基于改進Bayes信息量準則的鋰電池自適應變階AVO模型

寇發榮，門 浩，王甜甜，王思俊，羅 希

(西安科技大學機械工程學院，陜西西安 710054)

鋰電池作為純電動汽車的直接動力源，其狀態的估計直接影響整車性能[1]。準確、可靠的模型對鋰電池的研究具有重要意義，建立電池模型是進行荷電狀態(SOC)估計、功率狀態(SOP)估計、健康狀態(SOH)估計等工作的基礎[2]。

目前，學者們主要通過探究鋰電池的行為特性與反應機理對其進行建模。常用的電池模型有電化學模型、神經網絡模型、分數階模型和等效電路模型[3]。等效電路模型通過將電阻、電容等電器元件進行組合排列，模擬電池的靜態及動態特性。模型具有結構簡單、運算負荷較小的特點[4]。等效電路模型的精度取決于RC 環節的階數，當模型階數增加時，精度隨之提升；但隨階數的增加，模型復雜度會大幅增加[5]。三階及三階以上RC 等效模型會出現過度擬合現象，導致其實用性降低[6]。已有研究表明：一階RC 模型往往不能滿足高精度場合的需求；二階RC 模型考慮了歐姆、濃差及電化學極化特性的影響，能更精確地描述鋰離子電池的動靜態特性[7]，其結構相對較復雜，計算量增大。為保證模型精度同時提高其實用價值，對模型階數進行實時動態調整；綜合考慮模型的復雜度與計算量、精度與實用性之間的矛盾，選用一階、二階RC 自適應變階(adaptive variable-order，AVO)模型，該模型可在電壓變化劇烈的區域進行升階處理，保證模型精度；在電壓變化緩慢的區域降階處理，達到除冗和降低計算量的目的。

本文提出一種融合貝葉斯信息量準則(Bayes information criterion，BIC)和樽海鞘優化算法(salp swarm algorithm,SSA)的AVO 模型，通過端電壓誤差Bayes 信息量確定模型階數的最優解，以最優擬合度、最小平均誤差和為目標函數，利用樽海鞘優化算法搜索模型階數的全局最優解，使模型變階效果達到最佳。最終通過仿真和實驗，驗證AVO 模型的精確性與實用性。

1 鋰電池自適應變階模型

1.1 自適應變階等效電路模型

鋰電池等效電路模型(equivalent circuit model，ECM)在工程應用中主要有一階RC 模型、二階RC 模型等。模型精度往往與階數成正比，理想情況下，當低階模型擬合度較高時，模型可由二階降為一階，達到降階除冗的效果。當低階模型擬合精度不足時，模型亦可由一階切換為二階，提升模型精度。

AVO 模型以Bayes 信息量準則作為變階標準，通過端電壓誤差得出各時刻對應的BIC 值，對模型實現動態變階。AVO 模型等效電路如圖1 所示。

圖1 AVO模型等效電路

圖1 中：Ccap為電池容量；I為電流；Uoc為開路電壓；R0為歐姆內阻；R1、R2、C1、C2分別為模型的電阻、電容參數；Ut為端電壓；F1、F2為模型的切換開關。

根據基爾霍夫定律，AVO 等效電路模型的數學方程可表示為：

式中：l為RC 環節個數，其值為1、2。

RC 環節的狀態方程可表示為：

式中：Un為RC 環節極化電壓。

通過控制開關F1和F2的狀態，實現AVO 模型階數切換。AVO 模型階數與開關狀態的對應關系如表1 所示。其中，狀態T 表示電路接通，O 表示電路斷開。

表1 模型階數與開關狀態對應關系

1.2 模型階數的確定

模型階數確立的關鍵是變階指標的選取。赤池信息量準則(Akaike information criterion，AIC)與貝葉斯信息量準則(BIC)被廣泛應用到模型的選擇中，用來評判模型擬合的優良性[8]。

AIC 以信息熵來衡量模型擬合優良性的一種指標，通常可表述為[9]：

式中：K為模型參數數目；NT為實驗采樣總數；L為模型極大似然函數；2K/NT為模型懲罰項，模型參數數目K值決定模型精簡程度；lnL為模型擬合度，其值越小代表此時模型越精確。

BIC 在AIC 的基礎上引入模型樣本容量nm，極大地彌補了AIC 懲罰項與樣本容量無關的缺陷。引入模型端電壓誤差平方和對BIC 擬合項進行改進，假設模型的誤差服從正態分布，改進的BIC 函數為：

