直線y=2t+1，計算這條直線和t軸，垂線t=1和t=3圍成區域的面積；（b）當x>1時，設A（x）是由直線v=2t+1，t=1和t=x圍成區域的面積。畫出這個區域并寫出A（x）的表達式；（c）對A（x）求導，從中能夠發現一些問題。

馬克·范·多倫（Mark Van Doren）曾經說過，教育的藝術是輔助學生發現的藝術。變上限積分是微積分教學過程中的重難點之一。項目2的第一步是從單一的梯形面積著手，進而研究變上限的梯形面積定理和梯形斜邊函數之間存在的聯系。這絕妙地銜接了微積分的概念以及幾何定義，學生在掌握了基礎定義的基礎上，可以發現微積分的概念和導數概念之間具有某種特定的聯系。

4 結語

PDSIPE課堂教學實際和技術微積分課程教學相互聯結，不僅需要吸收技術微積分的教學實質與方法，以及知識技巧與定律，還需要和微積分教學目標相切合。PDSIPE的微積分課程教學存在下面兩個方面的優點：第一，能夠提升學生學習的積極性；第二，能夠鍛煉學生的集體合作以及計算機使用能力。實踐證明，一旦學生對課程學習產生興趣，便會主動查閱資料學習數學軟件的使用方法，并運用MathType等公式編輯器撰寫報告。

參考文獻

［1］徐愛慶. “微積分”教與學改革的研究及探討［J］. 教育教學論壇，2022（47）：65-68.

［2］秦智，曲峰林. 基于GeoGebra的微積分可視化教學［J］. 高等數學研究，2022，25（6）：83-86.

［3］黨健，張宏偉. 加強微積分課程數學語言教學的思考與實踐［J］. 河南教育（高等教育），2022（10）：67-69.

［項目名稱］黑龍江財經學院2023年校級科研課題“產教融合背景下基于PDSIPE的《微積分》課程教學范式的探索與研究”（項目編號：XJYB202341）。

［作者簡介］劉仁龍，男，黑龍江哈爾濱人，黑龍江財經學院，助教，碩士，研究方向：概率論與數理統計。