式中：d為電池端電壓與模型端電壓的誤差。

為得到最優的BIC 評定標準，在改進的BIC 懲罰項中引入懲罰系數s，對擬合程度的不敏感度進行調節。使用BIC 準則評定時，認為一階RC 模型包含參數Ccap、R0、R1、C1，共計4個；二階RC 模型在一階的基礎上增加了參數R2和C2，共計6個。因此，認為在RC 等效電路模型中，p階模型參數數目K的取值為2p+2。

最優BIC 函數為：

計算同時刻不同階數的BIC 值，較小的BIC 值所對應的模型階數即為該時刻擬合效果最佳的階數。BICopt(t,p)為t時刻p階模型對應的最優BIC 值。當前t時刻AVO 模型的最優BIC 值為：

1.3 模型階數的最優解

在模型階數標定過程中，參數的選取會直接影響BIC 的取值，進一步影響階數的確定。針對BIC 參數選取的問題，本文利用樽海鞘優化算法及設定的優化條件對BIC 參數進行尋優。

樽海鞘優化算法是模擬樽海鞘群在海洋中聚集與狩獵行為而創立的一種算法[10]，其數學模型簡單、算法尋優精度高。最優擬合度、最小平均誤差和目標函數分別為：

式中：NHPPC為HPPC 工況實驗下的總采樣數；Ut,j(nm,s)為模型樣本容量為nm、懲罰系數為s時，AVO 模型第i個端電壓輸出值；Ut,j為端電壓第i個采樣值。

在n維搜索空間中定義樽海鞘位置：其中N為給定問題的變量個數，包含樣本容量nm和懲罰系數s；假設F為給定搜索空間下的狩獵目標，所有樽海鞘的位置都存儲于矩陣X中；Bmaxj、Bminj分別代表第j維上的取值上、下邊界；狩獵過程中迭代時差取值為1。

將樽海鞘群劃分為領頭者和追隨者，尋優過程中領頭者處于種群最前端，追隨者緊隨其后。在n維空間尋優時，樽海鞘的數學模型中，領頭者在j 維空間中的位置為：

式中：Xj為j維空間下待狩獵目標位置；c2、c3為[0,1]之間隨機數，c2決定領頭者移動長度，c3決定移動的正反向。

收斂因子c1的設定影響算法的平衡探索和局部開發能力，其表達式為：

式中：tmax為最大迭代次數。

第i個追隨者在第j維空間中的位置為：

取初始速度ν0=0，則式(10)可表達為：

基于空間限制，對算法中的主要參數做出如下限定：變量個數N設定為2；樣本容量nm的取值設定為整個放電過程中采樣點總數的1%～5%；懲罰系數s設定為1～5。SSA 尋優流程如圖2 所示。

圖2 樽海鞘算法流程

2 模型參數辨識

2.1 開路電壓實驗

實驗對象為寧德時代NCM811 三元鋰電池，其標稱容量為40 Ah，充放電截止電壓為2.75～4.2 V。選用ITECH 公司生產的ITS5300 系列電池測試系統進行實驗，完成數據采集，如圖3 所示。

圖3 動力電池測試系統

OCV-SOC曲線標定實驗步驟為：①使用標準的恒流恒壓充電方式將電池充至滿電狀態，靜置2 h。②以1/3C的恒定電流對電池進行放電，每次放10%的電池最大可用容量并靜置1 h，靜置后得到的端電壓值視為OCV值。③循環步驟②直至電池的電量被放空。④記錄實驗過程中OCV與SOC數據。

在MATLAB 中使用polynomal 函數擬合OCV-SOC曲線的6 次多項式為：

2.2 FFRLS 在線參數辨識

FFRLS 通過引進遺忘因子來削減舊數據所提供的信息量，以提升算法后期自適應修正的能力。在進行參數辨識過程中，將電池模型看作以工作電流I(t)為輸入，端電壓U(t)為輸出的單輸入輸出系統。通過分析電池模型，建立并求解系統的狀態方程，進而推導出等效電路模型的電容和電阻參數。

令y(k)=Uoc(s) -Ut(s)，得一階RC和二階RC模型在頻域下的差分方程為：

式中：a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8為相應系數；yfrist(k)和ysecond(k)分別代表一階和二階模型的電勢差。

將系統考慮成一種外源性自回歸模型，設系統k時刻的誤差eLS,k為平穩零均值白噪聲誤差。系統輸出變量yk可表達為：

式中：φk為系統數據矩陣；θk為系統待辨識參數矩陣。

FFRLS 利用輸出與期望之間的誤差和更新的量測值進行遞歸運算，對估計結果進行自適應修正，使系統取得最小目標函數。目標函數J(θ)為：

式中：l 為遺忘因子，本文取值為0.98。

當且僅當J(θ)導數為0 時，目標函數取最小值。則令J(θ)′=0，可解得最優參數矩陣θk為：

考慮FFRLS 算法協方差矩陣PLS,k=R－1k，可得：

式(17)中，系統增益矩陣KLS,k為：

式(19)中，系統估計誤差eLS,k為：

HPPC 工況實驗下一階和二階ECM 電阻、電容參數的辨識結果分別如圖4、圖5 所示。

圖4 HPPC工況下一階ECM電阻、電容參數辨識結果

圖5 HPPC工況下二階ECM電阻、電容參數辨識結果

3 模型切換仿真及實驗驗證

3.1 模型切換仿真

為驗證本文所提出最優BIC 準則的有效性，將其在MATLAB 中進行仿真。驗證工況為快速脈沖放電(使用1C電流放電，每放10%SOC電量后擱置1 h，以此循環至電量放空)，實驗共計用時36 900 s。仿真SOC區間為90%～10%，用時31 680 s。BIC與最優BIC的模型切換效果仿真如圖6所示。

圖6 快速脈沖放電工況下基于BIC、最優BIC切換效果與切換模型端電壓對比

分析圖6(a)、(b)、(c)得，模型切換階數與時間一一對應。分析圖6(d)、(e)得，BIC 切換模型端電壓與最優BIC 切換模型端電壓逼近實驗值。當時間處于3 960～3 976 s 時，最優BIC切換模型端電壓誤差明顯小于BIC 切換模型。分析圖6(c)、(d)、(e)得，在3 960～3 976 s 時，BIC 切換模型處于二階狀態，最優BIC 切換模型處于一階狀態，且最優BIC 切換模型端電壓誤差小于BIC 切換模型，說明此時一階模型精確度高于二階，最優BIC 切換模型復雜度與計算量均小于BIC 切換模型，凸顯了最優BIC 下模型的精度與實用性。

由表2 可知，快速脈沖工況下，最優BIC 切換模型誤差各項指標均低于BIC 切換模型。BIC 切換模型與最優BIC 切換模型端電壓誤差均值分別為0.012 4 和0.011 7 V，均方根誤差分別為0.018 7 和0.016 6。實驗結果表明，快速脈沖工況下，相比于BIC 切換，最優BIC 切換下的模型端電壓誤差較小，證明了切換模型的準確性與有效性。

表2 快速脈沖工況下BIC與最優BIC切換模型輸出端電壓誤差統計分析

3.2 實驗結果對比

為驗證AVO 模型在HPPC 工況下的精度與實用性，將HPPC 工況實驗得到的端電壓、MATLAB 中使用FFRLS 得到的AVO 模型仿真端電壓與使用FFRLS 得到的一階和二階ECM 的仿真端電壓進行對比分析，結果如圖7 所示。

圖7 HPPC工況下AVO模型與一階和二階ECM端電壓對比圖

分析圖7 可知：在短時間大電流充放電時，端電壓急劇跳動，AVO 模型能夠迅速響應，使模型端電壓快速收斂至實驗值附近，說明模型有較強的抗干擾性。在恒流放電過程中，模型端電壓值與實驗值逼近，誤差基本保持在0.01 V 左右，說明模型能夠根據電池工作狀態很好地擬合出實驗端電壓值。在電池靜置時，模型端電壓值逼近實驗值，說明模型能精確地反映電池的電壓回彈特性。總體實驗過程中，AVO 模型端電壓與實驗端電壓保持了較好的一致性，亦驗證了最優BIC 切換模型的精度與實用性。

詳細誤差統計分析如表3 所示。

表3 AVO模型與傳統一階和二階ECM端電壓誤差統計

由表3 可得：相較于傳統一階和二階ECM，AVO 模型的最大誤差分別降低了26.77% 和7.52%，平均誤差降低了22.01%和4.03%，均方根誤差降低了19.50%和3.61%，證明該模型精度與實用性較高。

4 結論

(1)利用樽海鞘算法對引入模型端電壓誤差平方和及懲罰系數改進的Bayes 信息量準則的參數進行優化，可保證AVO 模型實時處于最優階數。

(2)快速脈沖工況實驗下，BIC 切換模型的端電壓均方根誤差與平均誤差分別0.018 7 和0.012 4 V，最優BIC 切換模型的此兩項誤差分別為0.016 6 和0.011 7 V，均小于BIC 切換模型，說明最優BIC 切換模型精度較高。

(3)HPPC 工況實驗下端電壓預測仿真表明，AVO 模型的各項誤差均小于傳統的一階和二階ECM；AVO 模型的平均誤差為0.011 9 V，較傳統一階和二階ECM 模型分別降低了22.01%和4.03%。